人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数习题

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1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
3．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：
4．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
5．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型1 对数的运算性质的应用】
【方法点拨】
对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数
式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值lg4+2lg5+lg28+823=（ ）
A．8B．9C．10D．1
【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【解答过程】因为lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2，
lg28=lg223=3，823=2323=22=4
所以lg4+2lg5+lg28+823=2+3+4=9，
故选：B.
【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简(2lg43+lg83)(lg32+lg92)的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
【解答过程】原式=(2×12lg23+13lg23)(lg32+12lg32)
=43lg23×32lg32=2，
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：2lg5−lg4−12=（ ）
A．10B．1C．2D．lg5
【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.
【解答过程】2lg5−lg4−12=lg(5)2+lg4=lg5+lg2=lg10=1.
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简1g622+lg62⋅lg63+2lg63−6lg62的值为（ ）
A．−lg62B．−lg63C．lg63D．-1
【解题思路】运用对数的运算性质即可求解.
【解答过程】解析：
lg622+lg62⋅lg63+2lg63−6lg62=lg62lg62+lg63+2lg63−2=lg62+2lg63−2=2lg62+lg63−lg62−2=2−lg62−2=−lg62
故选：A.
【题型2 换底公式的应用】
【方法点拨】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
(1)原则：化异底为同底；
(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；
②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知a=lg2，b=lg3，则lg365=（ ）
A．2a+2b1−aB．1−a2a+b
C．2−2aa+bD．1−a2a+2b
【解题思路】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【解答过程】因为a=lg2，b=lg3，所以
lg365=lg5lg36=1−lg22lg2+lg3=1−a2a+2b．
故选：D.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知lg23=m，lg37=n，则lg4256=（ ）
A．mn+3mn+1B．m+n+32m+n+1C．mn+3mn+m+1D．mn+3mn−m+1
【解题思路】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【解答过程】由换底公式得：lg27=lg23⋅lg37=mn，lg72=1mn lg4256=lg427×8=lg427+lg428，其中lg427=1lg742=11+lg76=11+lg72+lg73=11+1mn+1n=mnmn+m+1，lg428=3lg422=3lg242=3lg26+lg27=31+m+mn，故lg4256=mnmn+m+1+31+m+mn=mn+3mn+m+1
故选：C.
【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示lg365，则lg365=（ ）
A．2a+2b1−aB．1−a2a+bC．2−2aa+bD．1−a2a+2b
【解题思路】利用换底公式即可求解.
【解答过程】由题意知lg365=lg5lg36=1−lg22lg2+lg3=1−a2a+2b，
故选:D．
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若lga（bc）+lgbc＝5，lgba+lgcb＝3，则lgca的值为（ ）
A．45B．35C．54D．53
【解题思路】利用对数的运算性质以及换底公式将等式lgabc+lgbc＝5化简变形，即可得到答案．
【解答过程】5＝lga（bc）+lgbc＝lgab+lgac+lgbc，
5=1lgba+1lgcb+1lgca，
5=lgba+lgcblgba⋅lgcb+1lgca，
5=3lgca+1lgca，
5=4lgca，
解得lgca=45．
故选：A．
【题型3 指数式与对数式的互化】
【方法点拨】
根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.
【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式7x=9等价的是（ ）.
A．lg7x=9B．lg9x=7C．lg79=xD．lgx9=7
【解题思路】根据指数式和对数式的关系即可得出.
【解答过程】根据指数式和对数式的关系,7x=9等价于lg79=x.
故选：C.
【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n等于（ ）
A．5B．7C．10D．12
【解题思路】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算．
【解答过程】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．
故选：D．
【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与912=3
C．8-13=12与lg812=-13D．lg77=1与71=7
【解题思路】利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【解答过程】对于A，e0=1可化为0=lge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，lg39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，8-13=12可化为lg812=-13，所以C中互化正确；
对于D，lg77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将13−2=9转化为对数形式，正确的是（ ）
A．lg913=−2；B．lg13−2=9；
C．lg139=−2；D．lg9−2=13．
【解题思路】根据指数式和对数式间的互化公式求解即可．
【解答过程】根据对数的定义和13−2=9,lg139=−2．
故选：C．
【题型4 指、对数方程的求解】
【方法点拨】
解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.
解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相
同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的
值，求x.
【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程lnlg3x=0的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【解答过程】∵lnlg3x=0，∴lg3x=e0=1，∴x=3.
故选：D.
【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程lg2x=12的解为（ ）
A．12B．14C．22D．2
【解题思路】把对数式化为指数式即可得出．
【解答过程】方程lg2x=12，化为：x=212=2．
故选：D．
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．lg32 B．1 C．lg23D．2
【解题思路】结合指数运算化简已知条件，求得2x，再求得x.
【解答过程】方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝lg23.
故选：C.
【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7⋅lg5=0的两根为α、β，则α⋅β的值是（ ）
A．135B．lg35C．lg7⋅lg5D．35
【解题思路】利用根与系数的关系和对数的运算性质直接求得.
【解答过程】由题意知，lgα、lgβ是一元二次方程x2+(lg7+lg5)x+lg7⋅lg5=0的两根，
依据根与系数的关系得lgα+lgβ=−(lg7+lg5)，lg(α⋅β)=lg(7×5)−1，∴α⋅β=135.
故选：A.
【题型5 带附加条件的指、对数问题】
【方法点拨】
带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的
式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知lga3=m，lga2=n（a>0，且a≠1）．
(1)求am+2n的值；
(2)若0【解题思路】（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算求出a，再根据乘法公式求出x−x−1，即可得解.
【解答过程】（1）
解：由lga3=m，lga2=n得am=3，an=2，
因此am+2n=am⋅a2n=3×22=12．
（2）
解：∵m+n=lg32+1=lg36，∴lga3+lga2=lga6=lg36，即a=3，因此x+x−1=3，
于是x−x−12=x+x−12−4=5，
由0∴x2−x−2=x−x−1x+x−1=−35．
【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：
(1)已知2a=5b=10，求1a+1b的值；
(2)求2lg43+lg83lg32+lg92的值.
【解题思路】（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
【解答过程】(1)
解：因为2a=5b=10，所以a=lg210、b=lg510，
所以1a=lg102，1b=lg105，
所以1a+1b=lg105+lg102=lg105×2=lg1010=lg101210=2lg1010=2；
(2)
解：2lg43+lg83lg32+lg92
=2lg223+lg233lg32+lg322
=22lg23+13lg23lg32+12lg32
=43lg23⋅32lg32
=2lg3lg2⋅lg2lg3=2.
【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知3a=5，b=lg253，计算下列式子的值：
(1)27a+5b；
(2)a+1b⋅b+1a.
【解题思路】（1）根据指数的运算化简求值即可；
（2）根据对数的运算性质及换底公式求解即可.
【解答过程】(1)
由b=lg253可得25b=3，
∴27a+5b=(3a)3+(25b)12=53+312=125+3.
(2)
∵3a=5,
∴a=lg35,
∴a+1b⋅b+1a=(lg35+1lg253)⋅(lg253+1lg35)
=(lg35+lg325)⋅(lg253+lg53)=3lg35⋅32lg53=92.
【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x−2y)=lgx+lgy，求xy的值 ；
（2）已知a+a−1=7，分别求a2+a−2，a12+a−12，a32+a−32的值.
【解题思路】（1）利用对数式的运算化简后，变形即可得出xy=1或xy=4，再结合要是对数式有意义x>2y>0即可得出答案.
（2）将等式两边平方即可求处a2+a−2；先算出(a12+a−12)2的值，即可求出a12+a−12的值；利用立方和公式可得a32+a−32=(a12+a−12)[(a12)2−a12⋅a−12+(a−12)2]，由此即可求出答案.
【解答过程】（1）要使对数式有意义，必须满足{x>0y>0x−2y>0.
在此前提下，原等式可化为lg(x−2y)2=lg(xy).
从而(x−2y)2=xy，即x2−5xy+4y2=0.
因为y>0，上式等号两边同除以y2，得(xy)2−5(xy)+4=0.
解得xy=1或xy=4
当xy=1时，x−2y=−y<0，不合题意，故舍去；
当xy=4时，x−2y=2y>0，符合题意，故xy的值是4.
（2）将a+a−1=7两边平方，得a2+2a⋅a−1+a−2=49，
得a2+a−2=47；
（a12+a−12）2=a+a−1+2=9.
由a+a−1=7知a>0，从而a12+a−12>0，故a12+a−12=3；
a32+a−32=(a12+a−12)[(a12)2−a12⋅a−12+(a−12)2]
=(a12+a−12)⋅(a+a−1−1)
=3×(7−1)=18.
【题型6 对数的实际应用】
【方法点拨】
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgXn=nlg(1+p)+lgX0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（ ）（参考数据：100.25≈1.778,10−0.25≈0.562）
A．22.2%B．43.8%C．56.2%D．77.8%
【解题思路】由题意Xn=1000X0，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【解答过程】解：由题意知，lg(1000X0)=12lg(1+p)+lgX0，
即lg103+lgX0=12lg(1+p)+lgX0，
即3+lgX0=12lg(1+p)+lgX0，
所以1+p=100.25≈1.778，解得p≈0.778=77.8%．
故选：D．
【变式6-1】（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）
（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）
A．12B．11C．10D．9
【解题思路】由题意2.4(1−20%)t<0.2，应用对数的运算性质求t的范围，即可得结果.
【解答过程】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于0.2mg/mL，
令t小时后，2.4(1−20%)t<0.2，则t>lg45112=lg12lg54=2lg2+lg31−3lg2≈0.6+0.481−0.9=10.8小时，
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.
故选：B.
【变式6-2】（2022·河南安阳·高三开学考试（理））香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C=Blg21+SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍B．12倍C．102倍D．1002倍
【解题思路】根据题意解对数方程Blg21+S'10=2Blg2101即可得解．
【解答过程】由题意可得S=100W，N=10W，则在信道容量未增加时，信道容量为C1=Blg21+SN=Blg2101，当信道容量增加到原来的2倍时，C2=Blg21+S'10=2C1，则lg21012=lg21+S'10，即1+S'10=1012，解得S'=102000，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故选：C．
【变式6-3】（2022·陕西·长安一中高一期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T−Ta=12tℎT0−Ta，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta=25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.70，lg11≈1.04）（ ）
A．3.5分钟B．4.5分钟C．5.5分钟D．6.5分钟
【解题思路】根据已知条件代入公式计算可得121ℎ=1011，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【解答过程】解：由题意，Ta=25℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得75−25=121ℎ80−25，
所以121ℎ=5055=1011，
又水温从75℃降至55℃，所以55−25=12tℎ75−25，即12tℎ=3050=35，
所以12tℎ=121ℎt=1011t=35，
所以t=lg101135=lg35lg1011=lg3−lg51−lg11≈0.48−0.71−1.04=5.5，
所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.
故选：C.