人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质练习

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•东海县期中）函数f（x）=1x的单调减区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
【解题思路】根据题意，分析可得f（x）的递减区间，综合即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=1x，其定义域为{x|x≠0}，
分析可得：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
综合可得：函数f（x）=1x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
2．（3分）（2022春•爱民区校级期末）下列函数是奇函数且在[0，+∞）上是减函数的是（ ）
A．f(x)=1xB．f（x）＝﹣|x|C．f（x）＝﹣x3D．f（x）＝﹣x2
【解题思路】易知函数f（x）=1x，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），奇函数，根据其定义域即可判断选项A；函数f（x）＝﹣|x|和f（x）＝﹣x2的定义域为R，为偶函数，可判断选项B，D；
f（x）＝﹣x3，定义域为R，奇函数，在R上是减函数，从而可判断选项C．
【解答过程】解：对于f（x）=1x，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），奇函数，
在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递减，0不是定义域内的元素，故选项A错误；
对于f（x）＝﹣|x|，定义域为R，f（﹣x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），
故该函数为偶函数，选项B错误；
对于f（x）＝﹣x3，定义域为R，f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3＝﹣f（x），
所以该函数为奇函数，又f（x）＝﹣x3在R上是减函数，
所以f（x）＝﹣x3在[0，+∞）上是减函数，选项C正确；
对于f（x）＝﹣x2，定义域为R，满足f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2，是偶函数，故选项D错误．
故选：C．
3．（3分）（2021秋•荔湾区校级月考）下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】求得函数的奇偶性，确定函数的图象分布，即可求得结论．
【解答过程】解：令f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），∴函数是奇函数
∵x≥0时，f（x）＝x2，
∴函数的图象在第一、三象限，且为单调增函数
故选：D．
4．（3分）（2022春•上饶月考）函数f（x）＝ax|a﹣x|（a∈R）在区间（﹣∞，2）上单调递增，则实数a的取值范围（ ）
A．[2，4）B．[4，+∞）C．（2，+∞）D．（4，+∞）
【解题思路】由已知函数解析式对a进行分类讨论，然后结合二次函数的单调性即可求解．
【解答过程】解：当a＝0时，f（x）＝0显然不满足题意，
当a＜2且a≠0，则f（0）＝f（a）＝0，显然不满足题意，
当a≥2时，f（x）=−a(x−a2)2+a34，x≤aa(x−a2)2−a34，x＞a，
因为f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递增，
所以a2≥2，即a≥4．
故选：B．
5．（3分）（2022秋•项城市校级月考）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，设a=f(−12)，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c
【解题思路】由题意得f（x）的图象关于x＝1对称且在[1，+∞）上单调递增，结合对称性及单调性即可比较函数值大小．
【解答过程】解：因为函数f（x+1）是偶函数，
所以f（x）的图象关于x＝1对称，
又当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，
a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f（3），
所以c＞a＞b．
故选：A．
6．（3分）（2022春•揭阳期末）设MI表示函数f（x）＝|x2﹣4x+2|在闭区间I上的最大值．若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是（ ）
A．[2−3，12]B．[2−3，1]C．[2，2+3]D．[2+3，4]
【解题思路】作图分析函数f（x）的特点，再分类讨论即可．
【解答过程】解：函数f（x）的图像如下：
f（x）的对称轴为x＝2，f（2）＝2，f（0）＝f（4）＝2；
分类讨论如下：
（1）当a＞4时，M[0，a]＝f（a），M[a，2a]＝f（2a），
依题意，f（a）≥f（2a），而函数在x≥2+2时是增函数，a＜2a，f（a）＜f（2a），故不可能；
（2）当a≤4时，M[0，a]＝2，
依题意，2≥M[a，2a]，即M[a，2a]≤1，
令f（x）＝1，解得：x1=2−3，x2=1，x3=2+3，x4=3，
则有：a≥2−3并且2a≤1，解得：2−3≤a≤12；或者a≥3并且2a≤2+3，无解；
故选：A．
7．（3分）（2022春•长春期末）设函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，则f(152)=（ ）
A．−54B．54C．−34D．34
【解题思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分别令x＝1、x＝3，结合已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出函数f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函数的对称性求得结果．
【解答过程】解：由f（x﹣1）是奇函数，得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①
由f（x+2）是偶函数，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②
令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，
令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
由f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，得a+b=0−3a=−3，则a＝1，b＝﹣1，
∴x∈[﹣1，2]时，f（x）＝x2﹣1．
则f（152）＝f（112+2）＝f（−112+2）＝f（−72）＝f（−52−1）
＝﹣f（52−1）＝﹣f（32）＝﹣[(32)2−1]=−54．
故选：A．
8．（3分）（2022•湖州开学）已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，函数g(x)=f(x)+1x，f(1)=−1，当x2＞x1＞0时，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2＜0恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）是增函数
B．g（x）在（﹣∞，0）是增函数
C．不等式g（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
D．函数g（x）只有一个零点
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答过程】解：当x2＞x1＞0时，不等式f(x1)−f(x2)x1−x2＜0恒成立，
则当x＞0时，f（x）为减函数，故A错误，
∵f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，
∴当x＜0时，f（x）为减函数，
则g（x）为奇函数，且当x＜0时，为减函数，故B错误，
∵f（1）＝﹣1，∴g（1）＝f（1）+1＝﹣1+1＝0，
作出g（x）的草图，如图：
则g（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故C正确，
函数g（x）的零点为1，﹣1，故D错误，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•广西月考）函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有（ ）
A．f（0）＝0
B．若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣3，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值3
C．若f（x）在（1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数
D．f（﹣1）＝f（1）
【解题思路】选项A，在f（﹣x）＝﹣f（x）中，取x＝0，计算即可；
选项B，由x＞0时，f（x）≥﹣3，可得x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）≤3；
选项C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可判断；
选项D，f（﹣1）＝﹣f（1）．
【解答过程】解：选项A，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣0）＝﹣f（0），即f（0）＝0，故A正确；
选项B，若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣3，即当x＞0时，f（x）≥﹣3，
所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（﹣x）≥﹣3，
因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）≤﹣（﹣3）＝3，即f（x）在（﹣∞，0）上有最大值3，故B正确；
选项C，根据奇函数在对称区域内的单调性一致，可知若f（x）在（1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，即C错误；
选项D，f（﹣1）＝﹣f（1），即D错误．
故选：AB．
10．（4分）（2022春•遵义期末）设函数f(x)=ax−1，x＜ax2−2ax+1，x≥a，f（x）存在最小值时，实数a的值可能是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解题思路】对每个选项逐个分析f（x）的单调性，最值，即可得出答案．
【解答过程】解：对于A：当a＝﹣2时，f（x）=−2x−1，x＜−2x2+4x+1，x≥−2，
当x＜﹣2时，f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
f（x）＞f（﹣2）＝﹣2×（﹣2）﹣1＝3，
当x≥﹣2时，f（x）＝x2+4x+1的对称轴为x=−42=−2，
f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
f（x）≥f（﹣2）＝（﹣2）2+4×（﹣2）+1＝﹣3，
所以f（x）的最小值为﹣3，符合题意，
对于B：当a＝﹣1时，f（x）=−x−1，x＜−1x2+2x+1，x≥−1，
当x＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
f（x）＞f（﹣1）＝﹣（﹣1）﹣1＝0，
当x≥﹣1时，f（x）＝x2+2x+1的对称轴为x＝﹣1，
f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
f（x）≥f（﹣1）＝（﹣1）2+2×（﹣1）+1＝0，
所以f（x）的最小值为0，符合题意，
对于C：当a＝0时，f（x）=−1，x＜0x2+1，x≥0，
当x＜0时，f（x）＝﹣1，
当x≥0时，f（x）＝x2+1的对称轴为x＝0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增，
f（x）≥f（0）＝1，
所以f（x）的最小值为﹣1，符合题意，
对于D：当a＝1时，f（x）=x−1，x＜1x2−2x+1，x≥1，
当x＜1时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，
f（x）＜f（1）＝0，且x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
所以f（x）无最小值，不符合题意，
故选：ABC．
11．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知函数f(x)=|x+1x|，g(x)=x2+1x2，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）是奇函数B．f（x）⋅g（x）是偶函数
C．f（x）+g（x）的最小值为4D．f（x）⋅g（x）的最小值为2
【解题思路】利用奇偶性的定义可判断A，B；利用基本不等式可判断C；利用换元可判断D．
【解答过程】解：因为f（x）+g（x）＝|x+1x|+x2+1x2，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝|﹣x+1−x|+（﹣x）2+1(−x)2=|x+1x|+x2+1x2，
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以f（x）+g（x）是偶函数，故A错误；
因为f（x）•g（x）＝|x+1x|•（x2+1x2），
所以f（﹣x）•g（﹣x）＝|﹣x+1−x|•[（﹣x）2+1(−x)2]＝|x+1x|•（x2+1x2），
所以f（x）•g（x）＝f（﹣x）•g（﹣x），
所以f（x）•g（x）为偶函数，故B正确；
f（x）+g（x）＝|x+1x|+x2+1x2≥2+2＝4，
当且仅当x=1x且x2=1x2，即x2＝1时等号成立，故C正确；
f（x）•g（x）＝|x+1x|•（x2+1x2），
令t＝|x+1x|，t≥2，则y＝f（x）•g（x）＝t（t2﹣2）＝t3﹣2t，
可知：t≥2时，函数y＝t3﹣2t为增函数，
所以当t＝2时，y＝f（x）•g（x）取得最小值为4，故D错误．
故选：BC．
12．（4分）（2021秋•新泰市校级期中）已知定义在区间[﹣7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．这个函数有两个单调增区间
B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值﹣7
【解题思路】由题意利用偶函数的图象特征，函数的单调性、奇偶性，最值，得出结论．
【解答过程】解：根据定义在区间[﹣7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，
根据偶函数的图象关于y轴对称，可得它在定义域[﹣7，7]上的图象，如图：
故这个函数有3个单调增区间，三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不能确定，
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）函数y=1x2+4x−5的单调递增区间是 （﹣∞，﹣5） ．
【解题思路】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可．
【解答过程】解：要使函数有意义，则x2+4x﹣5＞0，解得x＜﹣5或x＞1，
所以函数y=1x2+4x−5的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞），
所以y＝x2+4x﹣5的单调递减区间为（﹣∞，﹣5），
因为y=1x在定义域内单调递减，
所以数y=1x2+4x−5的单调递增区间是（﹣∞，﹣5），
故答案为：（﹣∞，﹣5）．
14．（4分）（2022秋•东风区校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则f（﹣1）＝ 3 ．
【解题思路】由奇函数的定义，结合已知函数的解析式，计算可得所求值．
【解答过程】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，
则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣4）＝3．
故答案为：3．
15．（4分）（2022春•南岗区校级期末）已知函数f（x）=x2−mx+5，x≤1mx，x＞1，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则实数m的取值范围是 [2，3] ．
【解题思路】由题意得f（x）在R上单调递减，然后结合反比例函数及二次函数的单调性及分段函数的性质可求．
【解答过程】解：由题意得f（x）=x2−mx+5，x≤1mx，x＞1在R上单调递减，
根据分段函数的性质可知，m＞0m2≥11−m+5≥m，
解得2≤m≤3，
所以m的取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．
16．（4分）（2022春•鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，且f（x）+f（﹣x）＝0，若f(−1)=−12，则不等式f(2x−1)≤12的解集为 {x|12≤x≤1} ．
【解题思路】由已知可判断出函数f（x）为奇函数且在[﹣2，2]上单调递增，结合单调性及奇偶性即可求解．
【解答过程】解：由题意可知f（x）为奇函数且在[﹣2，0]上单调递增，
根据奇函数对称性可知f（x）在[﹣2，2]上单调递增，
又f(−1)=−12，则f（1）=12，
则不等式f(2x−1)≤12可转化为f（2x﹣1）≤f（1），
所以﹣2≤2x﹣1≤1，
解得12≤x≤1．
故答案为：{x|12≤x≤1}.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022秋•定边县校级月考）判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3−1x；
（2）f（x）=x2−1+1−x2；
（3）f（x）=36−x2|x+3|−3．
【解题思路】（1）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x），与f（x）比较，可得结论；
（2）求得f（x）的定义域，化简f（x），可得结论；
（3）求得f（x）的定义域，判断是否关于原点对称，可得结论．
【解答过程】解：（1）f（x）＝x3−1x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（﹣x）＝﹣x3+1x=−f（x），则f（x）为奇函数；
（2）由x2−1≥01−x2≥0，解得x＝±1，
f（x）=x2−1+1−x2的定义域为{﹣1，1}，关于原点对称，
f（x）＝0，则f（x）是奇函数，也是偶函数；
（3）由36−x2≥0|x+3|−3≠0，可得﹣6＜x＜0或0＜x≤6，
f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
18．（6分）（2021秋•爱民区校级期末）已知函数f(x)=x+1x，
（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【解题思路】（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函数，可知在[1，4]也是增函数，则当x＝1时，取得最小值，当x＝4时，取得最大值．
【解答过程】（I）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)
=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2，
∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0，
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（II）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数，
∴当x＝1时，有最小值2；
当x＝4时，有最大值174.
19．（8分）（2021秋•贞丰县期末）函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【解题思路】（1）根据奇函数的性质，f（﹣x）＝﹣f（x），及f(12)=25．及构造关于a，b的方程，解方程可求出实数a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，任取区间（﹣1，1）上两个的实数，然后分析它们所对应的函数值的大小，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．
【解答过程】解：（1）若函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，
则f（﹣x）=−ax+bx2+1=−f（x）=−ax+bx2+1，
解得b＝0，
又∵f(12)=25．
∴12a(12)2+1=25，
解得a＝1，
故f(x)=xx2+1；
（2）任取区间（﹣1，1）上两个的实数m，n，且m＜n，
则f（m）﹣f（n）=mm2+1−nn2+1=(m−n)(1−mn)(m2+1)(n2+1)，
∵m2+1＞0，n2+1＞0，m﹣n＜0，1﹣mn＞0，
∴f（m）﹣f（n）＜0，
即f（m）＜f（n），
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数.
20．（8分）（2021秋•三亚月考）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示．
（1）请补全函数y＝f（x）的图象；
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间；
（3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合．
【解题思路】（1）由题意，根据f（x）的图象关于y轴对称，得出结论．
（2）由题意，数形结合，可得函数y＝f（x）的单调递增区间．
（3）由题意，数形结合，可得使函数y＝f（x）＜0的x的取值集合．
【解答过程】解：（1）∵函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，故它的图象关于y轴对称，
根据当x≤0时，f（x）＝x2+2x，可得f（x）在y轴右侧的图象，如图：
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间为；[﹣1，0]，[1，+∞）．
（3）根据图象可得，当﹣2＜x＜0 或0＜x＜2时，函数f（x）的图象在x轴的下方，
故使f（x）＜0的x的取值集合为（﹣2，0）∪（0，2）．
21．（8分）（2022•句容市校级开学）函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f(1)=14．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【解题思路】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1）=14，求出b和a的值，可得函数的解析式．
（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．
（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．
【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则f(0)=−b9=0，解可得b＝0．
又由f（1）=14，则有f(1)=a8=14，解可得a＝2，故f(x)=2x9−x2．
（2）由（1）的结论，f(x)=2x9−x2，设﹣3＜x1＜x2＜3，
则 f(x1)−f(x2)=2x19−x12−2x29−x22=2x1(9−x22)−2x2(9−x12)(9−x12)(9−x22)=2(9+x1x2)(x1−x2)(9−x12)(9−x22)，
再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，9−x12＞0，9−x22＞0，
故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．
（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数，
关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
可得−3＜t−3＜3−3＜t＜3t−1＜−t，解可得：−2＜t＜12，
即不等式的解集为(−2，12)．
22．（8分）（2022秋•余姚市校级月考）已知函数f（x）=x2+2x+ax．
（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；
（2）当a=12时，先用定义法证明函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由函数的奇偶性的定义，即可得出答案．
（2）当a=12时，f（x）＝x+12x+2，由函数单调性的定义，即可得出答案．
（3）根据题意可得x2+2x+a＞0x≥1，问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）g（x）为奇函数．
证明：g(x)=f(x)−2=x+ax(x≠0)，
函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
g（﹣x）＝﹣x−ax=−（x+ax）＝﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
（2）当a=12时，f（x）＝x+12x+2，
∀x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
所以f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(2x1x2−1)2x1x2＜0，
所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为f(1)=72．
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则{x2+2x+a＞0，x≥1，⇔a＞−(x2+2x)，x≥1．
所以问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，
又函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）最大值为φ（1）＝﹣3，
所以实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．