2020-2021学年第四章 图形的相似综合与测试导学案

这是一份2020-2021学年第四章 图形的相似综合与测试导学案，共25页。学案主要包含了由，得，进而可得等内容，欢迎下载使用。

动点问题答案：
1x
y
O
B′
A′
A
图①
x
y
O
A
E
C
D
B
图②
（第26题图）
B
．如图，点，的坐标分别为（2，0）和（0，），将绕点按逆时针方向旋转后得，点的对应点是点，点的对应点是点．
（1）写出，两点的坐标，并求出直线的解析式；
（2）将沿着垂直于轴的线段折叠，（点在轴上，点在上，点不与，重合）如图，使点落在轴上，点的对应点为点．设点的坐标为（），与重叠部分的面积为．
i）试求出与之间的函数关系式（包括自变量的取值范围）；
ii）当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
iii）是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．







1．答案
解：（1） （2分）
设直线的解析式，则有
解得
直线的解析式为 （3分）
（2）i）①点在原点和轴正半轴上时，重叠部分是．
则

当与重合时， （4分）
②当在轴的负半轴上时，设与轴交于点，则重叠部分为梯形.


又

（5分）
当点与点重合时，点的坐标为
（6分）
综合得 （7分）
ii）当时， 对称轴是
抛物线开口向上，在中，随的增大而减小
当时，的最大值＝ （8分）
当时，
对称轴是,抛物线开口向下
当时，有最大值为 （9分）
综合当时，有最大值为 （10分）
iii）存在，点的坐标为和 （14分）
附：详解：当以点为直角顶点时，作交轴负半轴于点，
,;,点坐标为（，0）
点的坐标为
当以点为直角顶点时,同样有,
,点的坐标,综合①②知满足条件的坐标有和．

3．直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．











3题答案

(1) ……………………….各1分
(2)∵，，∴
当点 在上运动时，，
；..............1分
当点 在上运动时，作于点，
有
∵，∴………………………1分
∴……………………1分
（3）当时，，，………………………………1分
此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；……………………………………………………………………………1分
当时，，，……………………1分
此时，、………………………………………各1分

4．
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．








































5．(第24题)
（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、
高BE的长是 ▲ ；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值。
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边
形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.







5题解
（1）5 , 24,
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.
如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
△AQG∽△ABE,∴,
∴QG=,
∴(≤t≤5).
……1分
∵(≤t≤5).
∴当t=时，S最大值为6
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=
以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点
F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得
, ∴,
∴.
∴CQ1==.则, ∴
第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则,∴.……1分
②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.
∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-
则.∴.
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.





6（2009年浙江宁波）．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形的形状是 ，当α=90°时，的值是 ．
（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求的值;
②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。


（2009年浙江宁波26题解析）解：（1）矩形（长方形）
（2）①，，
．
，即，
，．
同理，
，即，
，．
．
②在和中，
[来源
．
．
设，[来源:学科网]
在中， ，解得．
．
（3）存在这样的点和点，使．
点的坐标是，．
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．
过点画于，连结，则，
Q
C
B
A
O
x
P



y
H
，，
．
设，
，
Q
C
B
A
O
x
P



y
H
，
① 如图1，当点P在点B左侧时，
，
在中，，[来源:学科网ZXXK]
解得，（不符实际，舍去）．
，
．
②如图2，当点P在点B右侧时，
，．
在中，，解得．
，
．
综上可知，存在点，，使．

7．

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；
(第24题图①)

（第24题图②）

(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
(1) 附加题：（如果有时间，还可以继续
解答下面问题，祝你成功！）
如果点P、Q保持原速度速度不
变，当点P沿A→B→C→D匀
速运动时，OP与PQ能否相等，
若能，写出所有符合条件的t的
值；若不能，请说明理由．



6题解（1）(1,0) ----------------------------------------------------------------------------------1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．----------------------------------------------3分
(2) 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，.
∴.
在Rt△AFB中，.-----------------------------------------------5分
过点作⊥轴于点,与的延长线交于点.
∵ ∴△ABF≌△BCH.
∴.
∴.
∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分
(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
则△APM∽△ABF.
∴. .
∴. ∴.
设△OPQ的面积为(平方单位)
∴(0≤≤10) --------------------10分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵<0 ∴当时, △OPQ的面积最大.------------------11分
此时P的坐标为(，) . ---------------------------------------------------12分
(4) 当 或时, OP与PQ相等.-----------------------------------------14



9．
把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．
（1）求的度数；
（2）求线段AD1的长；
（甲）
A
C
E
D
B
B
（乙）
A
E11
C
D11
O
F
（3）若把三角形D1CE1绕着点顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．




9题解
解：（1）如图所示，，，
∴．　　………………………………1分
又，
∴． ………3分
（2），∴∠D1FO=60°．
，∴． 4分
又，，∴．
，∴． 5分
又，∴．
在中，． 6分
（3）点在内部． 7分
理由如下：设（或延长线）交于点P，则．
在中，， ………… 9分
，即，∴点在内部． ……………10分
5
4
1
2
3






















11．如图15，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）．
（1）两点间的距离是 ；
（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由；
（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；
（4）连结，当时，请直接写出的值．
A
E
C
D
F
G
B
Q
K
图15
P







A
E
C
D
F
O
B
Q
K
图5
H
P
G
11题解：（1）25．
（2）能．
如图5，连结，过点作于点，
由四边形为矩形，可知过的中点时，
把矩形分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
A
E
C
D
F
B
Q
K
图6
P
G
此时．由，，得．
故．
（3）①当点在上时，如图6．
，，
A
E
C
D
F
B
Q
K
图7
P
(G)
由，得．
．
②当点在上时，如图7．
A
E
C
D
F
B
Q
K
图8
P
G
H
已知，从而，
由，，得．
解得．
（4）如图8，；如图9，．
A
E
C
D
F
B
Q
K
图9
P
G
（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；当时，点均在上，不存在）


16
如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求点的坐标．
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
A
y
x
D
C
O
B
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．





16题解：（1）在中，当时，，
，点的坐标为． 1分
在中，当时，，点的坐标为（4，0）． 2分
由题意，得解得
点的坐标为． 3分



A
y
x
y
x
D2
图（1）
图（2）
D1
C
D4
D3
M2
M1
O
B
B
O
C
A
D1
D2
E1
E2
M4
（2）当为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点的坐标为．







由（1），得，．
①当时，过点作轴，垂足为点，则．
．
，点的坐标为． 4分
②当时，过点作轴，垂足为点，则．
，，
．
解，得（舍去）．此时，．
点的坐标为． 6分
③当，或时，同理可得． 9分
由此可得点的坐标分别为．
评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．
（3）存在．以点为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形为平行四边形时，． 10分
②当四边形为平行四边形时，． 11分
③当四边形为平行四边形时，． 12分












18．（本题满分14分）已知：如图，在直角梯形中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒．
（1）求直线的解析式；
（2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？
（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
A
B
D
C
O
x
y
（此题备用）
（4）当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由．
A
B
D
C
O
P
x
y



18题解
解：y=20+2x （12≥x≥1）
（2）当5≥x≥1时，W=（1200-800）×（2x+20）
=800x+8000
此时w随x的增大而增大，当x=5时，W最大=12000
当12≥x＞5时，W=
=-80（X2-5X-150)=-80(X-)2+12500
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小。
所以，当x=6时，W最大=11520
20.（1）设直线BC的解析式为y=kx+b 依题意得：
4=k×0+4
10=8k+b
解之得：k= ； b= 4
所以直线BC的解析式为y=x+4
（2） t=
（3） s=t （8>t>0）
s=44-2x （18>x≥8）
s=-
（4）不存在。理由如下：过C作CM⊥AB于M,易知CM=OA=8
AM=OC=4,所以BM=6.假设四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5,PQ‖CD,

根据Rt△PAQ∽ Rt△BDP可求PB=5,PB=PD,这与三角形PBD是直角三角形相矛盾，所以假设不成立在OA上不存在点Q,,使四边形CQPD为矩形












17。如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．






解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为   ▲   ，数量关系为   ▲   ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
解：
(1)①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD
（2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD
（3）当具备∠BCA=45º时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）
∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴  DQ=4—x，
容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，
．
∵0＜x≤3   ∴当x=2时，CP有最大值1．

附加题1
A
C
B
P
Q
E
D
图16
如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
26．解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
A
C
B
P
Q
E
D
图4
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】












附加题3
如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
（3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．

A
D
C
B
P
M
Q
60°
图13








A
D
C
B
P
M
Q
60°
26．（1）证明：∵是等边三角形
∴ 1分
∵是中点
∴
∵
∴

∴ 2分
∴
∴梯形是等腰梯形． 3分
（2）解：在等边中，

∴
∴ 4分
∴ ∴ 5分
∵ ∴ 6分
∴ ∴ 7分
（3）解：①当时，则有
则四边形和四边形均为平行四边形
∴ 8分
当时，则有
则四边形和四边形均为平行四边形
∴ 9分
∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．
此时平行四边形有4个． 10分
②为直角三角形 11分
∵
∴当取最小值时， 12分
∴是的中点，而
∴∴ 13分


附加题425．（本小题12分）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH
（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B
重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯
形为DEFH′（如图12）.
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，
请求出此时t的值；若不能，请说明理由.
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y，求y与t的函数关系.
25．（12分）
解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分
∴=，即=，∴HG=…………………………………2分
∴S△AHG=AH·HG=×4×=……………………………………3分
（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分
∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分
过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=
∴y=………………………………………………………………8分
（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分
而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H=2t
∴y=-2t……………………………………………………………………10分
（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB
于P.
BD=8-t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=（8-t）………………11分 ∴重叠部分的面积y=S
△PDB=PD·DB
=·（8-t）（8-t）
=（8-t）2=t2-6t+24
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
……………………………………12分
y=（0≤t≤4）
-2t（4＜t≤5）
t2-6t+24（5＜t≤8）
（注：评分时，考生未作结论不扣分）