北师大版数学九年级上册 第四章综合素质评价试卷

这是一份北师大版数学九年级上册 第四章综合素质评价试卷，共19页。

第四章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．[2023金昌]若eq \f(a,2)＝eq \f(3,b)，则ab＝(　　)A．6 B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(2,3)2．下列命题正确的是(　　)A．有一个角对应相等的平行四边形都相似 B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似 D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为(　　)A．2 B．4 C．6 D．84．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4，则线段BC的长为(　　)A．6 B．8 C．10 D．125．如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(　　)A．eq \f(AE,AD)＝eq \f(AC,AB) B．∠B＝∠ADE C．eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC) D．∠C＝∠AED6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC.在图中的三角形中，两两相似的三角形对数为(　　)A．2 B．3 C．4 D．57．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是(　　)A．(1，1) B．(4，4)或(8，2) C．(4，4) D．(4，4)或(－4，－4)8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(　　)A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：19．如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C.若eq \f(BF,GC)＝eq \f(2,3)，则eq \f(AD,AB)的值为(　　)A．2eq \r(2) B．eq \f(4\r(10),5) C．eq \f(20,7) D．eq \f(8,3)10．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2 024的长为(　　)A．eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2 024) B．2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2 023) C．eq \r(5)×22 024 D．eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2 023)二、填空题(每题3分，共15分)11．[2024汉中汉台区期中]如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为________．12．[2022北京]如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，eq \f(AF,FC)＝eq \f(1,4)，则AE的长为________．13．[2024台州椒江区期中]顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比，如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为________．14．[2023北京海淀区一模]综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度．如图，把一面镜子放在与假山AC距离为 21米的B处，然后沿着射线CB后退到点E，这时恰好在镜子里看到山顶A，利用皮尺测量BE＝2.4米，若小宇的眼睛到地面的距离是1.6米，则假山AC的高度为________米．(结果保留整数)15．如图，D为Rt△ABC斜边AB的中点，连接CD，过点D作 DE⊥CD交BC于E，若BE＝2，AC＝5，则CE＝________．三、解答题(共6小题，共75分)16．(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，B(6，4)，C(0，6)，将其各顶点的横、纵坐标均缩小为原来的eq \f(1,2)，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，位似比是多少？17．(12分)如图，△ABC中，BC＝24 cm，高AD＝12 cm，矩形EFGH的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点G，H分别在AC，AB上，且EF：EH＝4：3，求矩形EFGH的面积．18．(12分)[2023湘潭雨湖区三模]如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F.(1)求证：△EDC∽△DAF；(2)若AB＝3，AD＝2，当点E为BC的中点时，求线段EF的长度．19．(12分)[2024西安灞桥区三模]大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝ 1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB.20．(14分)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3 cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．(1)x为何值时，PQ∥BC；(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．21．(15分)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，D，E分别是线段BC，AC上的点，且满足eq \f(CD,CB)＝eq \f(CE,CA)＝eq \f(2,3)，连接DE，将△CDE绕着点C逆时针旋转，记旋转角为α.(1)①当α＝0°时，eq \f(AE,BD)＝________；②当α＝90°时，eq \f(AE,BD)＝________．(2)如图②，当0°＜α＜90°时，过点D作DM⊥BC于点M，过E作EN⊥AC于点N，求出eq \f(DM,EN)的值；(3)当0°＜α＜360°时，若O为DE的中点，求在旋转过程中，线段OB长的最大值和最小值．答案一、1.A　2.D　3.C　4.D　5.C　6.B　7.D　8.D9．A 【解析】解法一：过点G作GT⊥AD于点T.设AB＝x，AD＝y.∵eq \f(BF,CG)＝eq \f(2,3)，∴设BF＝2k，CG＝3k.∵AE＝DE＝eq \f(1,2)y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝eq \f(1,2)y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF.∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG.∴∠GEF＝∠GFE.∴EG＝FG＝y－5k.∴GA′＝eq \f(1,2)y－(y－5k)＝5k－eq \f(1,2)y.∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴eq \f(CG,CF)＝eq \f(GA′,FB′).易得CF＝y－2k.∴eq \f(3k,y－2k)＝eq \f(5k－\f(1,2)y,2k).∴y2－12ky＋32k2＝0.∴y＝8k或y＝4k(舍去)．∴AE＝DE＝4k.易得四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k.∴ET＝k.∵EG＝8k－5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝eq \r(（3k）2－k2)＝2eq \r(2)k.∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(8k,2\r(2)k)＝2eq \r(2).解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA′E≌Rt△CDE，推出A′C＝CD＝AB＝A′B′，推出eq \f(CG,GF)＝eq \f(CA′,A′B′)＝1，推出GF＝CG＝3，推出BC＝AD＝8.在Rt△CB′F中，由勾股定理得CB′＝4eq \r(2)，则A′B′＝AB＝2eq \r(2)，则eq \f(AD,AB)＝eq \f(8,2\r(2))＝2eq \r(2).故选A.10．A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为eq \r(5)：2.∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的比为eq \r(5)：2.∵矩形ABCD的对角线长为eq \r(5)，∴矩形AB1C1C的对角线AC1＝eq \r(5)×eq \f(\r(5),2)＝eq \f(5,2)，依此类推，矩形AB2C2C1的对角线和矩形AB1C1C的对角线的比为eq \r(5)：2，∴矩形AB2C2C1的对角线AC2＝eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2).∴矩形AB3C3C2的对角线AC3＝eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(3)，按此规律第n个矩形的对角线ACn＝eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(n)，∴AC2 024的长为eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq \s\up12(2 024)，故选A.二、11.48°　12.1　13.eq \f(\r(5)＋3,2)　14.1415.eq \r(29) 【解析】如图，取CE的中点为F，连接DF.∵DE⊥CD，∴DF＝CF＝EF.∴∠FCD＝∠FDC.∵∠ACB＝90°，D是AB上的中点，∴AD＝BD＝CD.∴∠DCF＝∠B.∴△FCD∽△DCB.∴eq \f(CF,CD)＝eq \f(CD,BC).设CF＝x，CD＝a，则DF＝EF＝x，BD＝AD＝a，∴BC＝2x＋2.∴eq \f(x,a)＝eq \f(a,2x＋2).∴a2＝2x＋2x2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴52＋(2x＋2)2＝(2a)2.∴4x2＋8x＋29＝4a2.∴4x2＋8x＋29＝4(2x＋2x2)，解得x＝eq \f(\r(29),2)(负值已舍去)．∴CE＝2x＝eq \r(29).三、16.【解】如图，四边形OA′B′C′即为所画的四边形．由题易得四边形OA′B′C′与四边形OABC是相似图形，且对应点的连线都经过同一点O，对应边平行，∴四边形OA′B′C′与四边形OABC是位似图形，位似比为eq \f(1,2).17．【解】设EF＝4k，EH＝3k，则AK＝12－3k，GH＝4k.∵HG∥BC，∴∠AHG＝∠ABC，∠AGH＝∠ACB.∴△AHG∽△ABC.∴eq \f(GH,BC)＝eq \f(AK,AD)，即eq \f(4k,24)＝eq \f(12－3k,12).解得k＝2.4 cm.∴EF＝4×2.4＝9.6(cm)，HE＝2.4×3＝7.2(cm)．∴S矩形EFGH＝EF·EH＝9.6×7.2＝69.12(cm2)．18．(1)【证明】∵AF⊥DE，四边形ABCD是矩形，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°，∠ADC＝90°.∴∠ADF＋∠EDC＝90°.∴∠EDC＝∠DAF.∴△EDC∽△DAF.(2)【解】∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝AD＝2.∵点E为BC的中点，∴CE＝1.∴DE＝eq \r(DC2＋CE2)＝eq \r(10).∵△EDC∽△DAF，∴eq \f(DE,AD)＝eq \f(CE,FD)，即eq \f(\r(10),2)＝eq \f(1,FD).∴FD＝eq \f(\r(10),5).∴EF＝DE－DF＝eq \r(10)－eq \f(\r(10),5)＝eq \f(4\r(10),5).19．【解】根据题意得△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(EC,EA)，eq \f(GH,AB)＝eq \f(FG,FA).∵CD＝GH，∴eq \f(FG,FA)＝eq \f(EC,EA).∴eq \f(1.92,1.92＋20＋CA)＝eq \f(1.28,1.28＋CA)，解得CA＝40米．∵eq \f(CD,AB)＝eq \f(EC,EA)，∴eq \f(2,AB)＝eq \f(1.28,1.28＋40)，解得AB＝64.5米．因此，古塔的高度AB为64.5米．20．【解】(1)由题意得，AP＝4x cm，BP＝(20－4x) cm，CQ＝3x cm，AQ＝(30－3x)cm.当PQ∥BC时，eq \f(AP,BP)＝eq \f(AQ,CQ).∴eq \f(4x,20－4x)＝eq \f(30－3x,3x)，即eq \f(x,5－x)＝eq \f(10－x,x).整理得50－15x＝0.∴x＝eq \f(10,3).∴当x＝eq \f(10,3)时，PQ∥BC.(2)存在．∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.则当eq \f(AP,AQ)＝eq \f(CQ,BC)时，△APQ∽△CQB.∵eq \f(AP,AQ)＝eq \f(CQ,BC)，∴eq \f(4x,30－3x)＝eq \f(3x,20).整理得9x2－10x＝0.∴x1＝0(不合题意舍去)，x2＝eq \f(10,9).当x＝eq \f(10,9)时，AP＝eq \f(40,9) cm.21．【解】(1)①eq \f(5,3)　②eq \f(5,3)(2)如图①，连接AE，BD.∵∠BCA＝∠DCE，∴∠BCD＝∠ACE.又∵eq \f(CD,CB)＝eq \f(CE,CA)＝eq \f(2,3)，∴△BCD∽△ACE.∴∠CBD＝∠CAE，eq \f(BD,AE)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,5).∵∠CBD＝∠CAE，∠DMB＝∠ENA＝90°，∴△BDM∽△AEN.∴eq \f(DM,EN)＝eq \f(BD,AE)＝eq \f(3,5).(3)如图②，连接OC.∵CD＝2，CE＝eq \f(10,3)，∴DE＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))\s\up12(2)－22)＝eq \f(8,3).∵O是DE的中点，∴DO＝eq \f(1,2)DE＝eq \f(4,3).∴CO＝eq \r(CD2＋DO2)＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \f(2,3)eq \r(13).∴当0°＜α＜360°时，在旋转过程中，当点O在线段BC上时，线段OB长的最小值为3－eq \f(2,3)eq \r(13)；当点O在线段BC延长线上时，线段OB长的最大值为3＋eq \f(2,3)eq \r(13).