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数学必修 第一册4.2.2 指数函数的图象和性质同步训练题
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这是一份数学必修 第一册4.2.2 指数函数的图象和性质同步训练题，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题43指数函数-重难点题型精讲Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题43指数函数-重难点题型精讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1．指数函数的定义
(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：
①的系数为1;
②底数a是大于0且不等于1的常数.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
4．比较幂值大小的方法
比较幂值大小的方法：
【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（ ）
A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R
【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）
【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（ ）
A．4B．8C．16D．1
【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2
【题型2 比较幂值的大小】
【方法点拨】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ）
A．0.62.5＞0.63B．1.7−13＜1.7−12
C．1.11.5＜0.72.1D．212＞313
【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝3﹣0.2，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【题型3 解指数不等式】
【方法点拨】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的
单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x的解集是（ ）
A．（﹣2，4）B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，−15）B．（−15，+∞）
C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞）D．R
【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
【题型4 指数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c
【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【题型5 指数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（12）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=116．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．
【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6xf(x)+3＞0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【题型6 指数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.
【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．
（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2=1.009）
【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
1．指数函数的定义
(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：
①的系数为1;
②底数a是大于0且不等于1的常数.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
4．比较幂值大小的方法
比较幂值大小的方法：
【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（ ）
A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R
【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）
【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（ ）
A．4B．8C．16D．1
【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2
【题型2 比较幂值的大小】
【方法点拨】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ）
A．0.62.5＞0.63B．1.7−13＜1.7−12
C．1.11.5＜0.72.1D．212＞313
【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝3﹣0.2，则（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【题型3 解指数不等式】
【方法点拨】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0
单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x的解集是（ ）
A．（﹣2，4）B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，−15）B．（−15，+∞）
C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞）D．R
【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
【题型4 指数函数的图象及应用】
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c
【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【题型5 指数型复合函数性质的应用】
【方法点拨】
借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．
【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（12）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=116．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．
【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．
【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6xf(x)+3＞0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【题型6 指数函数的实际应用】
【方法点拨】
从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.
【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．
（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2=1.009）
【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
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