数学4.3 实数综合训练题

这是一份数学4.3 实数综合训练题，共17页。

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·四川绵阳·八年级校考期中）已知方程组x+2y=k2x+y=2的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（ ）
A．4B．2 C．±4D．±2
【答案】B
【分析】方程组中两方程相加表示出x+y，代入x+y=2中求出k的值，即可得出k的算术平方根．
【详解】解：x+2y=k①2x+y=2②
①+②得：3(x+y)=k+2，
解得：x+y=k+23
∵x+y=2
∴k+23=2，
解得：k=4，
则k的算术平方根为2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次方程，算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握用适当方法解二元一次方程组，一元一次方程的一般解法，算术平方根的定义与求一个数的算术平方根．
2．（3分）（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若m=27+3-8，则m的取值范围是（ ）
A．1【答案】C
【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可．
【详解】解：m=27+3-8=27-2，
∵25<27<36，
∴5<27<6
∴3故选C．
【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）下表记录了一些数的平方：
下列结论：①285.61=16.9；②26896的平方根是±164；③20-260的整数部分为4；④一定有3个整数的算术平方根在16.1∼16.2．其中所有正确的序号为（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③
【答案】A
【分析】根据表格数据和算术平方根的定义判断①；根据表格数据和平方根的定义判断②；根据表格数据估算无理数的大小判断③；根据表格数据和算术平方根的定义判断④．
【详解】解：∵16.92=285.61，
∴285.61=16.9，结论①正确；
∵16.42=268.96，
∴1642=26896，
∴26896的平方根是±164，结论②正确；
∵256<260<289，
∴16<260<17，
∴-17<-260<-16，
∴3<20-260<4，
∴20-260的整数部分是3，结论③错误；
∵16.12=259.21，16.22=262.44，
∴260、261、262的算术平方根在16.1∼16.2，结论④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义、平方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握算术平方根的定义和平方根的定义是解题的关键．
4．（3分）（2023春·湖南·八年级期末）已知x，y为实数，且y=x2-9-9-x2+4，则x-y=（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【答案】C
【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵y=x2-9-9-x2+4，
∴x2-9≥0，9-x2≥0
∴x2-9=0
∴y＝4，
∴x=±3，
当x=3,y=4时，x-y=3-4=-1；
当x=-3,y=4时，x-y=-3-4=-7；
∴x-y=-1或x-y=-7，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
5．（3分）（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）已知3既是a+5的平方根，也是7a-2b+1的立方根，则关于x的方程ax-22-9b=0的解是（ ）．
A．x=12B．x=72C．x=43或83D．x=12或72
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的概念可得a+5=9，7a-2b+1=27，求解可得a=4，b=1，然后带入原方程，利用平方根解方程即可．
【详解】解：根据题意，3既是a+5的平方根，也是7a-2b+1的立方根，
可得a+5=32=9，7a-2b+1=33=27，
解得a=4，b=1，
则关于x的方程ax-22-9b=0即为4x-22-9=0，
∴(x-2)2=94，
∴x-2=±32，
解得 x=12或x=72．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．
6．（3分）（2023春·浙江金华·八年级统考期中）已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．x=a1000,y=100bB．x=1000a,y=b1000
C．x=a100,y=-1000bD．x=a100,y=1000b
【答案】C
【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到a，b的值，由此可得到x与a和y与b的关系
【详解】解：∵a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是456，
∴a=12.32=100×1.232,b=(-45.6)3，
x=1.232,y=1000×45.63
∴x=a100,y=-1000b．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出x与a和y与b的关系是解题的关键．
7．（3分）（2023春·福建厦门·八年级统考期中）实数x,y,z在数轴上的对应点的位置如图所示，若z+yA．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】解：根据数轴可知x①若原点的位置为A点时，x＞0，则z+y=z+y，x+y=x+y，x+y∴z+y>x+y，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，x<0,y>0,z>0,|z|>|x|,|z|>|y|，
则|x+y|<|y|或|x+y|<|x|，z+y=|z|+|y|，
∴z+y>x+y，舍去；
③若原点的位置为D点时，x<0,y<0,z>0,|y|>|z|
则|x+y|<|y|+|x| z+y<|y|，
∴z+y∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
8．（3分）（2023春·北京·八年级期中）已知mina,b,c表示取三个数中最小的那个数．例如：当x=-2时，min-2,-22,-23=-8，当minx,x2,x=116时，则x的值为（ ）
A．116B．18C．14D．12
【答案】C
【分析】本题分别计算x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当x=116时，x=1256，x当x2=116时，x=±14，当x=-14时，x当x=14时，x=12，x2当x=116时，x2=1256，x2故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
9．（3分）（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）在数轴上，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（ ）
A．2-1B．2-12C．-2-2D．-22-1
【答案】C
【分析】首先根据数轴上点A表示的数为-1，点B表示的数为2，可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数为-1，点B表示的数为2，
∴BA=2--1=2+1，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴BA=AC，
设点C表示的数为x，则2+1=-1-x，
∴x=-2-2；
∴点C的坐标为：-2-2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是实数与数轴的关系，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
10．（3分）（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值x为16时，输出y值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值y为3时，输入值x为9
D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·河南信阳·八年级统考期末）在实数-37，-5，-2，-3中，最小的数是 ．
【答案】-3
【分析】先估算出-5，-37的大小，然后进行比较，即可解答．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴-3<-5<-2，
∵1<7<8，
∴1<37<2，
∴-2<-37<-1，
∴-3<-5<-2<-37，
∴在实数-37，-5，-2，-3中，最小的数是-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，算术平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
12．（3分）（2023春·广东云浮·八年级统考期中）若3x=x，则x的值为 ．
【答案】0或±1
【分析】根据立方根的定义求解即可，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根．
【详解】解：∵3x=x，即x的立方根等于它的本身，
∴x的值为0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．
13．（3分）（2023春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算：a-2+c-b-2-2-2= ．
【答案】c-a-b
【分析】先根据数轴上点的位置得到a-2<0，c-b-2>0，2-2>0，据此化简绝对值即可．
【详解】解；由题意得a<0∴a-2<0，c-b-2>0，2-2>0，
∴a-2+c-b-2-2-2
=2-a+c-b-2+2-2
=c-a-b，
故答案为：c-a-b．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和实数的混合计算，正确根据数轴得到a-2<0，c-b-2>0，2-2>0是解题的关键．
14．（3分）（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱长的 倍．
【答案】3
【分析】设正方体A的棱长是a，正方体B的棱长是b，根据题意得出a3=27b3，根据立方根的定义得出a=3b，即可求解．
【详解】解：设正方体A的棱长是a，正方体B的棱长是b，
依题意得：a3=27b3，
∴a=3b，
即正方体A的棱长是正方体B的棱长的3倍.
故答案为：3
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
15．（3分）（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知n是正整数，51+n是整数，则n的最小值为 ．
【答案】13
【分析】根据当51+n是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案．
【详解】解：∵72=49，82=64，
∴51+n=64，
∴n=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．
16．（3分）（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将1、2、3、4……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：
①（6，6）表示的数是 ；
②若2021在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ．
【答案】 31 125
【分析】观察式子，得到如下规律，第n排的个数为(2n-1)个，前n排的总数为n2个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
【详解】解：观察式子可得，
第1排的个数为2×1-1=1，前1排的总数为1=12，
第2排的个数为2×2-1=3，前2排的总数为4=22，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为2×3-1=5，前3排的总数为9=32，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为2×4-1=7，前4排的总数为16=42，从右到左依次增大排列，
……
第n排的个数为(2n-1)个，前n排的总数为n2个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
（6，6）表示第6排从左向右第6个数
前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大，
第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数，
所以（6，6）表示的数为25+6=31；
因为442=1936<2021，452=2025>2021
所以2021是在第45排，即x=45
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为2021-1936=85，所以y=85
将x=45，y=85代入(2x-y)3得(2x-y)3=(90-85)3=125
故答案为：31，125
【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·辽宁铁岭·八年级统考期中）求下列各式中的x；
(1)x2-1=916；
(2)2x3+216=0．
【答案】(1)x=±54
(2)x=-3
【分析】（1）利用平方根的性质求出方程的解；
（2）先根据积的乘方法则计算，然后再求立方根即可．
【详解】（1）解∶移项得，x2=1+916，
合并同类项得，x2=2516，
∴x=±54
（2）8x3=-216，
x3=-27,
∴x=-3.
【点睛】本题考查了利用平方根及立方根解方程，熟练掌握平方根及立方根的性质是解决问题的关键．
18．（6分）（2023春·河南安阳·八年级统考期末）计算：
(1)(-1)2023+327+|-3|-9
(2)(-5)2+3-64--122
【答案】(1)3-1
(2)34
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：原式=-1+3+3-3=3-1；
（2）解：原式=5-4-14=34．
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19．（8分）（2023春·河北邯郸·八年级校考期中）已知a+3的立方根是2，b-1的算术平方根为3，c2=16．
(1)分别求a，b，c的值；
(2)若c<0，求3a-b+c的平方根．
【答案】(1)a=5，b=10，c=±4，
(2)±1
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的含义先求解a，b，c，从而可得答案；
（2）先求解3a-b+c，再求解平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+3的立方根是2，b-1的算术平方根为3，
∴a+3=8，b-1=9，
解得：a=5，b=10，
∵c2=16，
∴c=±4；
（2）∵c<0，则c=-4，
∵a=5，b=10，
∴3a-b+c=15-10-4=1，
∴3a-b+c的平方根是±1；
【点睛】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记基本概念是解本题的关键．
20．（8分）（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求S阴=_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，则每个三角形的面积为14(5×5-13)=3，据此作图即可．
【详解】解：（1）S阴=4×4-12×1×3×4=10，
故答案为：10；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，
则每个三角形的面积为14(5×5-13)=3，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
21．（8分）（2023春·山东临沂·八年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m(1)无理数5的“近整区间”是_________；无理数-10的“近整区间”是_________；
(2)实数x，y满足关系式：y=x-2023+2023-x，求x+y的算术平方根的“近整区间”．
【答案】(1)2,3；-4,-3；
(2)44,45
【分析】（1）根据“近整区间”的定义，确定5和-10介于哪两个整数之间，即可得到答案；
（2）根据算术平方根被开方数大于等于0，求得x=2023，y=0，进而得到x+y的算术平方根为2023，即可求出其“近整区间”．
【详解】（1）解：∵22=4<5<9=32，
∴2<5<3，
∴无理数5的“近整区间”是2,3；
∵32=9<10<16=42，
∴3<10<4，
∴-4<-10<-3，
∴无理数-10的“近整区间”是-4,-3，
故答案为：2,3；-4,-3；
（2）解：∵y=x-2023+2023-x，
∴x-2023≥0，2023-x≥0，
∴x=2023，y=0，
∴x+y的算术平方根为2023，
∵442=1936<2023<452=2025，
∴44<2023<45，
∴x+y的算术平方根的“近整区间”是44,45．
【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法，正确理解“近整区间”的定义是解题关键．
22．（8分）（2023春·湖南邵阳·八年级校考期中）观察表格，回答问题：
(1)表格中x=________，y=________；
(2)从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈________；
②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代数式表示b，则b=________；
(3)试比较a与a的大小．
当________时，a>a；当________时，a=a；当________时，a【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②10000m；
(3)01．
【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1）解：x=0.01=0.1，y=100=10．
故答案为：0.1；10；
（2）解：①根据题意得：1000≈31.6．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴b=10000m．
故答案为：31.6；10000m；
（3）解：当a=0或1时，a=a；
当0a；
当a=1或0时，a=a；
当a>1时，a故答案为：01．
【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
23．（8分）（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
(1)由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；
(2)已知32768，-274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
【答案】(1)两，9，3；
(2)32，-65；
【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；
（2）按照题给方法，依次推算即可；
【详解】（1）∵103=1000,1003=1000000
∴359319 是两位数
∵59319 的个位上的数是 9
∴359319 的个位上的数字是 9
∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ，33=27,43=64
∴359319 的十位上的数字是 3
故答案是：两，9，3 ；
（2）①求 32768 的立方根
∵1000<32768<1000000
∴32768 的立方根是两位数
∵32768 个位数是 8
∴32768 的立方根个位数是 2
∵33<32<43
∴32768 的立方根十位数是 3
综合可得 32768 的立方根是 32
②求-274625立方根
∵1000<274625<1000000
∴274625 的立方根是两位数
∵274625 个位数是 5
∴274625 的立方根个位数是 5
∵63<274<73
∴274625的立方根十位数是6
∴274625的立方根65
∴-274625的立方根是-65
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围．x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
x2
256
259.21
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