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北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》教案
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这是一份北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》教案，共58页。
第四章 图形的相似
1 成比例线段
第1课时 线段的比和比例的基本性质
1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.
2.了解比例的基本性质及应用.
3.经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.
4.通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.
【教学重点】
成比例线段的基本性质.
【教学难点】
成比例线段的基本性质.
一、情境导入，初步认识
请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？
【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.
让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：
1.线段的比是正数
2.单位要统一
3.线段的比与线段的长度无关
二、思考探究，获取新知
1.由下面的格点图可知，=_______，=_______，这样与之间有关系_______.
【归纳结论】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.
2.如果四条线段a、b、c、d成比例，即.那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？
【归纳结论】如果，那么ad=bc.如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么.
【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.
三、运用新知，深化理解
1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.
2.已知3x=4y，则=.
3.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm;
（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm.
分析：（1）=2，=2，则=，所以a、b、d、c成比例.
（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，求A，B两地间的实际距离.
分析：利用比例尺的定义即“”列出等量关系式.
解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则.解得x=900.
∴设A、B两地间的实际距离为900cm.
5.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长.
分析：由a、b、c、d是成比例线段得，代入计算求出线段d的长.
解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，即.
解得d=4cm.
6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.
分析：
解：设添加的线段长为x，
当x≤2时，x∶2=4∶8，x=1;
当2≤x≤4时，2∶x=4∶8，x=4;
当4≤x≤8时，2∶4=x∶8，x=4;
当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.
综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.
【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？
【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.
1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.
第2课时 等比性质
1.能用比例的基本性质推出等比性质.
2.学会用设“k”法解答比例的相关题目.
3.经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题.
4.培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系.
【教学重点】
理解并掌握等比性质.
【教学难点】
等比性质的实际应用.
一、情境导入，初步认识
如图，已知，你能求出的值吗？由此你能得出什么结论？
【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.
二、思考探究，获取新知
已知a，b，c，d，e，f六个数，如果=k，（b=d=f≠0），那么=k成立吗？为什么？
【归纳结论】
如果=k，（b=d=f≠0），那么=k
【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.
三、运用新知，深化理解
1.已知（b+d+f≠0），求的值.
分析：根据等比性质，
∵
∴.
2.已知==3，=成立吗？
分析：由==3，得a=3b，c=3d.所以==2， ==2，因此=.
3.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.
（1）求a、b、c；
（2）求4a-3b+c的值.
解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.
∵a+3b-3c=14，
∴4k+9k-6k=14，
∴7k=14，
∴k=2，
∴a=8，b=6，c=4.
（2）4a-3b+c=32-18+4=18.
4.已知a∶b∶c=3∶4∶5，求的值.
解：方法一：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，
所以，
所以，所以，
所以.
方法二：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，
设=k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
所以.
5.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2cm，求BC.
解：∵AB=15cm，AC=10cm，
∴.
设BD=3k，DC=2k，
∵BD-DC=2cm，
∴k=2cm.
∴BC=3k+2k=5k=10cm.
【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k”法.
6.已知k=，求k的值.
分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.
解：当a+b+c=0时，a+b=-c，k==-1；
当a+b+c≠0时，可以用等比性质k==2；所以k=-1或k=2.
【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？
【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.
1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
本节采用以问题为载体，以培养学生能力为目的的教学模式，教学从提出新的问题开始，引导学生获取知识、探索发现、积极创新，加深对问题的认识，采用讲练结合的方式，增加了教学的弹性.
2平行线分线段成比例
1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题.
2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
3.通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.
【教学重点】
定理的应用.
【教学难点】
定理的推导证明.
一、情境导入,初步认识
1.求出下列各式中的x∶y.
（1）3x=5y；（2）x=23y；
（3）3∶2=y∶x；（4）3∶x=5∶y.
2.已知x/y=7/2，求x/（x+y）.
3.已知x/2=y/3=z/4，求(x+y+z)/(2x+3y-z).
【教学说明】其中第1题以学生口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行.
二、思考探究，获取新知..
1.在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图（1）：
∵AD∥BE∥CF ，且AB=BC ，
则DE=EF.
问题1：图（1）中若AD∥BE∥CF，则成立吗？
解：由于 AB=BC,DE=EF,故=1.
问题2：如果将CF向下平移到如图（2）的位置，则AB/BC=DE/EF仍成立吗？
解：若AD∥BE∥CF，则=2/3.
【教学说明】学生之间相互交流，探讨得出结论.
问题3：在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，这个结论吗？
【教学说明】学生可以动手量一量，算一算.得出结论.
【归纳总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可.
2.在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由.
与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段.
在图（1）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC相交与D、E，
在图（2）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC的反向延长线相交于D、E，
【归纳结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延长线相交，所截得的对应线段成比例.
【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.
三、运用新知，深化理解
2.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=________.
解答：过点D作DH∥BE交AC于H，
∴=2
∴EH=CE
∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1
∴AE=CE=EH
∴.
3.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=1∶3，AE∶EC=2∶1，AD与BE交于F，则AF∶FD=________.
解答：过点D作DH∥BE交AC于H，
∴=3
∴EH=CE
∵AE∶EC=2∶1
∴AE=2CE
∴.
【教学说明】通过本题分析使学生进一步理解定理.
四、师生互动，课堂小结
今天我们学习了平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
1、布置作业：教材“习题4.3”中第1、2 题.
2、完成练习册中相应练习.
对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.
3相似多边形
1.了解相似多边形的概念和性质.
2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.
3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.
4.理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用.
5.激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力.
【教学重点】
相似多边形的定义和性质.
【教学难点】
如何判断两个多边形是否相似.
一、情境导入,初步认识
如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象.
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数.
然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
【教学说明】培养学生从图片直观地获取信息的能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点.由此自然地引出课题——相似多边形.
二、思考探究，获取新知
1.相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.
相似多边形对应边的比叫做相似比.图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k=1/2.
2.观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？
这两个五边形是_____________________________________，
即_______________________________________.
3.问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
相似多边形的性质：____________________________________________.
【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.
【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似用“∽”表示，读作“相似于”.
三、运用新知，深化理解
1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
（1） 正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，
所以∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，
∠C=∠F= 60°.
由于正三角形三边相等，
所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD；
(2)由于正方形的每个角都是直角，
所以∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°，
由于正方形的四边相等，
所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.
2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一多边形的周长为25，则另一个多边形的面积是________.
解答：两个相似多边形的周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，
而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，
则8：x=（2∶5）2，解得：x=50，即另一个多边形的面积是50.
3.两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为________.
分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得.
解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，解得：x=2，即后一个五边形的最短边的长为2.
4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____.
解析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得.
解答：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠1=∠B=70°，.
即，解得AD=28，∠1=70°.
5.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为________.
解析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长.
解答：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴.
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38.
【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑问？
【教学说明】鼓励学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.
1、布置作业:教材“习题4.4”中第1 、2 题.
2、完成练习册中相应练习.
本节课是在探索相似多边形的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用及直觉的不可靠性.
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
1.经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程.
2.能应用判定定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
4.通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.
【教学重点】
三角形相似的判定定理1及应用.
【教学难点】
三角形相似的判定定理1的证明.
一、情境导入，初步认识
现有一块三角形玻璃ABC， 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法.
1、动手实验：
现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系.你有哪些发现？在小组内交流.
【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨.
学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：
① 这样的两个三角形不一定全等.
② 两个三角形三个角都对应相等.
③ 通过度量后计算，得到三边对应成比例.
④ 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.
此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似.
2.进而让学生画出图形，写出已知、求证.
已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.求证： △A′B′C′∽△ABC.
证明：在△ABC的AB上截取BD=B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.
∴
∴△ABC∽△DBE
∵∠BDE=∠A，∠A=∠A′
∴∠BDE=∠A′
∵∠B=∠B′，BD=B′A′
∴△DBE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′.
【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.
【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.
三、运用新知，深化理解
1.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似.
已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.
求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.
证明：略.
2.判断题：
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（√）
（2）所有的直角三角形都相似.（×）
（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（×）
（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（√）
3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似.理由如下：在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°，
∴∠A=55°，
∴∠B=∠B′，∠A=∠A′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°.
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.
5.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ △EGC或△EAB .
解析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB.
6. 如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似.并说明线段DE的画法.
分析：画相似的三角形主要是作相等的角.所以需要画平行线.
如：
画法：略
【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.
四、师生互动，课堂小结
提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”
让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.
1、布置作业：教材“习题4.5”中第3、4 题.
2、完成练习册中相应练习.
通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，还不太熟练，教师需加强针对训练.
第2课时 相似三角形的判定（2）
1.掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用.
2.理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系.
3.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力.
4.在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
一、情境导入，初步认识
问题：（1）相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.
（2）判断两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；
方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
1.完成教材P91的做一做.
【教学说明】老师引导学生分析、讨论得出结果，学生口述证明过程，老师板书.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.已知：，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：过点B′在B′A′上取线段AB的长，同理过点B′在B′C′上取线段BC的长，连接AC.
∵ ，
则AC//A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′
∴△ABC ∽△A′B′C′.
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题结论证明定理.
三、运用新知，深化理解
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10.
解：∵
∴
又∵∠C=∠C′=90°，
故△ABC∽△A′B′C′.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.
分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似.再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长.
解：由已知条件可以得出：，
又∠B=∠ACD，根据判定定理2可得出：
△ABC∽△DCA，∴，
又AC=5，BC=4，
∴.
3.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.
分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，再进一步证明，则问题得证.
证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE，，∴△ABC∽△ADE.
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）.
分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了.
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∠BAC=∠MAN，
所以△BCA∽△MNA.
所以MN∶BC=AN∶AC，
即MN∶1.6=20∶1.5.
所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）.
5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC.
分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.
证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD，∴BC∶AB=CD∶BC，∴BC2=AB·CD，即AD2=AC·CD.
【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.6”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课主要运用问题引入和与学生共同探究讨论的教学方法，激发学生的论证思维并提高学生分析问题.解决问题的能力.
第3课时 相似三角形的判定（3）
1.理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.
2.经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.
3.在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.
【教学重点】
导出相似三角形的判定定理并会运用.
【教学难点】
相似三角形判定定理的运用.
一、情境导入，初步认识
回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？
由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？
【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.
【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.
二、思考探究，获取新知
证明：三边对应成比例，两三角形相似.
【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.
三、运用新知，深化理解
1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框（A）
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）
A.甲点 B.乙点 C.丙点 D.丁点
3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）
A.（6，0） B.（6，3）
C.（6，5） D.（4，2）
4.在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm.求证：△ABC∽△A1B1C1.
分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.
证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm，∴
∴△ABC∽△A1B1C1.
【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：
（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；
（2）算：分别计算它们对应边的比；
（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.
5.如图，已知，∠BAD=20°，求∠CAE的大小.
分析：根据三边对应成比例得△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形的性质解答.
解：∵，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
又∠DAC是公共角，
∴∠CAE=∠BAD=20°.
6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解：相似.
证明：∵AB=2，BC=，AC=，EF=2，DF=，DE=.
∴
∴△ABC∽△DEF.
7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.
分析：如图，运用勾股定理分别求出BE、CE、DE的长度（用λ表示），求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE；借助三角形外角的性质即可解决问题.
解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE2=λ2+λ2，CE2=（2λ）2+λ2，DE2=（3λ）2+λ2，
∴BE=λ，CE=λ，DE=λ；
∴
同理可求：
∴
∴△BEC∽△BDE，
∴∠2=∠BED；
∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°.
四、师生互动、课堂小结
引导学生自主完成以上例题.
1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.对于例题、练习，强调学生先独立思考，需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达的能力.
第4课时 黄金分割
1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.
2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.
3.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.
4.理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.
【教学重点】
找一条线段的黄金分割点.
【教学难点】
黄金分割比的应用.
一、情境导入，初步认识
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.
二、思考探究，获取新知
动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.
【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
三、运用新知，深化理解
1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）
2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为 0.764 米.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为.
4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则=0.618，
解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.
5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=∶1，那么这个矩形成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.
解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：
设AB=1，由BC∶AB=∶1可知BC=，
所以BE=，AE=1-=3-52，
所以AE∶EF=∶=∶1.
故矩形AEFD是黄金矩形.
四、师生互动，课堂小结
如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.8”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课知识点较多，具有一定的抽象性，所以有一部分学生掌握的不够好.在今后的教学中将努力改变，铺设阶梯，给大多数同学发言、参与的机会，活跃课堂气氛.
*5相似三角形判定定理的证明
1.掌握判定两个三角形相似的方法及证明过程，并应用它解决一些实际问题.
2.经历相似三角形判定定理的证明过程，体会它在数学学习中的作用.
3.发展学生的推理能力.
【教学重点】
判定定理的证明.
【教学难点】
会用定理解决一些实际问题.
`
一、情境导入，初步认识
问题：三角形相似的判定定理有哪些？你能证明这些定理吗？
【教学说明】从回顾判定定理来引出新知，帮助学生建立新旧知识的联系.
二、思考探究，获取新知
1.证明：两角分别相等的两个三角形相似，
见教材P83页.
2.证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，
见教材P84~85页.
3.证明：三边成比例的两个三角形相似，
见教材P85页.
【教学说明】教师带领学生探究证明方法，指导学生书写过程，并指出不足之处.
三、运用新知，深化理解
1.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似.
（2）所有的等腰三角形都相似.
（3）所有的等腰直角三角形都相似.
（4）所有的等边三角形都相似.
分析： （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC和A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，则∠A=∠A′=45°,∠B=∠B′=45°，设△ABC的三边为a、b、c，△A′B′C′的三边为a′、b′、c′，则a=b,c=a,a′=b′,c′=a′，∴a/a′=b/b′,c/c′=a/a′，∴△ABC∽△A′B′C′.（4）正确，如△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此△ABC∽△A′B′C′.解：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（B）
A.只有1个 B.可以有2个
C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（A）
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理，可知：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C.
又∵EF∥AB，
∴∠A=∠FEC.
∴△ADE∽△EFC.
5.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，连接ED，求证：△DBE∽△ABC.
分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决.
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,
∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.
∴，即：.
△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD，
∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC，
∴∠DBE=∠ABC且，
∴△DBE∽△ABC.
【教学说明】培养和提高学生利用已学知识解决实际问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形有哪几种判定方法？
2.上述几种判定方法如何进行证明？
3.你还存在哪些疑惑？
1.布置作业:教材“习题4.9”中第1、2、3、4题.
2.完成练习册中相应练习.
通过本节课的学习，加强了对学生能力的培养与训练，但在一些综合应用的题目中，学生感到有一定的难度，所以要在实际应用时，尽量开阔学生的思维方式，多鼓励学生用多种方法解题.
6利用相似三角形测高
1.让学生会用相似三角形解决实际问题.
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等一些实际问题.
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
【教学难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.
一、情境导入,初步认识
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家.一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
【教学说明】教师利用金字塔的事例导入新课，激发学生的兴趣，提高学生探究新知的欲望.为本节课问题的探究作出准备.
二、思考探究，获取新知
1.利用阳光下的影子测量旗杆高度.
从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形.即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
2.利用标杆测量旗杆高度.
当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB，
由得GC=，
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
［对比］过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由，可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.
3.利用镜子的反射测量旗杆高度.
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC=.
问：你还可以用什么方法来测旗杆的高度？现在你能测量金字塔的高度了吗？
【教学说明】让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.
分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，CE=30米，求BC.由于△ADF∽△AEC,，又△AGF∽△ABC，∴，∴，从而可以求出BC的长.
解：∵AE⊥EC,DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴.又GF⊥EC,BC⊥EC，∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB,∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴.又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，∴BC=6米.即电线杆的高为6米.
2.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（1丈=10尺，1米=3尺）
解：AB=2510米，BD=30750步.
【教学说明】进一步加深学生对相似三角形知识的理解，培养学生的应用能力，并获得学习数学的喜悦感.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、布置作业：教材“习题4.10”中第1~4 题.
2、完成练习册中相应练习.
通过本节课的学习，使学生能将实际问题转化为数学问题，通过作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例，可以计算出不能直接使用皮尺或刻度尺测量的物体的长度或高度.
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形对应线段的比
1.理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比与相似比之间的关系.
2.对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度.
3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质定理的探索及应用.
【教学难点】
相似三角形的性质与判定的综合应用.
一、情境导入，初步认识
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
4.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
5.相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质.
【教学说明】回顾前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B ′，
又∵AD⊥BC， A′D′⊥B′C′
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
2. △ABC ∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评.
三、运用新知，深化理解
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且 ，B′D′=4，则BD的长为 6 .
解析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，，即，∴BD=6.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm， A′D′=3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.
3.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ D ）
A. B. C. D.
解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴==.所以选D.
4.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD.
解析：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和 △ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4（cm）.
（3）∵△CBD∽△ABC，∴，即，∴BD==9（cm）.
5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF.
（2）解：∵△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG，CD=BG，
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2cm，
∴CD=BG=2cm.
【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、布置作业：教材“习题5.11及5.12”中第1 、3 题.
2、完成练习册中相应练习.
本节课的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.
第2课时 相似三角形的对应周长比与面积比
1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.
2.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合理推理和有条理的表达能力.
3.培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的价值.
【教学重点】
相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.
【教学难点】
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
一、情境导入，初步认识
我们已经学过哪些三角形的性质？
有一块面积为100平方米，周长为80米的三角形绿地一块，由于学校改建，绿地被削去一角，变成一个梯形，原来绿地一边AB的长由原来的30米，缩短成20米，你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗？
【教学说明】通过这个情境，目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知，验证自己猜想的欲望，同时揭开本节课所要学习内容的实质.
二、思考探究，获取新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，，AD、A′D′为高线.
（1）这两个相似三角形周长比为多少？
（2）这两个相似三角形面积比为多少？
分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k， 由等比性质可知（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k ，（2）由题意可知 △ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k， 因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.
【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
三、运用新知，深化理解
1.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ B ）
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
2.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ A ）
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.４，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.
3.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，AB∶A′B′=.
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB∶A′B′=.
4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍.
解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的倍.
5. 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
解：设△ABC的三边依次为：BC=5，AC=12，AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°. ==，而.所以，S=120.
6.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560cm，求它们的周长.
分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.
解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k， 由于3x+4z-2y=40，∴6k+20k-6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10.
（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm.
【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这些例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.
【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量，再根据已知条件列方程求得未知量的值，从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.
四、师生互动、课堂小结
1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，对应高的比等于它们的相似比，面积比等于相似比的平方.
2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
3.能够利用相似三角形的性质解决问题.
1.布置作业：教材“习题4.12”中第2 、3 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课从实际问题引入课题，强调自主学习，让学生在探究过程中进行观察分析、合理猜想、解决问题，体验并感悟相似三角形的性质，使学生感受到学习的快乐，真正成为学习的主人.
8 图形的位似
第1课时 位似图形及其画法
1.了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心.
2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题.
3.采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
4.使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知识的实用性.
【教学重点】
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.
【教学难点】
探索位似概念、位似图形的性质及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小.
一、情境导入,初步认识
下列图片是形状相同的一组图形.在图①上取一点A与图②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？
【教学说明】展示现实生活中的位似图形，让学生体会本课的价值，激发学生的兴趣.启发学生寻找图形的特点.
二、思考探究，获取新知
观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？
【教学说明】教师演示引导学生观察对应点连线、对应边有什么特点.
【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：
①两图形相似；
②每组对应点所在直线都经过同一点；
③对应边互相平行（或在同一直线上）.
2.把下面的四边形缩小到原来的(相似比是或位似比是).
解：（位似中心在图形外）作法略.
四边形A′B′C′D′即为所求.
你有其他画法吗？请互相交流.
【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨论位似中心的位置有几种情况并画出图形.
【归纳总结】画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论.
三、运用新知，深化理解
1. 下列说法中正确的是（ D ）
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
2.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm,OB=15cm，则AC的长度为8cm.
3. 如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17cm2， 周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 ，周长为 10 cm .
4.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与 △A′B′C′ 是位似图形，位似比为 7∶4 ；△OAB与 △OA′B′ 是位似图形，位似比为 7∶4 .
答案：△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4
5.如图：三角形ABC，请你在网格中画出把三角形ABC以C为位似中心放大2倍的三角形.
【教学说明】小组合作交流、探究，动手操作.通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.13”中第1、2 题.
2.完成练习册中相应练习.
在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识到事物总是互相联系的，温故而知新.而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识到事物的结论必须通过大胆猜测、推理和归纳.在分析理解位似图形性质时，加强师生的互动，提高学生分析问题、解决问题的能力.
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小.
2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形.
3.在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.
4.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.
【教学重点】
用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.
【教学难点】
体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.
一、情境导入，初步认识
问题 如图，已知点A（0，3），B（2，0）是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
（1）将线段AB向左平移3个单位得到线段A1B1，画出图形，并写出A1，B1的坐标；
（2）作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出A2，B2点的坐标；
（3）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出A3，B3的坐标.
（4）以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出A4，B4坐标.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？
【教学说明】问题（1）、（2）、（3），从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习平移、轴对称、旋转等变换.而问题（4），则是承上启下为新课的学习做好铺垫，同时，与问题（1）、（2）、（3）一起形成了完整的知识结构，这样以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系.对问题（1）、（2）、（3）的处理，可采用灵活多样形式，既可自主探究，也可小组讨论相互交流，教师也可适时参与讨论.在处理问题（4）时，教师可给学生充裕的探讨时间，让学生自己发现结论.
二、思考探究，获取新知
通过上面的问题（4）思考，可以发现：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为k或-k.这一结论是否正确呢？下面我们再通过探究来验证一下.
问题 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（4，3），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A1B1C1.
（1）请在图中画出所有满足要求的△A1B1C1;
（2）写出A、B、C的对应点A1，B1，C1的坐标；
（3）观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
分析与解 （1）作直线OA，OB，OC，在射线OA、OB、OC上，截取A1，B1，C1，使，依次连接A1，B1，C1，得△A1B1C1，则△A1B1C1是适合要求的图形；类似地，在第三象限可画△A2B2C2，使得△A2B2C2是以O为位似中心，位似比为2的放大图形，如图所示：
（2）把△ABC放大后，A，B，C的对应点为A1（4，6），B1（4，2），C1（8，6）；A2（-4，-6），B2（-4，-2），C2（-8，-6）；
（3）观察对应点坐标的变化，可以发现，各顶点的横、纵坐标均是其对应点横、纵坐标的k倍或-k倍.
【教学说明】通过对上述问题的探究思考，让学生主动参与数学知识的“再发现”，在动手——猜想——交流——归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.
性质 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.
三、典例精析，掌握新知
例1 △OEF是△OAB以点O为位似中心；由△OAB放大而得到的，若点A、B坐标分别为（-1，4）和（3，2），且相似比为3∶1，求点E、F的坐标.
分析与解 由坐标平面内以原点O为位似中心的两个图形的对应顶点坐标之间的关系可以知道，点E，F的坐标应为（-1×3，4×3）和（3×3，2×3）或（-1×（-3），4×（-3））和（3×（-3），2×（-3）），即E、F的坐标为（-3，12）和（9，6）或（3，-12）和（-9，-6）.
例2 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B（-8，2），C（-4，0），D（-2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为的位似图形.
分析与解 问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标.根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为（-6×，6×），即（-3，3）.类似地，可以确定其他顶点的坐标.
如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（-3，3），B′（-4，1），C（-2，0），D′（-1，2）.依次连接A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求的四边形ABCD的位似图形.
【教学说明】这里的两道题都可让学生自主探究，教师巡视，发现问题及时指导，最后教师再展示解题过程，锻炼学生的解题能力.在例2中，还可以画出四边形ABCD类似原点O在第四象限的位似图形，可让学生试一试.
四、运用新知，深化理解
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD，求△AOB与△COD的相似比.
2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，-2），B（4，-5），C（5，-2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍.
【教学说明】 所选的两道题是前面知识的延续，学生可自主完成，教师巡视，对优秀者应给予鼓励，增强他们学习兴趣.
五、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？
2.列举出生活中的位似图案.
【教学说明】 针对问题1，学生可发表各自看法，这样一方面可提炼本节知识点，另一方面也可对所存在的问题进行探讨，完善知识技能.而问题2则可让学生感受数学来源于生活，从而更深理解本节知识.
1.布置作业：从教材P51习题27.3中选取.
2.完成练习册中相应练习.
本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系中的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.
本章复习
1.掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定解决具体问题.
2.通过回顾和梳理本章知识了解图形的相似有关知识.
3.在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.
【教学难点】
能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及其之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.比例的基本性质：线段的比；成比例线段；黄金分割.
2.图形的相似：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.
3.三角形相似：两个三角形相似的条件.
4.图形的位似：能够利用位似将一个图形放大或缩小.
5.利用相似解决实际问题（如：测量旗杆的高度）.
【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.
三、典例精析，复习新知
1.若，则m=±1.
解析：分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况.
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且BD=BC=18，DE∥BC交AB于E，则DE＝10.
解析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED求DE.
3.已知：如图，F是四边形ABCD的对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.求证：=1.
分析：利用AC=AF+FC.
解：∵EF∥BC，FG∥AD，
∴
4.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC的中点，延长AC、DE相交于点F，求证：.
分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF=DF.
解：如图（2），作FG∥BC交AB延长线于点G.∵BC∥GF，
∴.
又∠BDC=90°，BE=EC，
∴BE=DE.
∵BE∥GF，∴=1.
∴DF=GF.∴.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB∥CD，图中共有6对相似三角形.
2.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE=2EB，AD=8cm，BC=14cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE=.
解析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC.
3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，在BC边上取一点D，使BD=BA，连接AD.求证：（1）△ADC∽△BAC；（2）点D是BC的黄金分割点.
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵BD=BA，∴∠BAD=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴，
∴AC2＝BC·CD，
∵AC=AB=BD，
∴BD2＝BC·CD，
∴点D是BC的黄金分割点.
4.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
图（1） 图（2）
分析：如图（2），由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，即可由相似三角形的性质求解.
解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP.∴，即=，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.
【教学说明】解此题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出式子，即而得出结论.
五、师生互动，课堂小结
这节课知识方面你收获了什么？数学思想方法方面你收获了什么？学习习惯方面你又收获了什么？
布置作业：教材P119~123“复习题”.
通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形的相似的有关知识解决实际问题.经过不断地练习，使学生能够将本章的内容很好的融合的一起.
第四章 图形的相似
1 成比例线段
第1课时 线段的比和比例的基本性质
1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.
2.了解比例的基本性质及应用.
3.经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.
4.通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.
【教学重点】
成比例线段的基本性质.
【教学难点】
成比例线段的基本性质.
一、情境导入，初步认识
请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？
【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.
让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：
1.线段的比是正数
2.单位要统一
3.线段的比与线段的长度无关
二、思考探究，获取新知
1.由下面的格点图可知，=_______，=_______，这样与之间有关系_______.
【归纳结论】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.
【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.
2.如果四条线段a、b、c、d成比例，即.那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？
【归纳结论】如果，那么ad=bc.如果ad=bc（a、b、c、d都不等于0），那么.
【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.
三、运用新知，深化理解
1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.
2.已知3x=4y，则=.
3.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？
（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm;
（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm.
分析：（1）=2，=2，则=，所以a、b、d、c成比例.
（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.
4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，求A，B两地间的实际距离.
分析：利用比例尺的定义即“”列出等量关系式.
解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则.解得x=900.
∴设A、B两地间的实际距离为900cm.
5.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长.
分析：由a、b、c、d是成比例线段得，代入计算求出线段d的长.
解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴，即.
解得d=4cm.
6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.
分析：
解：设添加的线段长为x，
当x≤2时，x∶2=4∶8，x=1;
当2≤x≤4时，2∶x=4∶8，x=4;
当4≤x≤8时，2∶4=x∶8，x=4;
当x≥8时，2∶4=8∶x，x=16.
综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.
【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x，然后使这四个数各自成比例，再算出x的值.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？
【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.
1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.
第2课时 等比性质
1.能用比例的基本性质推出等比性质.
2.学会用设“k”法解答比例的相关题目.
3.经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题.
4.培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系.
【教学重点】
理解并掌握等比性质.
【教学难点】
等比性质的实际应用.
一、情境导入，初步认识
如图，已知，你能求出的值吗？由此你能得出什么结论？
【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队.
二、思考探究，获取新知
已知a，b，c，d，e，f六个数，如果=k，（b=d=f≠0），那么=k成立吗？为什么？
【归纳结论】
如果=k，（b=d=f≠0），那么=k
【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.
三、运用新知，深化理解
1.已知（b+d+f≠0），求的值.
分析：根据等比性质，
∵
∴.
2.已知==3，=成立吗？
分析：由==3，得a=3b，c=3d.所以==2， ==2，因此=.
3.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.
（1）求a、b、c；
（2）求4a-3b+c的值.
解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.
∵a+3b-3c=14，
∴4k+9k-6k=14，
∴7k=14，
∴k=2，
∴a=8，b=6，c=4.
（2）4a-3b+c=32-18+4=18.
4.已知a∶b∶c=3∶4∶5，求的值.
解：方法一：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，
所以，
所以，所以，
所以.
方法二：由a∶b∶c=3∶4∶5，得，
设=k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
所以.
5.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2cm，求BC.
解：∵AB=15cm，AC=10cm，
∴.
设BD=3k，DC=2k，
∵BD-DC=2cm，
∴k=2cm.
∴BC=3k+2k=5k=10cm.
【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k”法.
6.已知k=，求k的值.
分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.
解：当a+b+c=0时，a+b=-c，k==-1；
当a+b+c≠0时，可以用等比性质k==2；所以k=-1或k=2.
【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？
【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.
1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
本节采用以问题为载体，以培养学生能力为目的的教学模式，教学从提出新的问题开始，引导学生获取知识、探索发现、积极创新，加深对问题的认识，采用讲练结合的方式，增加了教学的弹性.
2平行线分线段成比例
1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题.
2.通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
3.通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.
【教学重点】
定理的应用.
【教学难点】
定理的推导证明.
一、情境导入,初步认识
1.求出下列各式中的x∶y.
（1）3x=5y；（2）x=23y；
（3）3∶2=y∶x；（4）3∶x=5∶y.
2.已知x/y=7/2，求x/（x+y）.
3.已知x/2=y/3=z/4，求(x+y+z)/(2x+3y-z).
【教学说明】其中第1题以学生口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行.
二、思考探究，获取新知..
1.在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图（1）：
∵AD∥BE∥CF ，且AB=BC ，
则DE=EF.
问题1：图（1）中若AD∥BE∥CF，则成立吗？
解：由于 AB=BC,DE=EF,故=1.
问题2：如果将CF向下平移到如图（2）的位置，则AB/BC=DE/EF仍成立吗？
解：若AD∥BE∥CF，则=2/3.
【教学说明】学生之间相互交流，探讨得出结论.
问题3：在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，这个结论吗？
【教学说明】学生可以动手量一量，算一算.得出结论.
【归纳总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可.
2.在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由.
与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段.
在图（1）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC相交与D、E，
在图（2）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC的反向延长线相交于D、E，
【归纳结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延长线相交，所截得的对应线段成比例.
【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.
三、运用新知，深化理解
2.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=________.
解答：过点D作DH∥BE交AC于H，
∴=2
∴EH=CE
∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1
∴AE=CE=EH
∴.
3.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=1∶3，AE∶EC=2∶1，AD与BE交于F，则AF∶FD=________.
解答：过点D作DH∥BE交AC于H，
∴=3
∴EH=CE
∵AE∶EC=2∶1
∴AE=2CE
∴.
【教学说明】通过本题分析使学生进一步理解定理.
四、师生互动，课堂小结
今天我们学习了平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.
1、布置作业：教材“习题4.3”中第1、2 题.
2、完成练习册中相应练习.
对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.
3相似多边形
1.了解相似多边形的概念和性质.
2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.
3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.
4.理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用.
5.激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力.
【教学重点】
相似多边形的定义和性质.
【教学难点】
如何判断两个多边形是否相似.
一、情境导入,初步认识
如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象.
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数.
然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
【教学说明】培养学生从图片直观地获取信息的能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点.由此自然地引出课题——相似多边形.
二、思考探究，获取新知
1.相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.
相似多边形对应边的比叫做相似比.图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k=1/2.
2.观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？
这两个五边形是_____________________________________，
即_______________________________________.
3.问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
相似多边形的性质：____________________________________________.
【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.
【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似用“∽”表示，读作“相似于”.
三、运用新知，深化理解
1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
（1） 正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，
所以∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，
∠C=∠F= 60°.
由于正三角形三边相等，
所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD；
(2)由于正方形的每个角都是直角，
所以∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°，
由于正方形的四边相等，
所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.
2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一多边形的周长为25，则另一个多边形的面积是________.
解答：两个相似多边形的周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，
而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，
则8：x=（2∶5）2，解得：x=50，即另一个多边形的面积是50.
3.两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为________.
分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得.
解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，解得：x=2，即后一个五边形的最短边的长为2.
4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____.
解析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得.
解答：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠1=∠B=70°，.
即，解得AD=28，∠1=70°.
5.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为________.
解析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长.
解答：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴.
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38.
【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑问？
【教学说明】鼓励学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.
1、布置作业:教材“习题4.4”中第1 、2 题.
2、完成练习册中相应练习.
本节课是在探索相似多边形的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用及直觉的不可靠性.
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
1.经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程.
2.能应用判定定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
4.通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.
【教学重点】
三角形相似的判定定理1及应用.
【教学难点】
三角形相似的判定定理1的证明.
一、情境导入，初步认识
现有一块三角形玻璃ABC， 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法.
1、动手实验：
现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系.你有哪些发现？在小组内交流.
【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨.
学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：
① 这样的两个三角形不一定全等.
② 两个三角形三个角都对应相等.
③ 通过度量后计算，得到三边对应成比例.
④ 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.
此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似.
2.进而让学生画出图形，写出已知、求证.
已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.求证： △A′B′C′∽△ABC.
证明：在△ABC的AB上截取BD=B′A′，过D作DE∥AC，交BC于E.
∴
∴△ABC∽△DBE
∵∠BDE=∠A，∠A=∠A′
∴∠BDE=∠A′
∵∠B=∠B′，BD=B′A′
∴△DBE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′.
【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.
【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.
三、运用新知，深化理解
1.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似.
已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.
求证：△ABC∽△ACD∽△CBD.
证明：略.
2.判断题：
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（√）
（2）所有的直角三角形都相似.（×）
（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（×）
（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（√）
3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似.理由如下：在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°，
∴∠A=55°，
∴∠B=∠B′，∠A=∠A′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°.
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.
5.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ △EGC或△EAB .
解析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB.
6. 如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似.并说明线段DE的画法.
分析：画相似的三角形主要是作相等的角.所以需要画平行线.
如：
画法：略
【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.
四、师生互动，课堂小结
提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”
让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.
1、布置作业：教材“习题4.5”中第3、4 题.
2、完成练习册中相应练习.
通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，还不太熟练，教师需加强针对训练.
第2课时 相似三角形的判定（2）
1.掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用.
2.理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系.
3.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力.
4.在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
一、情境导入，初步认识
问题：（1）相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.
（2）判断两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；
方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知识的欲望.
二、思考探究，获取新知
1.完成教材P91的做一做.
【教学说明】老师引导学生分析、讨论得出结果，学生口述证明过程，老师板书.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.已知：，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：过点B′在B′A′上取线段AB的长，同理过点B′在B′C′上取线段BC的长，连接AC.
∵ ，
则AC//A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，∠BCA=∠B′C′A′
∴△ABC ∽△A′B′C′.
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题结论证明定理.
三、运用新知，深化理解
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=4，BC=5，A′C′=8，B′C′=10.
解：∵
∴
又∵∠C=∠C′=90°，
故△ABC∽△A′B′C′.
2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.
分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似.再利用相似三角形的性质得出关于AD的比例式 ，从而求出AD的长.
解：由已知条件可以得出：，
又∠B=∠ACD，根据判定定理2可得出：
△ABC∽△DCA，∴，
又AC=5，BC=4，
∴.
3.如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.
分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，再进一步证明，则问题得证.
证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD=∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC=∠DAE，，∴△ABC∽△ADE.
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）.
分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA与△MNA的相似关系就明确了.
解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∠BAC=∠MAN，
所以△BCA∽△MNA.
所以MN∶BC=AN∶AC，
即MN∶1.6=20∶1.5.
所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）.
5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC.
分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.
证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD，∴BC∶AB=CD∶BC，∴BC2=AB·CD，即AD2=AC·CD.
【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.6”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课主要运用问题引入和与学生共同探究讨论的教学方法，激发学生的论证思维并提高学生分析问题.解决问题的能力.
第3课时 相似三角形的判定（3）
1.理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.
2.经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.
3.在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.
【教学重点】
导出相似三角形的判定定理并会运用.
【教学难点】
相似三角形判定定理的运用.
一、情境导入，初步认识
回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？
由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？
【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.
【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.
二、思考探究，获取新知
证明：三边对应成比例，两三角形相似.
【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.
三、运用新知，深化理解
1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框（A）
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判断
2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）
A.甲点 B.乙点 C.丙点 D.丁点
3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）
A.（6，0） B.（6，3）
C.（6，5） D.（4，2）
4.在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm.求证：△ABC∽△A1B1C1.
分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似.
证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm，∴
∴△ABC∽△A1B1C1.
【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：
（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；
（2）算：分别计算它们对应边的比；
（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例.
5.如图，已知，∠BAD=20°，求∠CAE的大小.
分析：根据三边对应成比例得△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形的性质解答.
解：∵，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
又∠DAC是公共角，
∴∠CAE=∠BAD=20°.
6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解：相似.
证明：∵AB=2，BC=，AC=，EF=2，DF=，DE=.
∴
∴△ABC∽△DEF.
7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.
分析：如图，运用勾股定理分别求出BE、CE、DE的长度（用λ表示），求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE；借助三角形外角的性质即可解决问题.
解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE2=λ2+λ2，CE2=（2λ）2+λ2，DE2=（3λ）2+λ2，
∴BE=λ，CE=λ，DE=λ；
∴
同理可求：
∴
∴△BEC∽△BDE，
∴∠2=∠BED；
∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°.
四、师生互动、课堂小结
引导学生自主完成以上例题.
1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.对于例题、练习，强调学生先独立思考，需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达的能力.
第4课时 黄金分割
1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.
2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.
3.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.
4.理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.
【教学重点】
找一条线段的黄金分割点.
【教学难点】
黄金分割比的应用.
一、情境导入，初步认识
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.
二、思考探究，获取新知
动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.
【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
三、运用新知，深化理解
1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）
2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为 0.764 米.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为.
4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则=0.618，
解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.
5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝AB；
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=∶1，那么这个矩形成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.
解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：
设AB=1，由BC∶AB=∶1可知BC=，
所以BE=，AE=1-=3-52，
所以AE∶EF=∶=∶1.
故矩形AEFD是黄金矩形.
四、师生互动，课堂小结
如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.8”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课知识点较多，具有一定的抽象性，所以有一部分学生掌握的不够好.在今后的教学中将努力改变，铺设阶梯，给大多数同学发言、参与的机会，活跃课堂气氛.
*5相似三角形判定定理的证明
1.掌握判定两个三角形相似的方法及证明过程，并应用它解决一些实际问题.
2.经历相似三角形判定定理的证明过程，体会它在数学学习中的作用.
3.发展学生的推理能力.
【教学重点】
判定定理的证明.
【教学难点】
会用定理解决一些实际问题.
`
一、情境导入，初步认识
问题：三角形相似的判定定理有哪些？你能证明这些定理吗？
【教学说明】从回顾判定定理来引出新知，帮助学生建立新旧知识的联系.
二、思考探究，获取新知
1.证明：两角分别相等的两个三角形相似，
见教材P83页.
2.证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，
见教材P84~85页.
3.证明：三边成比例的两个三角形相似，
见教材P85页.
【教学说明】教师带领学生探究证明方法，指导学生书写过程，并指出不足之处.
三、运用新知，深化理解
1.下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似.
（2）所有的等腰三角形都相似.
（3）所有的等腰直角三角形都相似.
（4）所有的等边三角形都相似.
分析： （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC和A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，则∠A=∠A′=45°,∠B=∠B′=45°，设△ABC的三边为a、b、c，△A′B′C′的三边为a′、b′、c′，则a=b,c=a,a′=b′,c′=a′，∴a/a′=b/b′,c/c′=a/a′，∴△ABC∽△A′B′C′.（4）正确，如△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此△ABC∽△A′B′C′.解：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（B）
A.只有1个 B.可以有2个
C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（A）
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理，可知：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C.
又∵EF∥AB，
∴∠A=∠FEC.
∴△ADE∽△EFC.
5.已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，连接ED，求证：△DBE∽△ABC.
分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决.
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,
∠BCE=∠BAD，∴△CBE∽△ABD.
∴，即：.
△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD，
∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC，
∴∠DBE=∠ABC且，
∴△DBE∽△ABC.
【教学说明】培养和提高学生利用已学知识解决实际问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形有哪几种判定方法？
2.上述几种判定方法如何进行证明？
3.你还存在哪些疑惑？
1.布置作业:教材“习题4.9”中第1、2、3、4题.
2.完成练习册中相应练习.
通过本节课的学习，加强了对学生能力的培养与训练，但在一些综合应用的题目中，学生感到有一定的难度，所以要在实际应用时，尽量开阔学生的思维方式，多鼓励学生用多种方法解题.
6利用相似三角形测高
1.让学生会用相似三角形解决实际问题.
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等一些实际问题.
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
【教学难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.
一、情境导入,初步认识
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家.一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
【教学说明】教师利用金字塔的事例导入新课，激发学生的兴趣，提高学生探究新知的欲望.为本节课问题的探究作出准备.
二、思考探究，获取新知
1.利用阳光下的影子测量旗杆高度.
从图中我们可以看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形.即△EFD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.
2.利用标杆测量旗杆高度.
当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得△DHF∽△DGC.
因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE，DG=AB，
由得GC=，
∴旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.
［对比］过D、F分别作EF、BC的垂线交EF于H，交BC于M，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF∽△FMC∴由，可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.
3.利用镜子的反射测量旗杆高度.
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC，∴△EAD∽△EBC,测出AE、EB与观测者身高AD，可求得BC=.
问：你还可以用什么方法来测旗杆的高度？现在你能测量金字塔的高度了吗？
【教学说明】让学生进行观察，分析，探究，交流解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的密切关系.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.
分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，CE=30米，求BC.由于△ADF∽△AEC,，又△AGF∽△ABC，∴，∴，从而可以求出BC的长.
解：∵AE⊥EC,DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴.又GF⊥EC,BC⊥EC，∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB,∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴.又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，∴BC=6米.即电线杆的高为6米.
2.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（1丈=10尺，1米=3尺）
解：AB=2510米，BD=30750步.
【教学说明】进一步加深学生对相似三角形知识的理解，培养学生的应用能力，并获得学习数学的喜悦感.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、布置作业：教材“习题4.10”中第1~4 题.
2、完成练习册中相应练习.
通过本节课的学习，使学生能将实际问题转化为数学问题，通过作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例，可以计算出不能直接使用皮尺或刻度尺测量的物体的长度或高度.
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形对应线段的比
1.理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比与相似比之间的关系.
2.对性质定理的探究：学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度.
3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质定理的探索及应用.
【教学难点】
相似三角形的性质与判定的综合应用.
一、情境导入，初步认识
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
4.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
5.相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质.
【教学说明】回顾前面所学的知识，为本节课的学习作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B ′，
又∵AD⊥BC， A′D′⊥B′C′
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
2. △ABC ∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，且AB︰A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
【教学说明】学生小组内交流讨论，写出过程，教师点评.
三、运用新知，深化理解
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且 ，B′D′=4，则BD的长为 6 .
解析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，，即，∴BD=6.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8cm， A′D′=3cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为.
3.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（ D ）
A. B. C. D.
解析：由题意可知△DAO∽△DEA，∴==.所以选D.
4.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9cm，CD=6cm，求BD；（3）若AB=25cm，BC=15cm，求BD.
解析：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.在△ADC和 △ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4（cm）.
（3）∵△CBD∽△ABC，∴，即，∴BD==9（cm）.
5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF.
（2）解：∵△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG，CD=BG，
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2cm，
∴CD=BG=2cm.
【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、布置作业：教材“习题5.11及5.12”中第1 、3 题.
2、完成练习册中相应练习.
本节课的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.
第2课时 相似三角形的对应周长比与面积比
1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.
2.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合理推理和有条理的表达能力.
3.培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的价值.
【教学重点】
相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.
【教学难点】
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
一、情境导入，初步认识
我们已经学过哪些三角形的性质？
有一块面积为100平方米，周长为80米的三角形绿地一块，由于学校改建，绿地被削去一角，变成一个梯形，原来绿地一边AB的长由原来的30米，缩短成20米，你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗？
【教学说明】通过这个情境，目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知，验证自己猜想的欲望，同时揭开本节课所要学习内容的实质.
二、思考探究，获取新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，，AD、A′D′为高线.
（1）这两个相似三角形周长比为多少？
（2）这两个相似三角形面积比为多少？
分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′，所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k， 由等比性质可知（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k ，（2）由题意可知 △ABD∽△A′B′D′，所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k， 因此可得△ABC的面积︰△A′B′C′的面积=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）=k2.
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合作交流，找出解决问题的方法.
【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
三、运用新知，深化理解
1.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE=1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ B ）
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
2.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ A ）
A.8，3 B.8，6 C.4，3 D.４，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.
3.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，AB∶A′B′=.
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB∶A′B′=.
4.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍.
解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的倍.
5. 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
解：设△ABC的三边依次为：BC=5，AC=12，AB=13，则∵AB2=BC2+AC2，∴∠C=90°.又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=90°. ==，而.所以，S=120.
6.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560cm，求它们的周长.
分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.
解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k， 由于3x+4z-2y=40，∴6k+20k-6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10.
（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm.
【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这些例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.
【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量，再根据已知条件列方程求得未知量的值，从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.
四、师生互动、课堂小结
1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比，对应高的比等于它们的相似比，面积比等于相似比的平方.
2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
3.能够利用相似三角形的性质解决问题.
1.布置作业：教材“习题4.12”中第2 、3 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课从实际问题引入课题，强调自主学习，让学生在探究过程中进行观察分析、合理猜想、解决问题，体验并感悟相似三角形的性质，使学生感受到学习的快乐，真正成为学习的主人.
8 图形的位似
第1课时 位似图形及其画法
1.了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心.
2.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题.
3.采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
4.使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知识的实用性.
【教学重点】
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.
【教学难点】
探索位似概念、位似图形的性质及利用位似准确地把一个图形通过不同的方法放大或缩小.
一、情境导入,初步认识
下列图片是形状相同的一组图形.在图①上取一点A与图②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？
【教学说明】展示现实生活中的位似图形，让学生体会本课的价值，激发学生的兴趣.启发学生寻找图形的特点.
二、思考探究，获取新知
观察下面图形，有相似图形吗？如果有，有什么特征？
【教学说明】教师演示引导学生观察对应点连线、对应边有什么特点.
【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：
①两图形相似；
②每组对应点所在直线都经过同一点；
③对应边互相平行（或在同一直线上）.
2.把下面的四边形缩小到原来的(相似比是或位似比是).
解：（位似中心在图形外）作法略.
四边形A′B′C′D′即为所求.
你有其他画法吗？请互相交流.
【教学说明】启发学生自己画，引导学生利用位似图形的性质画位似图形.组织学生讨论位似中心的位置有几种情况并画出图形.
【归纳总结】画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论.
三、运用新知，深化理解
1. 下列说法中正确的是（ D ）
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
2.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm,OB=15cm，则AC的长度为8cm.
3. 如图，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17cm2， 周长为20cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 ，周长为 10 cm .
4.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与 △A′B′C′ 是位似图形，位似比为 7∶4 ；△OAB与 △OA′B′ 是位似图形，位似比为 7∶4 .
答案：△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4
5.如图：三角形ABC，请你在网格中画出把三角形ABC以C为位似中心放大2倍的三角形.
【教学说明】小组合作交流、探究，动手操作.通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.13”中第1、2 题.
2.完成练习册中相应练习.
在学习图形的位似概念过程中，让学生用类比的方法认识到事物总是互相联系的，温故而知新.而通过“位似图形的性质”的探索，让学生认识到事物的结论必须通过大胆猜测、推理和归纳.在分析理解位似图形性质时，加强师生的互动，提高学生分析问题、解决问题的能力.
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小.
2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形.
3.在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力.
4.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，进一步培养学生综合运用知识的能力，体验成功的喜悦，树立良好的数学自信心.
【教学重点】
用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计.
【教学难点】
体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律.
一、情境导入，初步认识
问题 如图，已知点A（0，3），B（2，0）是平面直角坐标系内的两点，连接AB.
（1）将线段AB向左平移3个单位得到线段A1B1，画出图形，并写出A1，B1的坐标；
（2）作出线段AB关于y轴对称的线段A2B2，并写出A2，B2点的坐标；
（3）将线段AB绕原点O旋转180°得到线段A3B3，画出图形，并写出A3，B3的坐标.
（4）以原点O为位似中心，位似比为，把线段AB缩小，得到线段A4B4，请在图中画出线段A4B4，写出A4，B4坐标.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？
【教学说明】问题（1）、（2）、（3），从学生已有的知识入手，以问题为载体，自然复习平移、轴对称、旋转等变换.而问题（4），则是承上启下为新课的学习做好铺垫，同时，与问题（1）、（2）、（3）一起形成了完整的知识结构，这样以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系.对问题（1）、（2）、（3）的处理，可采用灵活多样形式，既可自主探究，也可小组讨论相互交流，教师也可适时参与讨论.在处理问题（4）时，教师可给学生充裕的探讨时间，让学生自己发现结论.
二、思考探究，获取新知
通过上面的问题（4）思考，可以发现：在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点坐标的比为k或-k.这一结论是否正确呢？下面我们再通过探究来验证一下.
问题 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（4，3），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，得到△A1B1C1.
（1）请在图中画出所有满足要求的△A1B1C1;
（2）写出A、B、C的对应点A1，B1，C1的坐标；
（3）观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
分析与解 （1）作直线OA，OB，OC，在射线OA、OB、OC上，截取A1，B1，C1，使，依次连接A1，B1，C1，得△A1B1C1，则△A1B1C1是适合要求的图形；类似地，在第三象限可画△A2B2C2，使得△A2B2C2是以O为位似中心，位似比为2的放大图形，如图所示：
（2）把△ABC放大后，A，B，C的对应点为A1（4，6），B1（4，2），C1（8，6）；A2（-4，-6），B2（-4，-2），C2（-8，-6）；
（3）观察对应点坐标的变化，可以发现，各顶点的横、纵坐标均是其对应点横、纵坐标的k倍或-k倍.
【教学说明】通过对上述问题的探究思考，让学生主动参与数学知识的“再发现”，在动手——猜想——交流——归纳过程中进一步体验坐标平面内的位似变换性质.
性质 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.
三、典例精析，掌握新知
例1 △OEF是△OAB以点O为位似中心；由△OAB放大而得到的，若点A、B坐标分别为（-1，4）和（3，2），且相似比为3∶1，求点E、F的坐标.
分析与解 由坐标平面内以原点O为位似中心的两个图形的对应顶点坐标之间的关系可以知道，点E，F的坐标应为（-1×3，4×3）和（3×3，2×3）或（-1×（-3），4×（-3））和（3×（-3），2×（-3）），即E、F的坐标为（-3，12）和（9，6）或（3，-12）和（-9，-6）.
例2 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B（-8，2），C（-4，0），D（-2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为的位似图形.
分析与解 问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标.根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为（-6×，6×），即（-3，3）.类似地，可以确定其他顶点的坐标.
如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（-3，3），B′（-4，1），C（-2，0），D′（-1，2）.依次连接A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求的四边形ABCD的位似图形.
【教学说明】这里的两道题都可让学生自主探究，教师巡视，发现问题及时指导，最后教师再展示解题过程，锻炼学生的解题能力.在例2中，还可以画出四边形ABCD类似原点O在第四象限的位似图形，可让学生试一试.
四、运用新知，深化理解
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD，求△AOB与△COD的相似比.
2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，-2），B（4，-5），C（5，-2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍.
【教学说明】 所选的两道题是前面知识的延续，学生可自主完成，教师巡视，对优秀者应给予鼓励，增强他们学习兴趣.
五、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？
2.列举出生活中的位似图案.
【教学说明】 针对问题1，学生可发表各自看法，这样一方面可提炼本节知识点，另一方面也可对所存在的问题进行探讨，完善知识技能.而问题2则可让学生感受数学来源于生活，从而更深理解本节知识.
1.布置作业：从教材P51习题27.3中选取.
2.完成练习册中相应练习.
本课时可类比上一课时的教学方式进行，只不过本课时涉及到了平面直角坐标系，教学时教师应让学生充分参与，体会平面直角坐标系中的位似变换，以培养学生的动手操作能力和用位似变换解决实际问题的能力.本课的难点是用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律，教师可让学生以小组为单位进行讨论，争取让学生自己发现规律，教师再予以适当点拨，以培养学生的探究能力.
本章复习
1.掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定解决具体问题.
2.通过回顾和梳理本章知识了解图形的相似有关知识.
3.在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】
相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.
【教学难点】
能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及其之间的关系.
二、释疑解惑，加深理解
1.比例的基本性质：线段的比；成比例线段；黄金分割.
2.图形的相似：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.
3.三角形相似：两个三角形相似的条件.
4.图形的位似：能够利用位似将一个图形放大或缩小.
5.利用相似解决实际问题（如：测量旗杆的高度）.
【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.
三、典例精析，复习新知
1.若，则m=±1.
解析：分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况.
2.如图，在△ABC中，AB=AC=27，D在AC上，且BD=BC=18，DE∥BC交AB于E，则DE＝10.
解析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED求DE.
3.已知：如图，F是四边形ABCD的对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.求证：=1.
分析：利用AC=AF+FC.
解：∵EF∥BC，FG∥AD，
∴
4.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC的中点，延长AC、DE相交于点F，求证：.
分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF=DF.
解：如图（2），作FG∥BC交AB延长线于点G.∵BC∥GF，
∴.
又∠BDC=90°，BE=EC，
∴BE=DE.
∵BE∥GF，∴=1.
∴DF=GF.∴.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB∥CD，图中共有6对相似三角形.
2.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE=2EB，AD=8cm，BC=14cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE=.
解析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC.
3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，在BC边上取一点D，使BD=BA，连接AD.求证：（1）△ADC∽△BAC；（2）点D是BC的黄金分割点.
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵BD=BA，∴∠BAD=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；
（2）∵△ADC∽△BAC，
∴，
∴AC2＝BC·CD，
∵AC=AB=BD，
∴BD2＝BC·CD，
∴点D是BC的黄金分割点.
4.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
图（1） 图（2）
分析：如图（2），由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，即可由相似三角形的性质求解.
解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP.∴，即=，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.
【教学说明】解此题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出式子，即而得出结论.
五、师生互动，课堂小结
这节课知识方面你收获了什么？数学思想方法方面你收获了什么？学习习惯方面你又收获了什么？
布置作业：教材P119~123“复习题”.
通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形的相似的有关知识解决实际问题.经过不断地练习，使学生能够将本章的内容很好的融合的一起.
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