北师大版数学九年级上册 期末综合素质评价试卷

这是一份北师大版数学九年级上册 期末综合素质评价试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题，11.5　12.AB＝CD等内容，欢迎下载使用。

1．[2023衡阳珠晖区模拟]正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．四个角都相等 D．对角线互相垂直
2．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是( )
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则AB的长为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2 D．4
4．[2023北京海淀区一模]若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．某时刻，测得身高1.8米的人在阳光下的影长是1.5米，同一时刻，测得某旗杆的影长为12米，则该旗杆的高度是( )
A．10米 B．12米 C．14.4米 D．15米
6．[2024北京通州区一模]如图①，一个均匀的转盘被平均分成10份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.小凯转动转盘做用频率估计概率的试验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为试验转出的数字，图②是小凯记录下的试验结果情况，那么小凯记录的试验是( )
A．转动转盘后，出现偶数
B．转动转盘后，出现能被3整除的数
C．转动转盘后，出现比6大的数
D．转动转盘后，出现能被5整除的数
7．如图，从前，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程为( )
A．(x＋4)2＋(x＋2)2＝x2 B．(x－4)2＋(x－2)2＝x2
C．(x－4)2＋(x＋2)2＝x2 D．(x＋4)2＋(x－2)2＝x2
8．如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法．小聪发现在安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是( )
A．0.1 h B．0.35 h C．0.45 h D．0.5 h
9．[2023徐州]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，则AE的长为( )
A．1 B．2 C．1或eq \f(\r(3),2) D．1或2
10．[2023宜宾]如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为( )
A．3(eq \r(3)－1) B．3(3eq \r(3)－2) C．6(eq \r(3)－1) D．6(3eq \r(3)－2)
二
、填空题(每小题3分，共15分)
11．若eq \f(x,3)＝eq \f(y,5)＝eq \f(z,7)，则eq \f(x－y＋z,x＋y－z)＝________．
12．[2023郑州金水区月考]如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC的中点，G，H分别是线段BD，AC的中点，当四边形ABCD的边满足________时，四边形EGFH是菱形．
13．已知x1，x2是方程x2－kx＋eq \f(1,4)k(k＋4)＝0的两个根，且满足(x1－1)(x2－1)＝eq \f(13,4)，则k＝________．
14．[2024乐山沙湾区期末]如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y＝eq \f(6,x)上，顶点C在双曲线y＝eq \f(k,x)上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S平行四边形OABC＝10，则k＝________．
15．[2023珠海香洲区三模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，以斜边AB和直角边AC为边向△ABC外分别作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，连接DE交AB于点G，连接EF交AC于点H.以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④AH·HC＝EH·HF.其中正确的结论有________．(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题，共75分)
16．(6分)解下列关于x的方程．
(1)6x(x－1)＝x－1； (2)3x2－2x＝x2＋x＋1.
17．(6分)如图所示是由若干个相同的小正方体组成的几何体．
(1)该几何体由________个小正方体组成；
(2)在网格中画出该几何体的三视图．
18．(6分)云南物产丰富，特产多多．某数学兴趣小组制作了四张特产卡片，卡片除正面内容不同之外，其他别无二致，卡片如图所示，将四张卡片置于暗箱摇匀，小文从中随机抽取一张(不放回)，然后再从中随机抽取一张．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果；
(2)求小文抽取的两张卡片都是水果的概率．(用字母表示，水果包含富民杨梅和元谋青枣)
19．(6分)[2024成都青羊区一模]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且点E是边DC上一点，连接OE，OE⊥AC于点O，且2OC2＝CE·CD.
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)延长OE交AD的延长线于点F，若DF＝1，AC＝12，求边CD的长度．
20．(9分)已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)请求出这个反比例函数的表达式．
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
21.(9分)[2024上海奉贤区一模]如图①，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，如图②，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO，BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为 12.8厘米．
(1)求像A′B′的长度；
(2)已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
22．(9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°.点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，4)，M是边BC的中点，函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点M.
(1)求k的值；
(2)将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)，且EF在y轴上，点D在函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象上，求直线DF的表达式．
23.(12分)如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：ED＝EF；
(2)若AB＝2，CE＝eq \r(2)，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
24．(12分)[2023驻马店驿城区三模]由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【问题发现】
(1)如图①所示，在两个等腰直角三角形ABC和ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，BD和CE的数量关系是__________；BD和CE的位置关系是__________．
【类比探究】
(2)如图②所示，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，BC交于点M，DE与PC交于点N，连接AC交DE于点H.
①求∠DMC的度数；
②直接写出eq \f(DH,BC)的值．
【拓展延伸】
(3)如图③所示，已知点C为线段AE上一点，AE＝6，△ABC和△CDE为AE同侧的两个等边三角形，连接BE交CD于点N，连接AD交BC于点M，连接MN，直接写出线段MN的最大值．

答案
一、1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.B
9．D 【解析】∵在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，∠C＝60°.
∵D是AB的中点，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2).
又∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，BC＝2，∴DE＝1.
如图①，当∠ADE＝90°时，
∵∠ADE＝∠ABC，eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)，
∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2).
又∵AC＝4，∴AE＝2.
如图②，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH.
∵D是AB的中点，H是AC的中点，BC＝2，
∴DH∥BC，DH＝eq \f(1,2)BC＝1.
∴∠AHD＝∠C＝60°，
DH＝DE＝1.
∴△DEH为等边三角形．
∴∠DEH＝60°.
∴∠ADE＝60°－30°＝30°＝∠A.
∴AE＝DE＝1.综上所述，AE的长为1或2.故选D.
10．C 【解析】∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，∠ADP＝90°.
设AM＝m，PM＝PC＝n，则AP＝m＋n，DP＝6－n.
∵AB∥CD，∴易得△DPM∽△BAM.
∴eq \f(DP,BA)＝eq \f(PM,AM)，即eq \f(6－n,6)＝eq \f(n,m)，
整理，得mn＝6m－6n.
由勾股定理得AD2＋DP2＝AP2，
∴62＋(6－n)2＝(m＋n)2，
化简得m2＋2mn＋12n＝72，
将mn＝6m－6n代入，得m2＋12m－12n＋12n－72＝0，
解得m1＝6eq \r(3)－6，m2＝－6eq \r(3)－6(不合题意，舍去)，
∴AM＝6eq \r(3)－6＝6(eq \r(3)－1)．故选C.
二、11.5 12.AB＝CD
13．－3 【解析】由方程x2－kx＋eq \f(1,4)k(k＋4)＝0有实数根，可知根的判别式Δ≥0，解得k≤0，利用根与系数的关系，可得x1＋x2＝k，x1x2＝eq \f(1,4)k(k＋4)，结合(x1－1)(x2－1)＝eq \f(13,4)，可得关于k的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
14．－4 【解析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，垂足分别为点E，D，如图所示，
则∠BEP＝∠CDP＝90°.
∵BC的中点P恰好落在y轴上，∴BP＝CP.
又∵∠BPE＝∠CPD，∴△BEP≌△CDP(AAS)．
∴S△BEP＝S△CDP.
∵点B在双曲线y＝eq \f(6,x)上，∴S△BOE＝eq \f(1,2)×6＝3.
∵点C在双曲线y＝eq \f(k,x)上，且从图象得出k<0，
∴S△COD＝eq \f(1,2)|k|.
∴S△BOC＝S△BPO＋S△CPD＋S△COD＝S△BOE＋S△COD＝3＋eq \f(1,2)|k|.∵四边形ABCO是平行四边形，
∴S平行四边形ABCO＝2×S△BOC＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)|k|)).
∵S平行四边形OABC＝10，∴2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(1,2)|k|))＝10，解得k＝±4.
∵k<0，∴k＝－4.
15．①③④ 【解析】如图，连接CF.
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴CF＝eq \f(1,2)AB＝AF.∴点F在AC的垂直平分线上．
∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE.
∴点E在AC的垂直平分线上．∴EF⊥AC，故①正确．
∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴DF⊥AB.
∴AD＞DF.∴四边形ADFE不可能是菱形，故②不正确．
∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°.
∴∠DAB＝∠ABC.
∴AD∥BC.
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴易知EF∥BC.∴EF∥AD.
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°.
∴∠AEF＝30°，∠EAF＝90°.
∴EF＝2AF＝AB.
∴AD＝EF.∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AG＝eq \f(1,2)AF＝eq \f(1,4)AB＝eq \f(1,4)AD.
∴AD＝4AG，故③正确．
易知∠HAF＝∠HEC＝30°，∠EHC＝∠AHF＝90°，
∴△AHF∽△EHC.
∴eq \f(AH,EH)＝eq \f(HF,HC)，即AH·HC＝EH·HF.故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④.
三、16.【解】(1)原方程可化为(x－1)(6x－1)＝0，
解得x1＝1，x2＝eq \f(1,6).
(2)原方程可化为2x2－3x－1＝0，
解得x1＝eq \f(3＋\r(17),4)，x2＝eq \f(3－\r(17),4).
17．【解】(1)8
(2)三视图如图所示．
18．【解】(1)列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果．
(2)由表格可知，小文抽取的两张卡片都是水果的结果有2种，
∴小文抽取的两张卡片都是水果的概率为eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
19．(1)【证明】∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝∠EOA＝90°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴2OC＝AC.
∵2OC2＝CE·CD，∴OC·AC＝CE·CD，即eq \f(AC,EC)＝eq \f(CD,CO).
又∵∠ACD＝∠ECO，∴△ACD∽△ECO.
∴∠ADC＝∠EOC＝90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
(2)【解】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝eq \f(1,2)AC＝6，BD＝AC＝12，∠ADC＝90°.
∴∠ADC＝∠AOF.
又∵∠FAO＝∠CAD，
∴△ADC∽△AOF.
∴eq \f(AD,AO)＝eq \f(AC,AF).
设AD＝x，则AF＝x＋1，∴eq \f(x,6)＝eq \f(12,x＋1)，
整理，得x2＋x－72＝0，
解得x1＝－9(舍去)，x2＝8，
∴AD＝8.
∴在Rt△ADC中，CD＝eq \r(122－82)＝4eq \r(5).
20．【解】(1)由题意设I＝eq \f(k,R)(R＞0)．
∵图象经过坐标为(8，6)的点，∴6＝eq \f(k,8)，
解得k＝48.
∴这个反比例函数的表达式为I＝eq \f(48,R)(R＞0)．
(2)蓄电池的电压是6×8＝48(V)．
(3)∵I≤10，I＝eq \f(48,R)，
∴eq \f(48,R)≤10.∴R≥4.8.
∴用电器的可变电阻应控制在4.8 Ω及以上的范围内．
21．【解】(1)由题意得AB∥MN∥A′B′，OC＝32厘米，
OD＝12.8厘米，AB＝8厘米．
∵AB∥A′B′，∴易得△OAB∽△OA′B′.
∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(OA,OA′).
∵AB∥A′B′，∴易得△OAC∽△OA′D.∴eq \f(OA,OA′)＝eq \f(OC,OD).
∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(OC,OD).
∴eq \f(8,A′B′)＝eq \f(32,12.8)，
解得A′B′＝3.2厘米．
∴像A′B′的长度为3.2厘米．
(2)过点A′作A′E∥OD交MN于点E.
∵A′E∥OD，MN∥A′B′，
∴四边形A′EOD为平行四边形．
∴A′E＝OD＝12.8厘米， OE＝A′D.
同理可得，四边形ACOP为平行四边形，
∴AP＝OC＝32厘米．
∵AP∥CD, A′E∥OD，∴AP∥A′E.
∴易得△APO∽△A′EO.
∴eq \f(PO,OE)＝eq \f(AP,A′E)＝eq \f(32,12.8)＝eq \f(5,2).
∴eq \f(PO,A′D)＝eq \f(5,2).
∵MN∥A′B′，∴易得△POF∽△A′DF.
∴eq \f(OF,DF)＝eq \f(PO,A′D)＝eq \f(5,2).∴eq \f(OF,OD)＝eq \f(5,7).
∴OF＝eq \f(5,7)OD＝eq \f(64,7)厘米．
∴凸透镜焦距OF的长为eq \f(64,7)厘米．
22．【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点C的坐标为(3，4)，
∴点B的坐标为(3，0)，CB＝4.
∵M是BC边的中点，∴BM＝eq \f(1,2)BC＝2.
∴点M的坐标为(3，2)．
∵函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点M，
∴k＝3×2＝6.
(2)∵将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC.
∴DE＝AB，EF＝BC＝4，∠DEF＝∠ABC＝90°.
∵点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0)，
∴AB＝2.∴DE＝2.
∵∠DEF＝90°，∴DE⊥y轴．
∴点D的横坐标为2.
∵点D在函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象上，
∴当x＝2时，y＝3.
∴点D的坐标为(2，3)．
∴点E的坐标为(0，3)．
∵EF＝4，∴点F的坐标为(0，－1)．
设直线DF的表达式为y＝ax＋b，将点D(2，3)，F(0，－1)的坐标分别代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝2a＋b，,－1＝b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1.))
∴直线DF的表达式为y＝2x－1.
23．(1)【证明】如图①，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，则∠EQF＝∠EPD＝∠EPC＝90°.
易知∠DCA＝∠BCA，又∵EC＝EC，∴△EQC≌△EPC.
∴EQ＝EP.
易知∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED.
在△EQF和△EPD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠QEF＝∠PED，,EQ＝EP，,∠EQF＝∠EPD，))
∴△EQF≌△EPD(ASA)．
∴EF＝ED.
(2)【解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝2.
∴AC＝2eq \r(2).
∵EC＝eq \r(2)，∴AE＝CE.
∴易得点F与点C重合，此时矩形DEFG是正方形，如图②.
∴CG＝eq \r(2).

(3)【解】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°.
∵四边形DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°.
①当DE与AD的夹角为30°，即∠ADE＝30°时，点F在BC边上，则∠CDE＝90°－30°＝60°.
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得
∠EFC＝360°－90°－90°－60°＝120°.
②当DE与DC的夹角为30°，即∠CDE＝30°时，点F在BC的延长线上，如图③所示，记EF与CD交于点H.
∵∠BCD＝90°，∴∠HCF＝90°＝∠DEF.
又∵∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC的度数为∠CDE＝30°.
综上所述，∠EFC的度数为120°或30°.
24．【解】(1)BD＝CE；BD⊥CE 【解析】∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ADE＋∠AED＝90°.
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB.
∵∠CPD＝∠CED＋∠EDP＝∠AEC＋∠AED＋∠EDP，
∴∠CPD＝∠ADB＋∠AED＋∠EDP＝∠ADE＋∠AED＝90°.
∴BD⊥CE.
(2)①如图，连接AF，PE，PD.
∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AD＝AP＝CP，PB＝PF＝EF，∠APC＝∠CPB＝90°，
∠DPC＝∠FPE＝45°，∴易得DP＝eq \r(2)AP，PE＝eq \r(2)PF，
∠DPE＝90°，△APF≌△CPB(SAS)．
∴∠BCP＝∠PAF，BC＝AF.
∵eq \f(DP,AP)＝eq \r(2)＝eq \f(PE,PF)，∠DPE＝∠APF＝90°，
∴△DPE∽△APF.∴∠PDE＝∠PAF.
∴∠PCB＝∠PDE.
∵∠DNC＝∠CPD＋∠PDE＝∠DMC＋∠PCB，
∴∠DMC＝∠DPC＝45°.
②eq \f(DH,BC)＝eq \f(\r(2),2). 【解析】易知∠PDC＝∠PAC＝45°.
∵∠PDE＝∠PAF，∴∠CAF＝∠CDH.
易知∠ACF＝∠DCH＝45°，AC＝eq \r(2)CD，
∴△DCH∽△ACF.∴eq \f(DH,AF)＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(\r(2),2).
∵BC＝AF，∴eq \f(DH,BC)＝eq \f(\r(2),2).
(3)MN的最大值是eq \f(3,2).
【解析】∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE.
∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠EAD＝∠CBE.
∵∠ACB＋∠BCD＋∠DCE＝180°，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°.
∴∠ACB＝∠BCD，
∴△BCN≌△ACM(ASA)，
∴CM＝CN.
又∵∠BCD＝60°，
∴△CMN是等边三角形．∴CN＝MN.
易得CD∥AB.
∴易得△CEN∽△AEB.∴eq \f(CN,AB)＝eq \f(CE,AE).
设CE＝x，则AC＝AB＝6－x，
∴eq \f(CN,6－x)＝eq \f(x,6).∴NC＝x－eq \f(1,6)x2＝－eq \f(1,6)(x－3)2＋eq \f(3,2)≤eq \f(3,2).
∴当x＝3时，NC有最大值，最大值是eq \f(3,2)，
即线段MN的最大值是eq \f(3,2).
A
B
C
D
A
—
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
—
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
—
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
—