数学必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件习题

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1．（3分）（2021秋•兰州期末）下列选项是“a＞1”的必要条件的是（ ）
A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0
【解题思路】是a＞1的必要条件，集合{a|a＞1}是对应集合的子集，即可判断出答案．
【解答过程】解：若是a＞1的必要条件，则集合{a|a＞1}是对应集合的子集，
∵{a|a＞1}⊆{a|a＞0}，
∴a＞0是a＞1的必要条件，
故选：D．
2．（3分）（2022•象山区校级一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充要条件的定义，可求得答案．
【解答过程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分条件，
由m≥﹣2不能够推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要条件，
综上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要条件，
故选：A．
3．（3分）（2022春•湖南期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机经毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分与必要条件概念判断．
【解答过程】解：∵“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必须具备的前提条件，
∴由“找到驾驶员座舱录音器”不能推出“初步事故原因认定”，
反过来由“初步事故原因认定”可推出“找到驾驶员座舱录音器”，
∴“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件．
故选：C．
4．（3分）（2022•和平区二模）设a，b∈R，则“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【解题思路】将条件分类讨论等价化简，即可判断．
【解答过程】解：当a≥0，b＞0时，“a|a|＜b|b|”等价于a2＜b2，即a＜b，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件；
当a＜0，b≤0时，“a|a|＜b|b|”等价于﹣a2＜﹣b2，即a2＞b2，即a＜b，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件；
当a＜0，b＞0时，a＜b，又a|a|＜b|b|”等价于﹣a2＜b2恒成立，故“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件．
综合得：a，b∈R，则“a|a|＜b|b|”是“a＜b”的充要条件．
故选：D．
5．（3分）（2021秋•广东月考）已知条件p：﹣1＜x＜3，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A．{a|a＞3}B．{a|a≥3}C．{a|a＜﹣1}D．{a|a≤﹣1}
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义，转化为对应的不等式关系进行求解即可．
【解答过程】解：设A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，
若p是q的充分不必要条件，
则A⫋B，即a≤﹣1，
故选：D．
6．（3分）（2021秋•历下区校级月考）使“2x+11−x≥0”成立的必要不充分条件是（ ）
A．−12≤x≤1B．−12≤x＜1C．x≤−12或x≥1D．x≤−12或x＞1
【解题思路】可先对不等式“2x+11−x≥0”进行求解，再由充要条件的定义即可进行求解．
【解答过程】解：由题解不等式2x+11−x≥0，可得−12≤x＜1，
若判断选项是否为使“2x+11−x≥0”成立的必要不充分条件，
则{x|−12≤x＜1}必为选项的真子集，
故选：A．
7．（3分）（2021秋•会宁县校级月考）已知P：4x﹣m＜0，q：1≤3﹣x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|m≥8}B．{m|m＞8}C．{m|m＞﹣4}D．{m|m≥﹣4}
【解题思路】分别解出p，q不等式，根据p是q的一个必要不充分条件，即可得出．
【解答过程】解：因为p：4x﹣m＜0，即p：x＜m4，且q：﹣1≤x≤2，
∵p是q的一个必要不充分条件，所以{x|﹣1≤x≤2}⫋{x|x＜m4}，故m4＞2，即m＞8．
故选：B．
8．（3分）（2021秋•靖江市月考）设U＝R，已知两个非空集合，P，Q满足（∁UP）∪Q＝R，则下列说法正确的是（ ）
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
【解题思路】根据题意，可以判断P是Q的子集，从而得出x∈P是x∈Q的充分条件．
【解答过程】解：因为U＝R，非空集合P，Q满足（∁UP）∪Q＝R，
所以P是Q的子集，即P⊆Q，
所以x∈P是x∈Q的充分条件，
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022•衡水模拟）若p：5−xx+1≤1，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．﹣1≤x≤2B．﹣2≤x≤﹣1C．2＜x＜5D．2≤x≤5
【解题思路】先解分式不等式求出p，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答过程】解：p：∵5−xx+1≤1，∴5−xx+1−1=4−2xx+1≤0，
∴（x+1）（2x﹣4）≥0且x+1≠0，
∴x＜﹣1或x≥2，
∵（2，5）⫋（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），
[2，5]⫋（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），
则p成立的一个充分不必要条件是（2，5）和[2，5]，
故选：CD．
10．（4分）（2020秋•张家口期中）若不等式x﹣2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．a≥2B．a≥1C．3＜a≤5D．a≤2
【解题思路】根据充分条件的定义即可求出．
【解答过程】解：不等式x﹣2＜a成立的充分条件是0＜x＜3，设x﹣2＜a的解集为A，则（0，3）是集合A的真子集，
∵A＝（﹣∞，2+a），
∴2+a≥3，
解得a≥1，
则A，B，C均正确，
故选：ABC．
11．（4分）（2021秋•营口期末）下列选项中，满足p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：x＞1，q：x＞0B．p：|x|≠2，q：x2≠4
C．p：x＝0，q：xy＝0D．p：x＞y，q：x2＞y2
【解题思路】根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【解答过程】解：p：x＞1，q：x＞0，p是q的充分不必要条件，故A正确，
p：|x|≠2，x≠±2，q：x2≠4，x≠±2，故p是q的充分必要条件，故B错误，
p：x＝0，q：xy＝0，p是q的充分不必要条件，故C正确，
p：x＞y，q：x2＞y2，p推不出q，q推不出p，p是q的即不充分也不必要条件，故D错误，
故选：AC．
12．（4分）（2022•沈河区校级二模）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
【解题思路】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项条件间的关系，能求出结果．
【解答过程】解：对于A，a＝b⇒ac＝bc，
当c＝0，ac＝bc时，a与b不一定相等，故A是假命题；
对于B，若a＝1＞b＝﹣2时，充分性不成立，故B是假命题；
对于C，a＜5不一定a＜3，但a＜3必有a＜5，
∴“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故C是真命题；
对于D，a+5是无理数，则a是无理数，
若a是无理数，则a+5是无理数，
∴“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是假命题．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022•昆明一模）若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的值可以是 0 ．（写出满足条件a的一个值即可）
【解题思路】若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则若“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，以此可解决此题．
【解答过程】解：因为“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，所以“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，
当a＝0时满足．
故答案为：0．
14．（4分）（2021秋•威宁县期末）已知条件p：2k﹣1≤x≤2，q：﹣5≤x≤3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 [﹣2，+∞）． ．
【解题思路】记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，问题转化为满足条件A⊆B，通过讨论A的情况，确定k的取值范围即可．
【解答过程】解：记A＝{x|2k﹣1≤x≤2}，B＝{x|﹣5≤x≤3}，
因为p是q的充分条件，所以A⊆B，
当A＝∅时，2k﹣1＞2，即k＞32，符合题意，
当A≠∅时，由A⊆B可得2k﹣1≥﹣5，2k﹣1≤2即32≥k≥﹣2，
综上所述，实数的k的取值范围是[﹣2，+∞）.
15．（4分）（2022春•邹平市校级期中）设x∈R，“|x−12|＜12”成立的一个充分不必要条件是 12＜x＜1 ．（写出一个即可）
【解题思路】先将结论等价化简，再根据充分与必要的条件概念即可求解．
【解答过程】解：“|x−12|＜12”可等价转化为0＜x＜1，记A＝（0，1），设“|x−12|＜12”成立的一个充分不必要条件是集合B，
则B⫋A，
∴“|x−12|＜12”成立的一个充分不必要条件可以是12＜x＜1，
故答案为：12＜x＜1．
16．（4分）（2021秋•松山区校级期末）已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【解题思路】由p是q的必要不充分条件，得到（2，3）⫋（a，+∞），即可求解．
【解答过程】解：∵p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，
∴（2，3）⫋（a，+∞），
∴a≤2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]，
故答案为：（﹣∞，2]．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋•新兴县校级月考）求证：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0．
【解题思路】充分性证明：将b＝0代入一次函数方程即可求证一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点；
必要性证明：将（0，0）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）解析式中，求解可得b＝0，进而得证．
【解答过程】证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，
所以一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点；
必要性：因为一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点，
所以当x＝0时，y＝0，即k×0+b＝0，所以b＝0，
综上，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0．
18．（6分）（2021秋•酒泉期末）已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，即可求得答案．
【解答过程】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，
∴a−4≤1a−1≥3，
∴4≤a≤5，
∴实数a的取值范围为[4，5]．
19．（8分）（2021秋•上饶期末）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|1＜x＜6}．
（1）当a＝3时，求A∪B；
（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）把a＝3代入集合A，再由并集运算得答案；
（2）由题意可得，A⫋B，进一步得到关于a的不等式组求解．
【解答过程】解：（1）当a＝3时，A＝{x|﹣1≤x≤5}，
∵B＝{x|1＜x＜6}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜6}；
（2）∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A是B的真子集．
则2+a≥2−a2+a＜62−a＞1，解得0≤a＜1，
综上，a＜1．
∴实数a的取值范围是a＜1．
20．（8分）（2021秋•宜宾期末）设p：x≤﹣1或x≥3，q：x2+（a+1）x+a≥0．
（1）若a＝﹣3时，P是q的什么条件？
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【解题思路】（1）将a代入，求出命题q，然后根据充要条件的定义可得结果．
（2）分类讨论a的值，再结合充要条件的定义转化为集合间的关系可得结果．
【解答过程】解：（1）若a＝﹣3时，q：x2﹣2x﹣3≥0，∴x≥3或x≤﹣1，
∵p：x≤﹣1或x≥3，
∴P是q的充要条件．
（2）q：x2+（a+1）x+a≥0⇔（x+a）（x+1）≥0，
①当a＝1时，q：x∈R，不满足P是q的必要不充分条件，
②当a＜1时，q：x≥﹣a或x≤﹣1，
∵P是q的必要不充分条件，
∴﹣a＞3，∴a＜﹣3，∴a＜﹣3，
③当a＞1时，q：x≥﹣1或x≤﹣a，不满足P是q的必要不充分条件，
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣3）．
21．（8分）（2021秋•榆林期末）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，其中a∈R．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
【解题思路】（1）问题转化为A⊆B，可求a的取值范围；（2）问题转化为B⊆A可解决此题．
【解答过程】解：（1）由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则2−a≤11+2a≥5，解得a≥2，
故实数a的取值范围是[2，+∞）；
（2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当B＝∅时，2﹣a＞1+2a，即a＜13时，满足题意，
当B≠∅时，即a≥13时，则1≤2−a1+2a≤5，
解得13≤a≤1．
综上a≤1，
故实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
22．（8分）（2021秋•浦东新区校级月考）已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
（1）若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
（2）求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
【解题思路】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【解答过程】解：（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠∅时，若B是A的真子集，则a≥1a＜2，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
证明：（2）充分性（若a≥2，则α⟹β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α⟹β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件．