数学2.8 直角三角形全等的判定精练

这是一份数学2.8 直角三角形全等的判定精练，共15页。


考点一：直角三角形两个锐角互余
例1．如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠2=25°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．55°D．45°
变式1-1．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
变式1-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．95°B．85°C．75°D．60°
考点二：含30°角的直角三角形
例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC=30°，则缆车从A点到B点的过程（BC的长）为（ ）
A．20米B．17.5米C．15米D．12.5米
变式2-1．如图，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．70°
变式2-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD于点F．若∠B=46°,∠E=30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．88°B．80°C．74°D．60°
考点三：斜边的中线等于斜边的一半
例3．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，后减小
变式3-1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是边BC的中点，若AC=6,BC=10，则AD的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
变式3-2．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A=22.5°，则∠DCE的度数为（ ）
A．30°B．55°C．50°D．45°
考点四：用HL判定直角三角形全等
例4．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（ ）

A．∠B=∠DB．∠ACB=∠CADC．AB=CDD．AD=CB
变式4-1．如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（ ）
A．∠A=∠CB．AB=CDC．∠B=∠DD．AE=CF
变式4-2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数为（ ）

A．40°B．50°C．55°D．60°
考点五：直角三角形全等综合题
例5．如图，在 △ABC中， ∠ABC=90°，AB=BC，点E在BC边上，点F在AB的延长线上，且AE=CF．
(1)求证: BE=BF;
(2)若 ∠CAE=25°，求 ∠ACF的度数．
变式5-1．已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线上，直线l经过点A，BD、CE分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且BD=AE．
(1)求证：△ABD≌△CAE．
(2)取边BC的中点F，连接EF，求证：EF平分∠DEC．
参考答案
考点一：直角三角形两个锐角互余
例1．如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠2=25°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．55°D．45°
【答案】B
【详解】解：∵AB∥CD，∠2=25°，
∴∠ABC=∠2=25°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠1=90°−∠ABC=90°−25°=65°，
∴∠1的度数为65°．
故选：B．
变式1-1．如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】A
【详解】解：∵ a∥b，
∴ ∠ABC=∠1=55°，
∵∠BAC=90°，
∴∠2=90°−∠ABC
=90°−55°
=35°，
故选：A．
变式1-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，∠EBC=20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．95°B．85°C．75°D．60°
【答案】B
【详解】解：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，∠BAC=50°，
∴∠BAD=12∠BAC=25°，
∴∠ABE=40°，
∵∠EBC=20°，
∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ABE+∠EBC+∠BAD=40°+20°+25°=85°．
故选：B．
考点二：含30°角的直角三角形
例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离AB为40米，∠BAC=30°，则缆车从A点到B点的过程（BC的长）为（ ）
A．20米B．17.5米C．15米D．12.5米
【答案】A
【详解】解：∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AB=40米，∠BAC=30°，
∴BC=12AB=12×40=20（米），
故选：A．
变式2-1．如图，在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°,AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．70°
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠BAC=50°,∠ACB=70°，
∴∠ABC=180°−∠BAC+∠ACB=60°，
∵BE平分∠ABC，，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD=90°−∠CBE=60°．
故选：C．
变式2-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD于点F．若∠B=46°,∠E=30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．88°B．80°C．74°D．60°
【答案】C
【详解】解：∵EF⊥AD，
∴∠EFD=90°，
∵∠E=30°，
∴∠ADC=90°−∠E=90°−30°=60°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC−∠B=60°−46°=14°
∵AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠BAD=28°，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=46°+28°=74°
故选：C
考点三：斜边的中线等于斜边的一半
例3．如图，一根长5米的梯子AB斜靠在与地面OC垂直的墙上，点P为AB的中点，当梯子的一端A沿墙面AO向下移动，另一端B沿OC向右移动时，OP的长（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，后减小
【答案】C
【详解】解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，
∴∠AOB=90°，OP是斜边AB的中线，
∴OP=12AB=12×5=52米，
∴在滑动的过程中OP的长度不变．
故选C．
变式3-1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D是边BC的中点，若AC=6,BC=10，则AD的长是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【详解】解：∵∠BAC=90°,D是边BC的中点，BC=10，
∴AD=12BC=5，
故选：B．
变式3-2．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A=22.5°，则∠DCE的度数为（ ）
A．30°B．55°C．50°D．45°
【答案】D
【详解】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，∠A=22.5°，
∴CE=AE=12AB，
∴∠ACE=∠A=22.5°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCE=90°−∠CED=90°−45°=45°．
故选：D．
考点四：用HL判定直角三角形全等
例4．如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，若用“HL”判定Rt△ABC和Rt△CDA全等，则需要添加的条件是（ ）

A．∠B=∠DB．∠ACB=∠CADC．AB=CDD．AD=CB
【答案】D
【详解】解：∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠BAC=∠DCA=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
AC=CAAD=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△CDAHL，
故选：D．
变式4-1．如图，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，BE=DF，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CDF，则还要添加一个条件是（ ）
A．∠A=∠CB．AB=CDC．∠B=∠DD．AE=CF
【答案】B
【详解】解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，
BE=DFAB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
故选：B．
变式4-2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数为（ ）

A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−40)°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−40°)−(x°−40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠CAP=50°．
故选B．
考点五：直角三角形全等综合题
例5．如图，在 △ABC中， ∠ABC=90°，AB=BC，点E在BC边上，点F在AB的延长线上，且AE=CF．
(1)求证: BE=BF;
(2)若 ∠CAE=25°，求 ∠ACF的度数．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBFHL，
∴BE=BF；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠ACB=∠CAB=12180°−∠ABC=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=∠BAC−∠CAE=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=65°.
变式5-1．已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线上，直线l经过点A，BD、CE分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且BD=AE．
(1)求证：△ABD≌△CAE．
(2)取边BC的中点F，连接EF，求证：EF平分∠DEC．
【详解】（1）∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠AEC=∠CED=∠ADB=90°，△AEC与△BDA为直角三角形，
∵点A在边BC垂直平分线上，
∴AC=BA，
在Rt△ACE也Rt△BAD中，
AE=BDAC=BA，
∴Rt△ACE≌Rt△BAD(HL)，
即△ABD≌△CAE；
（2）设l交BC于点Q，连接AF，过F作FM⊥CE于M，作FN⊥AD于N，
∴∠CMF=∠ANF=90°
由（1）知△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
即∠CAB=90°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵F为BC中点，
∴AF=CF=12BC，
∵∠FAN+∠AQF=90°，∠FCM+∠AQF=90°，
∴∠FAN=∠FCM，
在△CMF与△ANF中，
∠CMF=∠ANF∠FCM=∠FANCF=AF，
∴△CMF≌△ANF(AAS)，
∴FM=FN，
又∵FM⊥CE，FN⊥AD，
∴EF平分∠DEC．