北师大版九年级上册数学：第3周末教案+强化（学生版）

九(上)  第四章  图形的相似  （第三周周末教案 课时5）

第1节 成比例线段

【知识梳理】

知识点一、形状相同的图形

1. 所谓形状相同的图形， 实际上就是    形状    相同，     大小、位置    不一定相同的图形. 一般而言， 形状相同的图形就是相似图形， 但是全等图形也是形状相同的图形， 属于一种特殊情况。实际上， 形状相同的图形的对应线段的条数相同， 对应线段长的比值相等， 因此可以看作是把其中一个图形放大或缩小一定的倍数得到另一个.

知识点二、成比例线段

2. 两条线段的比：如果选用    同一个长度单位    量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n， 那么这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB:CD=m：n， 或写成.其中， 线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.

3. 成比例线段：四条线段a，b，c，d中， 如果a与b的比等于c与d的比， 即        ， 那么这四条线段a，b，c，d就叫做成比例线段， 简称比例线段.

【例1】 已知a=2cm， b=3cm， c=9cm， d=6cm， 计算=        ，       ，所以线段       是比例线段。

【例2】若a=3， b=4， c=6， 如果线段a，b，c，d是成比例线段， 则线段d的长是         。

【例3】 已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c=      ．

知识点三、比例的基本性质：

4. 如果， 那么    ad=bc    ；如果ad=bc(a，b，c，d都不等于零)，那么    或或或    。

【例4】已知， 则的值是(    )A.           B.          C.           D.    

点拨：利用比例的基本性质， 把比例式化成等积式， 再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母， 然后利用代入法或化成方程求解， 这是解决比例问题常用的方法.

5. 等比性质：如果， 那么        .

【例5】已知===， 则=        ，=        ，(其中， )

第2节 平行线分线段成比例

知识点一、平行线分线段成比例定理：

1. 两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段    成比例    .

点拨：①在由平行线推出成比例的线段的比例式时， 要注意它们的相互位置关系， 比例式不能写错， 要把对应的线段写在对应的位置上.可简记为，②在列比例式求某条线段的长时， 尽可能将要求的线段写成比例的第一项， 以减少错误.

【例6】如图，直线l1∥l2∥l3，两直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（　　）

A．           B．              C．        D．

（例6）

知识点二、 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

点拨：①平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边也是对应成比例的.②“平行线分线段成比例定理”的基本图形有两种， 一种形如大写字母“A”， 称为    “A型”    ，如图①所示， 一种形如大写字母“X”， 称为    “X型”    ，如图②所示.

【例7】 如图所示， 在ΔABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E， 若AD=4， DB=2， 则的值为(  A  )

A.           B.          C.           D.    

(例7)

☆☆【例8】在△ABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CD与BF交于点E，=，CA=3CF，则=        ．

（例8）

【习题精练】

1. 下列各组线段中， 不是比例线段的是(    )

A. a=3，b=6，c=2，d=4       B. a=1，b=，c=，d=    C. a=4，b=6，c=5，d=10   D. a=2，b=，c=，d=

2．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（　　）

A．5：8                 B．3：8                  C．3：5            D．2：5

（2题） （3题）(4题)

3．如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（　　）

A．=           B．=               C．=        D．=

4. 如图所示， 直线a∥b∥c， 直线e，f与a，b，c交于点A，B，C，D， E，F， 直线AC与直线DF相交于M点， 若AB=3， BC=2， 则的值为(    )A.           B.          C.           D.    

5．已知≠0，则的值为        ．

6. 如图所示， 在ΔABC中， 点D，E分别在AB， AC上， DE∥BC， ， 那么AD：AB=         .

(6题)

7．已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为     cm．

8．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．

(8题)

【提高训练】

☆9. 如图，已知在△ABC中，D是BC边上一点，连AD，EF∥BC，EF与AB、AC、AD分别交于点E、F、G，求证：

(9题)

☆10．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．

（10题）

【培优训练】

☆☆11.  已知a，b，c是ΔABC的三边长， 且， 试猜想ΔABC的形状.

☆☆12. 如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，且CD=BC，E是AC的中点，DE的延长线交AB于F，则DE：EF等于多少？ ．

(12题)

九(上)  第四章  图形的相似  （第三周周末教案 课时6）

【知识梳理】

知识点一、相似多边形：    各角对应相等, 各边对应成比例    的两个多边形叫相似多边形.

点拨：①判定相似多边形的条件缺一不可,即必须是各角对应相等, 各边对应成比例；②相似比是有顺序的,如果四边形ABCD∽DEFG, 相似比为k, 则四边形DEFG∽四边形ABCD的相似比为.③利用符号表示两个相似多边形时,一定要把对应顶点写在对应的位置上,以便能准确、迅速地写出对应边.

【例1】下列命题中真命题的是（    ）

A. 边数相同且对应角相等的两个多边形相似        B. 边数相同且对应边成比例的两个多边形相似

C. 边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似  D. 边数相同的两个正多边形相似

【例2】已知如图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．

（例2）

【例3】如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ）

A. 2：1   B.     C.    D. 4：1

(例3)

知识点二、相似三角形：    三角分别相等、三边对应成比例    的两个三角形叫相似三角形.

点拨：三角形相似与全等类似,有几种常见的构图方式：①平行线型,如图⑴⑵；②“子母”型如图⑶⑷⑸；②相交线型,如图⑹.

【例4】已知△ABC如图所示，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（    ）

 （例4）             

【例5】△ABC与△DBE按如图所示的方式放在一起，已知∠1=∠2,∠C=∠D,求证：△ABC与△DBE相似。

（例5）

☆【例6】如图所示， 在ΔABC中，D是BC上的一点， 连接AD， 若, 则图中有        对相似三角形， 分别是          .

(例6)

知识点三、 黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 如果, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫线段AB的黄金分割点, AC与AB的比叫做黄金比.

点拨：①由黄金分割的意义知,.②黄金比；③线段AB有两个黄金分割点,一个点靠

近A,另一个点靠近B.④由,得,.

【例7】已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=         。

【习题精练】

1.如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（　 　）

       A．87°           B．60°           C．75°           D．120°

2. 如图所示， 在ΔABC中， D为边AC上一点， 连接BD， 已知∠DBC=∠A， BC=， AC=3， 则CD的长为(   )

A. 1        B.          C. 2         D.

(2题)(3题)(4题)(5题)

3. 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，则下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是(    )

A.∠B=∠ADE        B.AD：DE=AB：BC       C.AD：AE=AB：AC       D.DE∥BC

4. 如图， 已知点A，E是线段BD同侧的两个点， AB⊥BD， ED⊥BD， C是线段BD的中点， 且AC⊥CE， ED=1， BD=4， 那么AB=        .

5. 如图， ∠C=∠E=90°， BE与CD相交于A点， AC=3, BC=4， AE=2， 则AD=        .

6. 如图， 在平行四边形ABCD中， E在AB上， CE， BD交于点F， 若AE:BE=4：3， 且BF=2, 则DF=        .

(6题)

7. 节目主持人主持节目时， 站在舞台的黄金分割点处最自然得体， 已知舞台AB长为20m， 那么主持人走到离A点           m处比较自然得体(结果精确到0.1m， )

8. 已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

(8题)  

【提高训练】

☆9. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为         .

(9题)

☆10. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB•CE．求证：△ADB∽△EAC.

（10题）

【培优训练】

☆☆11. 如图所示， 在ΔABC中，AB=6， AC=4， P是AC的中点， 过P点的直线交AB于点Q， 若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似， 则AQ的长为（    ）

A. 3                             B. 3或                        C. 3或                      D.

（11题）

☆☆12. 如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，求证：FD2＝FB·FC

(12题)

第四章  图形的相似（第3周  强化训练3）

【习题精练】

1. 下列正方形网格中， 小正方形的边长均为1， 三角形的顶点都在格点上， 则与ΔABC相似的三角形所在的网格图形是(    )

2. 如图， 在ΔABC中， 若DE∥BC， , DE=4cm， 则BC的长为（    ）

A. 8cm                            B. 12cm                        C. 11cm                       D. 10cm

(2题)(3题）（5题）(6题)

3. 不等长的两条对角线AC，BD相交于O点， 将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形， 若OA:OC=OB:OD=1：2,

则下列关于此四个三角形的关系中说明正确的是（     ）

1. 甲、丙相似， 乙、丁相似                      B. 甲、丙相似， 乙、丁不相似      

C. 甲、丙不相似， 乙、丁相似                    D.甲、丙不相似， 乙、丁不相似

4. ΔABC的三边长分别为，和2， ΔDEF的两边长分别为1和, 如果ΔABC∽ΔDEF， 则ΔDEF的第三边长为（     ）

A．       B．       C．2       D．

5. 已知∠1=∠2， 那么添加下列一个条件后， 仍然无法判定ΔABC∽ΔADE的是（     ）

A.                    B.                   C. ∠B=∠D                   D.∠C=∠AED

6. 如图， 在等边三角形ABC中， D，E分别是AC, AB上的点， 且, AE=BE， 则有（    ）

A. ΔAED∽ΔBED                   B. ΔAED∽ΔCBD                C. ΔAED∽ΔABD              D.ΔBAD∽ΔBCD

7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(     )

A. AE：DE=FE：EC        B. FA：CD=FE：EC        C. FA：AB=FE：EC        D. AE：BC=AB：FB

(7题)(8题)

8. 如图， ΔABC中， 点D，F是边AB上的三等分点， DE∥FG∥BC， BE交FG于点H， 若FH=2， DE=        ， FG=         ，CB=         .

9. 已知ΔABC中， BC:AC:AB=3：5：7， 且AC+BC-AB=6，则三角形的周长为        。

10. 设y为x、z的比例中项，且x：y=3：4，y＞0，则y：z的值为           ．

11. 把长为7cm的线段进行黄金分割， 则分成的较短的线段长为         。

12. 如图， D是ΔABC的边AB上一点， 且∠ABC=∠ACD， AD=3cm， AB=4cm， 则AC的长为        。

（12题）(13题)

【提高训练】

☆13. 在ΔABC中， CD⊥AB于D, AD=8，CD=6， 当BD=        时， ΔADC∽ΔCDB, ∠ACB=         .

14. 如图， 已知, 则∠C=        ，图中与∠CBE相等的角是        和        .

(14题)

☆15. 如图， 正方形网格内的四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形，连接AC， AF， AG。⑴ 找出图中的一对相似三角形并说明理由；⑵ 求∠1+ ∠2的度数

（15题）

【培优训练】

☆☆16. 如图， 在钝角ΔABC中，AB=6， AC=12， 点D从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B移动， 点E从C点出发沿CA以2cm/s的速度向A点移动， 如果两点同时移动， 经过多少秒后， ΔADE与ΔABC相似？

（16题） 

☆☆17.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．(1)求证：△APE∽△FPA；(2)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

（17题）

【补充习题】

1. 已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC), 若AB=4cm， 则BC的长为(    )

A.        B.        C.        D.

2. 如图所示△ABC中， DE//BC,DF//AC,则下列比例式正确的是（    ）

1.         B.        C.        D.

（2题）（4题）

3．下列判断不正确的是（　　）

A．所有等腰直角三角形都相似   B．所有直角三角形都相似       C．所有正六边形都相似     D．所有等边三角形都相似

4. 如图， 在ΔABC中， ∠ACB=90°， CD⊥AB, 垂足为D， 则图中相似三角形共有（  C  ）

A. 4对                           B. 3对                      C. 2对                        D. 1对

5. 已知点C是线段AB的黄金分割点， 且AC<BC, AC=mBC, 则m的值是（     ）

A.                        B.                     C.                     D.

6. 如图所示， 在ΔABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的点， 且DE∥BC. DF∥AC， AD=4cm， BD=8cm， DE=5cm， 则线段BF的长为         .

(6题)