人教A版 (2019)5.7 三角函数的应用课后测评

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1．函数，中各量的物理意义
在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.

2．三角函数的简单应用
(1)三角函数应用的步骤
(2) 三角函数的常见应用类型
①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.
物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.
③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.
大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解
决这些问题.
【题型1 三角函数在物体简谐运动问题中的应用】
【方法点拨】
物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
【例1】（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（ ）
A．该弹簧振子的振幅为2cm
B．该弹簧振子的振动周期为1.6s
C．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大
D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零
【解题思路】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.
【解答过程】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2cm，振动周期为2×1−0.2=1.6s，
当t=0.2s或1.0s时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：C.
【变式1-1】（2021·全国·高一专题练习）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（ ）
A． x=32sin2π3t−π2B．x=3sin2π3t
C．x=32sin3t+π2D．x=3sin2π3t+π2
【解题思路】设x=ft=Asinωt+φω>0，根据振幅确定A，根据周期确定ω，根据f0=3确定φ，即可得出结果.
【解答过程】设位移x关于时间t的函数为x=ft=Asinωt+φω>0，
根据题中条件，可得A=3，周期T=2πω=3，故ω=2πT=2π3，
由题意可知当x=0时，ft取得最大值3，故3sinφ=3，则φ=π2+2kπk∈Z，
所以x=3sin2π3t+π2+2kπ=3sin2π3t+π2.
故选：D．
【变式1-2】（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为−5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为0
【解题思路】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误.
【解答过程】对于A、B选项，由图可得知振幅为5cm，周期为2×0.7−0.3=0.8s，A、B选项错误；
对于C选项，质点在0.1s和0.5s时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；
对于D选项，质点在0.3s和0.7s时刻，质点的位移为0，则质点受到的回复力为0，所以加速度为0，D选项正确.
故选D.
【变式1-3】（2022·宁夏·高三阶段练习（理））我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为Lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2csgLt，其中g≈980cm/s2，π≈3.14，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．3.6B．3.8C．4.0D．4.5
【解题思路】由图象观察得出函数s=2csglt的最小正周期为0.4s，再利用余弦型函数的周期公式可求得l的值.
【解答过程】解：由题意，函数关系式为s=2csglt，
由图象可知，函数s=2csglt的最小正周期为T=0.4s，
T=2πgl=25，所以，l=g25π2=98025×3.142≈4.0cm，
故选：C.
【题型2 三角函数在圆周运动问题中的应用】
【方法点拨】
这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如或
的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具
体的数值代入计算即可.
【例2】（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（ ）
A．ℎ=2sinπ30t−π6+1B．ℎ=2sinπ30t−π3+1
C．ℎ=2sinπ30t+π6+1D．ℎ=2sinπ60t−π6+1
【解题思路】依据题给条件去求一个函数解析式即可解决.
【解答过程】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为
ℎ=Asinωt+φ+B(A>0，ω>0，φ<π2)，
由A+B=3−A+B=−1，可得A=2B=1，由T=2πω=60，可得ω=π30，
由t=0时h=0，可得2sinφ+1=0，则sinφ=−12，又φ<π2，则φ=−π6，
则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为ℎ=2sinπ30t−π6+1，
故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（ ）s.
A．2B．3C．5D．10
【解题思路】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果.
【解答过程】设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，
依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，
所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，
令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，
得t=15k+5，k∈Z，
因为点P第一次到达最高点，所以0所以k=0,t=5s.
故选：C.
【变式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．78米B．112米C．156米D．188米
【解题思路】角速度为2π18=π9，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
ft=44sinπ9t−π2+56=44csπ9t+56,0≤t≤18，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和gt=44csπ9t+56+44csπ9t+6+56，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【解答过程】因为角速度为2π18=π9，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
ft=44sinπ9t−π2+56=44csπ9t+56,0≤t≤18，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
gt=44csπ9t+56+44csπ9t+6+56
=112+44csπ9t+csπ9t+2π3=112+4412csπ9t+32sinπ9t
=112+44sinπ9t+π6,0≤t≤18，
因为0≤t≤18，
所以π6≤π9t+π6≤13π6，
所以−12≤sinπ9t+π6≤1，−22≤44sinπ9t+π6≤44，
所以90≤112+44sinπ9t+π6≤156，
所以gtmax=156，即他们所在的高度之和的最大值约为156，
故选：C.
【变式2-3】（2022·上海市高三期中）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（ ）
A．H=55cs(π15t−π2)+650≤t≤30
B．H=55sin(π15t−π2)+650≤t≤30
C．H=−55cs(π10t+π2)+650≤t≤30
D．H=−55sin(π10t+π2)+650≤t≤30
【解题思路】根据题意，设Ht=Asin(ωt+φ)+B0≤t≤30，进而结合题意求解即可.
【解答过程】解：根据题意设，Ht=Asin(ωt+φ)+B0≤t≤30，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110m，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10 m，
所以A+B=120−A+B=10，解得A=55,B=65，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，
所以，T=2πω=30，解得ω=π15，
因为t=0时，H0=10，故10=55sinφ+65，即sinφ=−1，解得φ=−π2+2kπ,k∈Z.
所以，Ht=55sin(π15t−π2)+650≤t≤30
故选：B.
【题型3 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】
【方法点拨】
大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这
些问题.
【例3】（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+B，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25°CB．26°CC．27°CD．28°C
【解题思路】由函数图像分析：由图像的最高点和=最低点求A,B，由周期求ω，根据特殊点求φ,得到函数解析式，把x=12带入即可求出中午12时天气的温度.
【解答过程】对于函数y=Asinωx+φ+B，由图像可知：
−A+B=10A+B=30解得：A=10B=20；
从x=6到x=14为函数的半个周期，即T2=8，
所以T=16，即2πω=16，解得：ω=π8；
所以y=10sinπ8x+φ+20
又有图像经过14,30，
所以10sin(π8×14+φ)+20=30，解得：φ=3π4+2kπk∈Z
所以y=10sinπ8x+3π4+20，
当x=12时，y=10sinπ8×12+3π4+20=52+20≈27.
故选：C.
【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+B，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25∘CB．26∘CC．27∘CD．28∘C
【解题思路】根据函数的图象求出y=10sin(π8x+3π4)+20，令x=12即得解.
【解答过程】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，−A+B=10，所以A=10，B=20.
∵T2=14−6，∴T=16. ∵T=2πω，∴ω=π8,
∴y=10sin(π8x+φ)+20.
∵ 图象经过点(14,30)，∴30=10sin(π8×14+φ)+20，
∴sin(π8×14+φ)=1，
∴φ可以取34π，∴y=10sin(π8x+3π4)+20.
当x=12时，y=10sin(π8×12+3π4)+20=10×22+20≈27.07.
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acsπ6x−6（x=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28∘C，12月份的平均气温最低，为18∘C，则该市8月份的平均气温为（ ）
A．25.5∘CB．22.5∘CC．20.5∘CD．13∘C
【解题思路】根据已知条件列方程可求得a和A的值，可得函数解析式，将x=8代入即可求解.
【解答过程】由题意可得：
f6=a+Acsπ66−6=28f12=a+Acsπ612−6=18 即a+A=28a−A=18，解得：a=23A=5，
所以fx=23+5csπ6x−6，
所以该市8月份的平均气温为f8=23+5csπ68−6=23+5csπ3=25.5∘C，
故选：A.
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y（单位：∘C）与月份x（单位：月）的关系可近似地用函数y=Asinπ6x−3+a（x=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘C，12月份的月均温为17∘C，则10月份的月均温为（ ）
A．20∘CB．20.5∘CC．21∘CD．21.5∘C
【解题思路】由题意得出关于A、a的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令x=10可得结果.
【解答过程】由题意可得Asinπ2+a=A+a=29Asin3π2+a=a−A=17，解得A=6a=23，
所以，函数解析式为y=6sinπ6x−3+23，
在函数解析式中，令x=10，可得y=6sin7π6+23=6×−12+23=20.
因此，10月份的月均温为20∘C.
故选：A.
【题型4 用拟合法建立三角函数模型】
【方法点拨】
数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三
角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现
符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m时就是安全的．
(1)若有以下几个函数模型：y=at+b，y=Asinωt+ϕ+K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【解题思路】
(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型y=Asinωt+ϕ+K更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为y=3sinπ6t+10(0⩽t⩽24).
(2) 根据题意已知可求出水深y范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.
【解答过程】（1）
y=Asinωt+ϕ+K函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+ϕ+K的图像.
从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+ϕ+K在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，
∴函数的最小正周期为12，因此2πω=12,ω=π6.
又∵当t=0时，y=10；当t=3时ymax=13，
∴K=10,A=13−10=3,ϕ=0，
∴所求函数的表达式为y=3sinπ6t+10(0⩽t⩽24).
（2）
由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sinπ6t+10⩾11.5,
可得sinπ6t⩾12,∴2kπ+π6⩽π6t⩽2kπ+5π6(k∈Z),
∴12k+1⩽t⩽12k+5(k∈Z)
取k=0 ，则1≤t≤5 ；取k=1，则13≤t≤17；
取k=2时，25≤t≤29（不符合题意，舍去).
∴ 当1≤t≤5与13≤t≤17时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤t≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．
【解题思路】（1）根据数据,画出散点图、连线，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】（1）
画出散点图，连线如下图所示：
设y=Asinωt+b，根据最大值13，最小值7，可列方程为：A+b=13−A+b=7⇒A=3b=10，
再由T=2πω=12，得ω=π6，
y=3sinπ6t+100≤t≤24；
（2）
3sinπ6t+10−8≥3.5⇒sinπ6t≥12．
∵0≤t≤24，
∴0≤π6t≤4π，
∴π6≤π6t≤5π6，或π6+2π≤π6t≤5π6+2π
解得1≤t≤5，或13≤t≤17，
所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．
【变式4-2】（2021·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y=at+b，y=Asinωt+φ+b，y=Acsωt+φ中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【解题思路】（1）利用表格数据直接描点即可；
（2）根据散点图可确定应选择y=Asinωt+φ+b，结合数据计算可得模型解析式；
（3）令y=25sinπ6t+1≥0.8，可解得t的范围，进而确定结果.
【解答过程】(1)
散点图如下，
(2)
由散点图可知：应选择y=Asinωt+φ+b，
则A=1.4−0.62=25，b=1，T=2πω=12，即ω=π6，
将0,1代入可得：1=25sinφ+1，解得：φ=0，
∴该模型的解析式为：y=25sinπ6t+10≤t≤24.
(3)
令y=25sinπ6t+1≥0.8，则sinπ6t≥−12，
∵0≤t≤24，∴0≤π6t≤4π，
∴0≤π6t≤7π6或11π6≤π6t≤19π6或23π6≤π6t≤4π，
解得：0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，∴应在白天11点到19点之间训练.
【变式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：
(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acs(ωt+φ)+b，③y=−Asinωt+b (A>0,ω>0,−π<φ<0)．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．
【解题思路】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②y=Acs(ωt+φ)+b做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质
求出该拟合模型的函数解析式即可．
（2）由y=0.9sin(π6t)+1.5，令y≥1.05，得sin(π6t)≥−12，从而解出12k−1≤t≤12k+7，即可求出结果．
【解答过程】（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②y=Acs(ωt+φ)+b做为函数模型，
∴A=2.4−0.62=0.9，b=2.4+0.62=1.5，
∵T=2πω=12，∴ω=π6，∴y=0.9cs(π6t+φ)+1.5，
又∵函数y＝0.9cs（π6t+φ）+1.5的图象过点3,2.4，
∴2.4=0.9cs(π6×3+φ)+1.5，
∴csπ2+φ=1，∴sinφ=−1，
又∵−π<φ<0，∴φ=−π2，
∴y=0.9cs(π6t−π2)+1.5=0.9sin(π6t)+1.5，
（2）由（1）知：y=0.9sin(π6t)+1.5
令y≥1.05，即0.9sin(π6t)+1.5≥1.05，∴sinπ6t≥−12，
∴2kπ−π6≤π6t≤2kπ+7π6(k∈Z)，
∴12k−1≤t≤12k+7，
又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． th
0
3
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12
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7
10
13
9.9
7
10
t（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.1
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.4
1.0
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
2.4
1.5
0.6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5