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北师大版数学九年级上册 第二章综合素质评价试卷
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这是一份北师大版数学九年级上册 第二章综合素质评价试卷，共24页。
第二章综合素质评价一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A．2(x2＋2x)＝2x2－1 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x＋1)2＝2x＋1 D．eq \f(1,x2)＋x＋1＝02．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( )A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－4 D．m≥－43．将一元二次方程2x2－6x＋1＝0配方，得(x＋h)2＝k，则h，k的值分别为( )A．3、8 B．－3、8 C．eq \f(3,2)、eq \f(7,4) D．－eq \f(3,2)、eq \f(7,4)4．[2024北京海淀区月考]在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是( )A．x－1＝0 B．x2＋x＝0 C．x2－1＝0 D．x2＋1＝05. 加快推动生态建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪．如图，矩形长为40 m，宽为30 m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的部分(图中阴影部分)铺上草坪．要使草坪的面积为816 m2，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x m，根据题意，下列方程不正确的是( )A．1 200－(80x＋60x－4x2)＝816 B．(40－x)(30－x)＝816C．(40－2x)(30－2x)＝816 D．80x＋2x(30－2x)＝1 200－8166．[2023威海统考]关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的解为x1＝2，x2＝b，则代数式(2a＋b)2 023的值为( )A．1 B．0 C．－1 D．52 0237. 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则DH的长为( )A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.88.设x1与x2为一元二次方程x2＋2tx－t2＝0的两根，则－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．49. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x](－2≤x＜3)的图象如图所示，则方程[x]＝eq \f(1,2)x2的解为x＝( )A．0或eq \r(2)或2 B．0或eq \r(2) C．1或－eq \r(2) D.eq \r(2)或－eq \r(2)10．一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则eq \f(1,m)是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是( )A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．12．若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，则这个两位数为________．14. 《代数学》中记载，形如x2＋10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为eq \f(5,2)x的矩形，得到大正方形的面积为39＋25＝64，则该方程的正数解为8－5＝3.”小聪按此方法解关于x的方程x2＋12x＋m＝0，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为________．15．[2024无锡期末]若方程x2－4 096 576＝0的两根为x1＝2 024， x2＝－2 024，则方程x2－2x－4 096 575＝0的两根为______________．三、解答题(共7小题，共75分)16．(8分)解方程：(1)x2＋2x－3＝0； (2)3x(x－2)＝8－4x.17．(8分)[2023廊坊安次区期末]如图，某学校有一块长32米、宽20米的矩形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为570平方米，则小道的宽为多少米？18．(10分)在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2的一元 二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝eq \f(a,2)，连接CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．(1)用含a，b的代数式表示AD的长．(2)图中哪条线段的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根？请说明理由．19．(10分)关于x的一元二次方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0中，a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°.(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是x1，x2，且x12＋x22＝12，求a：b：c.20．(12分) 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0…①解得y1＝－2，y2＝3，当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±eq \r(3)；所以原方程的解为x1＝eq \r(3)，x2＝－eq \r(3).问题：(1)在原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)利用以上学习到的方法解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.21．(12分)某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，以200元/件的价格售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出 5件，如果每天盈利1 450元，每件应降价多少元？22．(15分) 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.(1)点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(2)在(1)的基础上，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．(3)若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，同时点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动，经过几秒，△PBQ的面积为1 cm2? 答案一、1.C 2.D 3.D 4.C 5.B6．C 【解析】将x1＝2代入x2＋ax－6＝0，得22＋2a－6＝0，解得a＝1，∴关于x的一元二次方程为x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3，即b＝－3.将a＝1，b＝－3代入(2a＋b)2 023，得(2a＋b)2 023＝[2×1＋(－3)]2 023＝(－1)2 023＝－1，故选C.7．B 【解析】∵四边形ABCD是边长为5的菱形，DH是AB边上的高，∴S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝AB·DH，AB＝5.∴eq \f(1,2)AC·BD＝5DH.∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两实数根，∴AC·BD＝x1·x2＝eq \f(c,a)＝24.∴eq \f(1,2)×24＝5DH.∴DH＝eq \f(12,5)＝2.4.故选B.8．A 【解析】根据题意，得x1x2＝－t2，x1＋x2＝－2t，则－x1x2＋x1＋x2＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1.∵(t－1)2≥0，∴(t－1)2＋1≥1.∴－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为1.故选A.9．A 【解析】当2≤x<3时，eq \f(1,2)x2＝2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)；当1≤x<2时，eq \f(1,2)x2＝1，解得x1＝eq \r(2)，x2＝－eq \r(2)(舍去)；当0≤x<1时，eq \f(1,2)x2＝0，解得x＝0；当－1≤x<0时，eq \f(1,2)x2＝－1，方程没有实数解；当－2≤x<－1时，eq \f(1,2)x2＝－2，方程没有实数解，∴方程[x]＝eq \f(1,2)x2的解为x＝0或x＝eq \r(2)或x＝2.故选A.10．B 【解析】∵M：ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac>0.∵N：cx2＋bx＋a＝0的判别式为Δ＝b2－4ca＝b2－4ac>0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵M：ax2＋bx＋c＝0的两根符号相同，∴Δ＝b2－4ac≥0，eq \f(c,a)>0.∴Δ＝b2－4ac≥0, eq \f(a,c)>0.∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程M：ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴am2＋bm＋c＝0.∵eq \f(c,m2)＋b×eq \f(1,m)＋a＝eq \f(c＋bm＋am2,m2)＝0，∴eq \f(1,m)是方程N的一个根，故③正确；设方程M和方程N相同的根为x0，根据题意，得ax02＋bx0＋c＝0，cx02＋bx0＋a＝0，∴(a－c)x02＝a－c.∵ac≠0，a≠c，∴x02＝1，解得x0＝±1，故这个根是x＝±1，故④错误；故选B.二、11.0 12.k＜913．24或15 【解析】设个位上的数为x，则十位上的数为(6－x)，由题意得，x(6－x)＝eq \f(1,3)[10(6－x)＋x]，解得x1＝4，x2＝5.∴十位上的数为6－4＝2或6－5＝1.∴这个两位数是24或15.14．4eq \r(6)－6 【解析】x2＋12x＋m＝0，x2＋12x＝－m.∵阴影部分的面积为60，∴x2＋12x＝60.设矩形的宽为a，∴4a＝12，则a＝3.同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60＋32×4＝60＋36＝96，则该方程的正数解为eq \r(96)－6＝4eq \r(6)－6.15．x1＝2 025，x2＝－2 023 【解析】x2－2x－4 096 575＝0，则x2－2x＝4 096 575，∴x2－2x＋1＝4 096 575＋1.∴(x－1)2＝4 096 576.∴x－1＝±2 024.∴x1＝2 025，x2＝－2 023.三、16.【解】(1)原方程变为(x＋3)(x－1)＝0，∴x＋3＝0或x－1＝0.∴x1＝－3，x2＝1.(2)原方程变为3x(x－2)＋4(x－2)＝0，∴(x－2)(3x＋4)＝0.∴x－2＝0或3x＋4＝0.∴x1＝2，x2＝－eq \f(4,3).17．【解】设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为(32－2x)米，宽为(20－x)米的矩形，根据题意得(32－2x)(20－x)＝570，整理得x2－36x＋35＝0，解得x1＝1，x2＝35(不符合题意，舍去)．∴小道的宽为1米．18．【解】(1)∵∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(b2＋\f(1,4)a2)＝eq \f(\r(4b2＋a2),2).∴AD＝AB－BD＝eq \f(\r(4b2＋a2),2)－eq \f(a,2)＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).(2)线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．理由如下：设AD＝m，则AB＝AD＋BD＝m＋eq \f(a,2).在Rt△ABC中，由勾股定理得b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)，整理，得m2＋am＝b2，∴线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．19．(1)【证明】关于x的一元二次方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0去括号，整理为一般形式为(c－a)x2－2eq \r(2)bx＋a＋c＝0，∴Δ＝(－2eq \r(2)b)2－4(a＋c)(c－a)＝4(2b2＋a2－c2)．∵a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°，∴b2＋a2－c2＝0.∴2b2＋a2－c2＞0.∴Δ＝4(2b2＋a2－c2)＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．(2)【解】∵方程的两个根是x1，x2，∴x1＋x2＝－eq \f(－2\r(2)b,c－a)，x1x2＝eq \f(a＋c,c－a).∵x12＋x22＝12，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12，即eq \f(8b2,（c－a）2)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∵b2＝c2－a2，∴eq \f(8（c2－a2）,（c－a）2)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∴eq \f(8（c＋a）,c－a)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∴eq \f(6（c＋a）,c－a)＝12.∴c＋a＝2c－2a.∴3a＝c.∴b2＝8a2.∴b＝2eq \r(2)a.∴a：b：c＝1：2eq \r(2)：3.20．【解】(1)换元；化归(2)令y＝x2＋5x，则原方程化为(y＋1)(y＋7)＝7，整理，得y2＋8y＝0，解得y1＝0，y2＝－8.当y＝0时，x2＋5x＝0，解得x1＝0，x2＝－5；当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0.∵Δ＝52－4×1×8＝－7＜0，∴此方程无实数解．综上，方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7的解为x1＝0，x2＝－5.21．【解】(1)设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得200(1－x)2＝162，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．∴该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y元，根据题意，得(200－156－y)(20＋5y)－150＝1 450，解方程得y1＝4，y2＝36.∵降价幅度不超过10元，∴y＝36不合题意，舍去．∴每件应降价4元．22．【解】(1)设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2，依题意，得AP＝x cm，BQ＝2x cm，∴BP＝(6－x)cm.∴eq \f(1,2)(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意，得△ABC的面积＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)，易得eq \f(1,2)(6－y)·2y＝24×eq \f(1,2)，整理，得y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根．∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．(3)①点P在线段AB上，点Q在线段CB上．设经过m s，依题意易得eq \f(1,2)(6－m)(8－2m)＝1(0＜m≤4)，整理，得m2－10m＋23＝0，解得m1＝5＋eq \r(2)，m2＝5－eq \r(2).经检验，m1＝5＋eq \r(2)不符合题意，舍去，∴m＝5－eq \r(2)；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上(B点下边)，设经过n s，依题意易得eq \f(1,2)(6－n)(2n－8)＝1(4＜n≤6)，整理，得n2－10n＋25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意；③点P在射线AB上(B点右边)，点Q在射线CB上(B点下边)，设经过k s，依题意易得eq \f(1,2)(k－6)(2k－8)＝1(k＞6)，整理，得k2－10k＋23＝0，解得k1＝5＋eq \r(2)，k2＝5－eq \r(2)，经检验，k2＝5－eq \r(2)不符合题意，舍去，∴k＝5＋eq \r(2).综上所述，经过(5－eq \r(2))s或5 s或(5＋eq \r(2))s，△PBQ的面积为1 cm2.
第二章综合素质评价一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )A．2(x2＋2x)＝2x2－1 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x＋1)2＝2x＋1 D．eq \f(1,x2)＋x＋1＝02．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( )A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－4 D．m≥－43．将一元二次方程2x2－6x＋1＝0配方，得(x＋h)2＝k，则h，k的值分别为( )A．3、8 B．－3、8 C．eq \f(3,2)、eq \f(7,4) D．－eq \f(3,2)、eq \f(7,4)4．[2024北京海淀区月考]在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是( )A．x－1＝0 B．x2＋x＝0 C．x2－1＝0 D．x2＋1＝05. 加快推动生态建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪．如图，矩形长为40 m，宽为30 m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的部分(图中阴影部分)铺上草坪．要使草坪的面积为816 m2，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为x m，根据题意，下列方程不正确的是( )A．1 200－(80x＋60x－4x2)＝816 B．(40－x)(30－x)＝816C．(40－2x)(30－2x)＝816 D．80x＋2x(30－2x)＝1 200－8166．[2023威海统考]关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的解为x1＝2，x2＝b，则代数式(2a＋b)2 023的值为( )A．1 B．0 C．－1 D．52 0237. 如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则DH的长为( )A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.88.设x1与x2为一元二次方程x2＋2tx－t2＝0的两根，则－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．49. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x](－2≤x＜3)的图象如图所示，则方程[x]＝eq \f(1,2)x2的解为x＝( )A．0或eq \r(2)或2 B．0或eq \r(2) C．1或－eq \r(2) D.eq \r(2)或－eq \r(2)10．一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则eq \f(1,m)是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x＝1，其中正确的结论是( )A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是________．12．若关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．13．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这两位数的三分之一，则这个两位数为________．14. 《代数学》中记载，形如x2＋10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为eq \f(5,2)x的矩形，得到大正方形的面积为39＋25＝64，则该方程的正数解为8－5＝3.”小聪按此方法解关于x的方程x2＋12x＋m＝0，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为________．15．[2024无锡期末]若方程x2－4 096 576＝0的两根为x1＝2 024， x2＝－2 024，则方程x2－2x－4 096 575＝0的两根为______________．三、解答题(共7小题，共75分)16．(8分)解方程：(1)x2＋2x－3＝0； (2)3x(x－2)＝8－4x.17．(8分)[2023廊坊安次区期末]如图，某学校有一块长32米、宽20米的矩形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为570平方米，则小道的宽为多少米？18．(10分)在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2的一元 二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝eq \f(a,2)，连接CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．(1)用含a，b的代数式表示AD的长．(2)图中哪条线段的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根？请说明理由．19．(10分)关于x的一元二次方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0中，a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°.(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是x1，x2，且x12＋x22＝12，求a：b：c.20．(12分) 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0…①解得y1＝－2，y2＝3，当y1＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得x＝±eq \r(3)；所以原方程的解为x1＝eq \r(3)，x2＝－eq \r(3).问题：(1)在原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)利用以上学习到的方法解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.21．(12分)某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，以200元/件的价格售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出 5件，如果每天盈利1 450元，每件应降价多少元？22．(15分) 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.(1)点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm2?(2)在(1)的基础上，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．(3)若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，同时点Q沿射线CB方向从C点出发以2 cm/s的速度移动，经过几秒，△PBQ的面积为1 cm2? 答案一、1.C 2.D 3.D 4.C 5.B6．C 【解析】将x1＝2代入x2＋ax－6＝0，得22＋2a－6＝0，解得a＝1，∴关于x的一元二次方程为x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3，即b＝－3.将a＝1，b＝－3代入(2a＋b)2 023，得(2a＋b)2 023＝[2×1＋(－3)]2 023＝(－1)2 023＝－1，故选C.7．B 【解析】∵四边形ABCD是边长为5的菱形，DH是AB边上的高，∴S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝AB·DH，AB＝5.∴eq \f(1,2)AC·BD＝5DH.∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2＋mx＋24＝0的两实数根，∴AC·BD＝x1·x2＝eq \f(c,a)＝24.∴eq \f(1,2)×24＝5DH.∴DH＝eq \f(12,5)＝2.4.故选B.8．A 【解析】根据题意，得x1x2＝－t2，x1＋x2＝－2t，则－x1x2＋x1＋x2＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1.∵(t－1)2≥0，∴(t－1)2＋1≥1.∴－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为1.故选A.9．A 【解析】当2≤x<3时，eq \f(1,2)x2＝2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)；当1≤x<2时，eq \f(1,2)x2＝1，解得x1＝eq \r(2)，x2＝－eq \r(2)(舍去)；当0≤x<1时，eq \f(1,2)x2＝0，解得x＝0；当－1≤x<0时，eq \f(1,2)x2＝－1，方程没有实数解；当－2≤x<－1时，eq \f(1,2)x2＝－2，方程没有实数解，∴方程[x]＝eq \f(1,2)x2的解为x＝0或x＝eq \r(2)或x＝2.故选A.10．B 【解析】∵M：ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac>0.∵N：cx2＋bx＋a＝0的判别式为Δ＝b2－4ca＝b2－4ac>0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵M：ax2＋bx＋c＝0的两根符号相同，∴Δ＝b2－4ac≥0，eq \f(c,a)>0.∴Δ＝b2－4ac≥0, eq \f(a,c)>0.∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程M：ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴am2＋bm＋c＝0.∵eq \f(c,m2)＋b×eq \f(1,m)＋a＝eq \f(c＋bm＋am2,m2)＝0，∴eq \f(1,m)是方程N的一个根，故③正确；设方程M和方程N相同的根为x0，根据题意，得ax02＋bx0＋c＝0，cx02＋bx0＋a＝0，∴(a－c)x02＝a－c.∵ac≠0，a≠c，∴x02＝1，解得x0＝±1，故这个根是x＝±1，故④错误；故选B.二、11.0 12.k＜913．24或15 【解析】设个位上的数为x，则十位上的数为(6－x)，由题意得，x(6－x)＝eq \f(1,3)[10(6－x)＋x]，解得x1＝4，x2＝5.∴十位上的数为6－4＝2或6－5＝1.∴这个两位数是24或15.14．4eq \r(6)－6 【解析】x2＋12x＋m＝0，x2＋12x＝－m.∵阴影部分的面积为60，∴x2＋12x＝60.设矩形的宽为a，∴4a＝12，则a＝3.同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为60＋32×4＝60＋36＝96，则该方程的正数解为eq \r(96)－6＝4eq \r(6)－6.15．x1＝2 025，x2＝－2 023 【解析】x2－2x－4 096 575＝0，则x2－2x＝4 096 575，∴x2－2x＋1＝4 096 575＋1.∴(x－1)2＝4 096 576.∴x－1＝±2 024.∴x1＝2 025，x2＝－2 023.三、16.【解】(1)原方程变为(x＋3)(x－1)＝0，∴x＋3＝0或x－1＝0.∴x1＝－3，x2＝1.(2)原方程变为3x(x－2)＋4(x－2)＝0，∴(x－2)(3x＋4)＝0.∴x－2＝0或3x＋4＝0.∴x1＝2，x2＝－eq \f(4,3).17．【解】设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为(32－2x)米，宽为(20－x)米的矩形，根据题意得(32－2x)(20－x)＝570，整理得x2－36x＋35＝0，解得x1＝1，x2＝35(不符合题意，舍去)．∴小道的宽为1米．18．【解】(1)∵∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(b2＋\f(1,4)a2)＝eq \f(\r(4b2＋a2),2).∴AD＝AB－BD＝eq \f(\r(4b2＋a2),2)－eq \f(a,2)＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).(2)线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．理由如下：设AD＝m，则AB＝AD＋BD＝m＋eq \f(a,2).在Rt△ABC中，由勾股定理得b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)，整理，得m2＋am＝b2，∴线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根．19．(1)【证明】关于x的一元二次方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0去括号，整理为一般形式为(c－a)x2－2eq \r(2)bx＋a＋c＝0，∴Δ＝(－2eq \r(2)b)2－4(a＋c)(c－a)＝4(2b2＋a2－c2)．∵a，b，c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°，∴b2＋a2－c2＝0.∴2b2＋a2－c2＞0.∴Δ＝4(2b2＋a2－c2)＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．(2)【解】∵方程的两个根是x1，x2，∴x1＋x2＝－eq \f(－2\r(2)b,c－a)，x1x2＝eq \f(a＋c,c－a).∵x12＋x22＝12，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12，即eq \f(8b2,（c－a）2)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∵b2＝c2－a2，∴eq \f(8（c2－a2）,（c－a）2)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∴eq \f(8（c＋a）,c－a)－eq \f(2a＋2c,c－a)＝12.∴eq \f(6（c＋a）,c－a)＝12.∴c＋a＝2c－2a.∴3a＝c.∴b2＝8a2.∴b＝2eq \r(2)a.∴a：b：c＝1：2eq \r(2)：3.20．【解】(1)换元；化归(2)令y＝x2＋5x，则原方程化为(y＋1)(y＋7)＝7，整理，得y2＋8y＝0，解得y1＝0，y2＝－8.当y＝0时，x2＋5x＝0，解得x1＝0，x2＝－5；当y＝－8时，x2＋5x＝－8，即x2＋5x＋8＝0.∵Δ＝52－4×1×8＝－7＜0，∴此方程无实数解．综上，方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7的解为x1＝0，x2＝－5.21．【解】(1)设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得200(1－x)2＝162，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．∴该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y元，根据题意，得(200－156－y)(20＋5y)－150＝1 450，解方程得y1＝4，y2＝36.∵降价幅度不超过10元，∴y＝36不合题意，舍去．∴每件应降价4元．22．【解】(1)设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2，依题意，得AP＝x cm，BQ＝2x cm，∴BP＝(6－x)cm.∴eq \f(1,2)(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意，得△ABC的面积＝eq \f(1,2)×6×8＝24(cm2)，易得eq \f(1,2)(6－y)·2y＝24×eq \f(1,2)，整理，得y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根．∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．(3)①点P在线段AB上，点Q在线段CB上．设经过m s，依题意易得eq \f(1,2)(6－m)(8－2m)＝1(0＜m≤4)，整理，得m2－10m＋23＝0，解得m1＝5＋eq \r(2)，m2＝5－eq \r(2).经检验，m1＝5＋eq \r(2)不符合题意，舍去，∴m＝5－eq \r(2)；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上(B点下边)，设经过n s，依题意易得eq \f(1,2)(6－n)(2n－8)＝1(4＜n≤6)，整理，得n2－10n＋25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意；③点P在射线AB上(B点右边)，点Q在射线CB上(B点下边)，设经过k s，依题意易得eq \f(1,2)(k－6)(2k－8)＝1(k＞6)，整理，得k2－10k＋23＝0，解得k1＝5＋eq \r(2)，k2＝5－eq \r(2)，经检验，k2＝5－eq \r(2)不符合题意，舍去，∴k＝5＋eq \r(2).综上所述，经过(5－eq \r(2))s或5 s或(5＋eq \r(2))s，△PBQ的面积为1 cm2.
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