高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题18幂函数单元测试(B)(原卷版+解析)

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第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质，幂函数.
高考真题：
1．（2007·山东·高考真题（理））设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
2．（2014·上海·高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.
3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（ ）
A．B．3C．9D．8
4．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0]B．C．［0,2]D．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
11．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）如果幂函数的图象过，下列说法不正确的有（ ）
A．且B．是偶函数
C．是减函数D．的值域为
12．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数______.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是.
14．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．
15．（2021·上海交大附中高一期中）若，则满足的x的取值范围是___．
16．（2010·江苏·高考真题）若函数，则不等式的解集合是______________
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
18．（2020·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出证明．
19．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
20．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数．
(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；
(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．
21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
第三章 专题18 幂函数(B）
命题范围：
第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质，幂函数.
高考真题：
1．（2007·山东·高考真题（理））设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，
故选A.
2．（2014·上海·高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
牛刀小试
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（ ）
A．B．3C．9D．8
【答案】B
【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：B
4．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的特征和性质可得，代入，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.
【详解】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．
故选：B．
5．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可
【详解】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.
故选：A
6．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0]B．C．［0,2]D．
【答案】B
【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.
【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．
故选：B．
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确；
对于B，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AB.
10．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
11．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）如果幂函数的图象过，下列说法不正确的有（ ）
A．且B．是偶函数
C．是减函数D．的值域为
【答案】C
【分析】
由幂函数定义和所过点可求得，知A正确；利用奇偶性的定义知B正确；根据幂函数在上的单调性，结合偶函数性质知C错误；由幂函数值域知D正确.
【详解】
为幂函数，，又过点，，解得：，A正确；
则，定义域为，
，为偶函数，B正确；
当时，单调递减，
由偶函数性质知：在上单调递增，C错误；
，，即的值域为，D正确.
故选C.
12．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高一单元测试）请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数______.
（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质求解
【详解】因为是偶函数，在上单调递增，的值域是，
所以同时满足三个条件的幂函数可以为.
故答案为：（答案不唯一）
14．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．
【答案】
【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.
【详解】解：函数是幂函数，设，
又，所以，即，所以，得
所以，则.
故答案为：.
15．（2021·上海交大附中高一期中）若，则满足的x的取值范围是___．
【答案】
【分析】不等式转化为，且，讨论x＞0和x＜0时的解集即可求得答案．
【详解】由得到，且，即，
当x＞0时，不等式化为，解得，
当x＜0时，不等式化为，解得x＜0，
综上：x的取值范围是，
故答案为：．
16．（2010·江苏·高考真题）若函数，则不等式的解集合是______________
【答案】
【分析】分析给定的分段函数性质，再分段列出不等式组求解即可作答.
【详解】函数在上单调递增，且，
则化为：或，解得或，
所以不等式的解集合是.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.
（1）
数形结合可知，的图象关于轴对称，故其为偶函数；
的图象关于原点对称，故都为奇函数.
（2）
数形结合可知：的定义域是，值域为；
的定义域都是，值域也是；
的定义域为，值域也为；
的定义域为，值域为.
（3）
数形结合可知：的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调减区间是：和，无单调增区间；
的单调减区间是，单调增区间是.
（4）
数形结合可知：
幂函数均恒过点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数，当，其一定在是单调增函数；当，在是单调减函数.
18．（2020·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出证明．
【答案】(1)
(2)单调递增；证明见解析
【分析】（1）由幂函数的解析式求得时的表达式，再根据奇函数定义求解；
（2）根据单调性定义判断证明．
(1)
由题意时，设，则，，所以，
为奇函数，所以，
时，，
所以；
(2)
时，，
设的任意的两个负实数，且，
则，
所以，所以时，是增函数．
19．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．
【分析】（1）待定系数法去求函数的解析式；
（2）依据反比例函数性质即可得到函数的单调区间和值域．
(1)
设，则，则，
∴函数的解析式为．
(2)
因为，
∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．
20．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数．
(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；
(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围；
（2）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围.
(1)
根据题意，当时，，
因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数，
故，即的取值范围为.
(2)
根据题意，当时，，
因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数，
故，即的取值范围为.
21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
（1）
∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）
即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；
（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.
（1）
因为为幂函数
所以
因为为偶函数
所以 故的解析式.
（2）
由（1）知，
当即时，，即
当即时，即
综上所述：或