高中数学1.4.1 充分条件与必要条件课时练习

这是一份高中数学1.4.1 充分条件与必要条件课时练习，共20页。

一、命题的概念
一、单选题
1.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
2.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
3.下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！B．这是一棵大树
C．求证：D．3比5大
4.判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
二、多选题
5． (多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2D．你准备考北京大学吗?
二、判断命题的真假
一、单选题
6．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
二、填空题
8．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
三、充分条件的判定
一、单选题
9． =的一个充分条件是（ ）
A． B．
C．D．
二、多选题
10．若是的充分不必要条件，则实数a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、解答题
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
四、必要条件的判定
一、单选题
12． “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
14．已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
3．（2022秋·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）设x∈R，则“x＜2”是“”成立的什么条件（ ）
A．充分不必要B．既不充分也不必要
C．充要D．必要不充分
二、多选题
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．的充要条件是
6．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________
9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是___________.
10．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
11．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
12．（2022秋·广东广州·高一广州市番禺区大龙中学校考阶段练习）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
13．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
1.4.1充分条件与必要条件（4种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
一、命题的概念
一、单选题
1.以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
2.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．②③⑥D．①③
【答案】D
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
3.下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！B．这是一棵大树
C．求证：D．3比5大
【答案】D
【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，
4.判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
（3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
（4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
二、多选题
5． (多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2D．你准备考北京大学吗?
【答案】ABC
【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
二、判断命题的真假
一、单选题
6．下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】D
【详解】A选项：若，满足，但是，因此是假命题，故A错误；
B选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故B错误；
C选项：若，，满足，但是，因此是假命题，故C错误；
D选项：因为，则，且，因此，因此是真命题，故D正确，
二、填空题
8．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
三、充分条件的判定
一、单选题
9． =的一个充分条件是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于选项A，因为，显然=没意义，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；
对于选项B，当时，=成立；而当=成立时，a≥0，b>0.
根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；
对于选项C、D，由可知，=没意义，所以选项C、D不是充分条件；
二、多选题
10．若是的充分不必要条件，则实数a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【详解】若是的充分不必要条件，
则.
三、解答题
11．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
四、必要条件的判定
一、单选题
12． “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：关于的不等式的解集为R，则，
解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.
二、多选题
13．若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
三、解答题
14．已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【详解】必要性：对于x，y∈R，若x2+y2=0，
则x=0，y=0，即xy=0，
故xy=0是x2+y2=0的必要条件.
充分性：对于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，
故xy=0不是x2+y2=0的充分条件.
综上所述，对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解.
【详解】若，则同号，所以成立，充分性成立；
若成立，两边同时平方可得：，
所以，则，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
3．（2022秋·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系.
【详解】四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，
若四边形ABCD为菱形，则；若，则四边形ABCD不一定为菱形.
则“四边形ABCD为菱形”是“”的充分不必要条件
故选：A
4．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）设x∈R，则“x＜2”是“”成立的什么条件（ ）
A．充分不必要B．既不充分也不必要
C．充要D．必要不充分
【答案】D
【分析】根据不等式解法和充分必要条件的判定即可求解.
【详解】①若“x＜2”存在x为负数的情况，
此时为负数，
所以不满足，
故前面推导不出后面的结果，
②若，则，
所以能够推出x＜2，
所以“x＜2”是“”成立的必要不充分条件.
故选：D.
二、多选题
5．（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．的充要条件是
【答案】BD
【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.
【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；
选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；
选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；
选项D，必要性：，
所以，
即，所以；
充分性：，则，该选项正确.
故选：BD.
6．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解．
【详解】解：因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
7．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.
【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，
命题“，或”为真命题，则或，
所以或或，显然，B，D选项中的区间为的子集．
故选：BD．
三、填空题
8．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________
【答案】
【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】
是的必要不充分条件,
,
,
实数的取值范围是,
故答案为： .
9．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可.
【详解】由方程有实数根可得，即，
为真命题，即为假命题，
所以 ，
根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
10．（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据“或”是“”的必要不充分条件，得到不等式组，解出即可．
【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，
则是或的真子集，
或，
解得：或，
故答案为：．
四、解答题
11．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；
（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件推得集合的包含关系，再结合数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，，而，
所以，则或.
（2）选①：
因为，所以，
当时，则，即，满足，则；
当时，，由得，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选②：
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，则，即，满足题意，则；
当时，，则，且不能同时取等号，解得；
综上：或，即实数的取值范围为；
选③：
因为，
所以当时，则，即，满足，则；
当时，，由得或，解得或，
又，所以或；
综上：或，实数的取值范围为.
12．（2022秋·广东广州·高一广州市番禺区大龙中学校考阶段练习）已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．
【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】（1），，，，
假设，，则，且，
∴，则或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
（2）集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，又，而
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）集合，成立，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
13．（2022秋·河南南阳·高一校考期末）已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解.
【详解】（1）当时，集合，集合，所以；
（2）i.当选择条件①时，集合，
当时，，舍；
当集合时，即集合，时，，
此时要满足，则，解得，
结合，所以实数m的取值范围为或；
ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，
集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，
所以实数m的取值范围为或；
故，实数m的取值范围为或.