2021学年第四章 图形的相似综合与测试单元测试练习

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题4.9第4章 图形的相似单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•毕节市）已知ab=25，则a+bb的值为（　　）
A．25 B．35 C．75 D．23
【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．
【解析】∵ab=25，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴a+bb=2x+5x5x=75．
故选：C．
2．（2020•余干县模拟）如图，△ABC∽△ACP，若∠A＝75°，∠APC＝65°，则∠B的大小为（　　）

A．40° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据三角形的内角和得到∠ACP＝40，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵∠A＝75°，∠APC＝65°，
∴∠ACP＝40，
∵△ABC∽△ACP，
∴∠B＝∠ACP＝40°，
故选：A．
3．（2019秋•雁塔区校级月考）下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．3cm，6cm，0.2dm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．12cm，8cm，15cm，10cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】A、3×4≠5×2，故选项错误；
B、0.2dm＝2cm，3×5≠6×2，故选项错误；
C、2×8≠4×6，故选项错误；
D、12×10＝8×15，故选项正确．
故选：D．
4．（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（　　）

A．35 B．23 C．45 D．32
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解析】∵DE∥AB，
∴CEAE=CDBD=32，
∴CECA的值为35，
故选：A．
5．（2020•金昌）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴ab≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.24米．
故选：A．
6．（2020春•招远市期末）如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解析】依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则ABDF=BDDC，
设DF＝xcm，得到：
6x=86解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
故选：B．
7．（2019秋•桂林期末）某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树AB的高度时，发现树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．经测量，落在墙壁上影高CD为2米，落在地面上的影长BC为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（　　）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在墙上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与国旗杆，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【解析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．根据题意可得：
48=5x，
解得：x＝10．
∴树高是2+10＝12（米），
故选：C．

8．（2020春•工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（　　）

A．3m B．3.2m C．3.4m D．3.6m
【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案．
【解析】连接AC，过点M作MF⊥PF，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴21.5=PF1.8，
解得：PF＝2.4，
∴PQ＝PF+FQ＝PF+MN＝2.4+0.8＝3.2（m），
故选：B．

9．（2020春•恩平市期末）如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（　　）

A．5-12 B．3-12 C．5-1 D．3-1
【分析】根据勾股定理求出OB，求出BC＝AB＝1，求出OC＝OP=5-1，再根据线段的中点定义求出OD即可．
【解析】在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB=OA2+AB2=5，
∵BC＝AB，AB＝1，
∴BC＝1，
∴OC＝OB﹣BC=5-1，
即OP=5-1，
∵OP的中点是D，
∴OD=12OP=12×（5-1）=5-12，
即点D表示的数是5-12，
故选：A．
10．（2019春•岱岳区期末）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，对于下列结论：①AC＝FG；②四边形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
由△AFG≌△DAC，推出四边形BCGF是矩形，②正确；
由矩形的性质和相似三角形的判定定理证出△ACD∽△FEQ，③正确．
【解析】①∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG．
故正确；

②∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形．
故正确；

③∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•海州区校级期末）已知x2=y3=z4，则x+zy=　2　．
【分析】设x2=y3=z4=k，得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解析】设x2=y3=z4=k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
x+zy=2k+4k3k=2；
故答案为：2．
12．如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为　8.8　m．

【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为：8.8．
13．（2020•百色模拟）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点F与点C是一对对应点，点F的坐标是（1，1），点C的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是　（﹣2，0）　．

【分析】利用待定系数法求出直线CF的解析式，根据位似变换的性质解答即可．
【解析】∵正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F与点C是一对对应点，
∴点B与点E是对应点，
∴它们的位似中心在x轴上，且与直线CF相交，
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
则k+b=14k+b=2，
解得，k=13b=23，
∴直线CF的解析式为y=13x+23，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴它们的位似中心的坐标是（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．

14．（2013•杭州模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝3，DC＝7，AD＝15，点P在线段AD上，若△PAB和△PDC相似，则AP的长为　92，15±1412　．

【分析】当△PAB和△PDC相似，根据相似三角形的对应边的比相等可以求出，但应分分PA：PD＝AB：DC和PA：CD＝AB：DP两种情况进行讨论．
【解析】设AP＝x，则DP＝15﹣x，
∵AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠A＝90°．
∴∠A＝∠D．
（1）当PA：PD＝AB：DC时，△PAB∽△PDC，
x：（15﹣x）＝3：7，
解得x=92；
（2）当PA：CD＝AB：DP时，△APD∽△BCP，
x：7＝3：（15﹣x），
x=15±1412．
综上可知，所求的AP长为92或15±1412．
故答案为92或15±1412．

15．（2020•浦城县一模）如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN：NC＝　1：2　．

【分析】作DE∥BN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到N是AE的中点，E是NC的中点，得到答案．
【解析】作DE∥BN交AC于E，
∵DE∥BN，M是AD的中点，
∴N是AE的中点，
∵DE∥BN，D是BC的中点，
∴E是NC的中点，
∴AN：NC＝1：2，
故答案为：1：2．

16．（2020•河池三模）圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是　0.72π　m2．

【分析】直接利用相似图形的性质进而结合已知得出底面圆的半径和空白圆的半径，进而得出圆环面积．
【解析】∵桌面离地面1m，灯泡离地面3m，桌面直径为1.2m，
∴3-13=0.6x，
解得：x＝0.9，
3-13=0.2y，
解得：y＝0.3，
故地面圆环形阴影的面积是：π×0.92﹣π×0.32＝0.72π（m2）．
故答案为：0.72π．
17．（2018•桓台县一模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是　4　．

【分析】连接CE，根据∠DCE＝90°，F是DE的中点，可得CF=12DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．
【解析】如图，连接CE，

∵△ABC∽△ADE，
∴∠ACD＝∠AEG，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴AGDG=EGCG，
又∵∠AGD＝∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG＝∠ECG，
又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，
∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴CF=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，
当AD⊥BC时，AD=AB×ACBC=4.8，
∵ADDE=ABBC，即4.8DE=610，
∴DE＝8，
∴CF=12×8＝4．
故答案为：4．
18．（2020•淮安区一模）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为　3.6　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案．
【解析】∵a∥b∥c，
∴DEEF=ABBC，
即DE4.8=34，
∴DE＝3.6，
故答案为：3.6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•徐汇区一模）已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c的值；
（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），
则3a-b+c2a+3b-c=6k-3k+5k4k+9k-5k=1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则
6k﹣3k+5k＝24，
解得k＝3．
则a＝2k＝6，
b＝3k＝9，
c＝5k＝15．
20．（2020春•芝罘区期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度是？

【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解析】∵b∥c，
∴OEEF=OBBC=24=12，
∴OE=12EF=52，
∵a∥c，
∴DOOF=AOOC=12+4=16，
∴DO=16OF=16×（52+5）=54，
∴DE＝DO+OE=54+52=154．
21．（2019秋•萍乡期末）如图，是规格为8×8的正方形网格，请在所给的网格中按下列要求操作．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），点B的坐标为（﹣4，2）．
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数．求点C的坐标及△ABC的周长（结果保留根号）；
（3）将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A1B1C，以点B1为位似中心将△A1B1C放大，使放大前后的位似比为1：2，画出放大后的△A2B1C1的图形．

【分析】（1）根据A，B两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）根据等腰三角形的性质以及已知条件作出△ACB即可．
（3）延长B1C到C1，使得B1C＝CC1，延长B1A1到A2，使得B1A1＝A1A2即可．
【解析】（1）平面直角坐标系如图所示．

（2）C（﹣1，1），AB＝22，AC＝BC=10，△ABC周长为22+210；
（3）△B1C1A2如图所示．
22．（2019秋•宜兴市期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

【分析】先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解析】∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴ABDE=AEDF，即62=9DF，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
EF=DE2+DF2=22+32=13．
23．（2017秋•临清市期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从BPBA=BQBC与BPBC=BQBA分析，即可求得答案．
【解析】设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当BPBA=BQBC，即8-2x8=4x16时，△PBQ∽△ABC，
解得：x＝2；
②当BPBC=BQBA，即8-2x16=4x8时，△QBP∽△ABC，
解得：x＝0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
24．（2020•雁塔区校级模拟）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度AB，但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB下的影长DF为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB下的影长EC为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高DM＝NE＝1.55米长MN＝61米，同时测得1步≈1米，求路灯的高度（结果保留一位小数）．

【分析】设AB＝x米，BD＝y米，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】设AB＝x米，BD＝y米，
∵AB⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC，
∴DM∥AB∥NE，
∴△FDM∽△FBA，△CEN∽△CBA，
∴DMAB=DFBF，CEBC=NEAB，
∴1.55x=22+y，561+5+y=1.55x，
解得：x≈33.1，
∴路灯的高度为33.1米．

25．（2018秋•铁西区期中）如图，正方形ABCD的边长是3，延长AB至点P、延长BC至点Q，使BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，相Q交CD于点F，DP交BC于点E，连接AE．
（1）求证：AQ⊥DP；
（2）求证：S△AOD＝S四边形OECF；
（3）当BP＝1时，请直接写出OE：OA的值．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；
（2）证明△CQF≌△BPE，根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；
（3）证明△PBE∽△PAD，根据相似三角形的性质得到BE=34，由三角函数的定义，求出QE=134，OQ=135，OE=3920，即可求出OE：OA的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
AD=AB∠DAP=∠ABQAP=BQ，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
（2）证明：在△CQF与△BPE中，
∠FCQ=∠EBP∠Q=∠PCQ=BP，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
AD=CD∠ADC=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
∴S△AOD＝S四边形OECF；
（3）解：∵BP＝1，AB＝3，
∴PA＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴PBBE=PADA=43，
∴BE=34，
∴QE＝CQ+BC﹣CE＝1+3-34=134，
∵AD∥QE，
∴△QOE∽△PAD，
∴OQPA=OEAD=QEPD=1345，
∴OQ=135，OE=3920，
∴AO=5-OQ=5-135=125，
∴OEOA=3920125=1316．
26．（2020•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．

【分析】（1）连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B＝90°，即可得到FG⊥AB；
（2）连接DF，先利用勾股定理求出AB＝10，进而求出CD＝BD＝5，再求出CF＝4，进而求出DF＝3，利用面积法即可得出结论．
【解析】（1）证明：连接OF，
∵OC＝OD，CF＝BF，
∴OF是△CDB的中位线，
∴OF∥BD，
∴∠OFC＝∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG＝90°，
∴∠OFC+∠BFG＝90°，
∴∠BFG+∠B＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴FG⊥AB；
（2）解：连接DF，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，
∴点D是AB中点，
∴CD＝BD=12AB＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴BF＝CF=12BC＝4，
∴DF=52-42=3，
∴S△BDF=12DF×BF=12BD×FG，
∴FG=DF×BFBD=125．