高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系优秀综合训练题

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1．子集的概念
2．真子集的概念
3．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
4．空集的概念

【题型1 子集、真子集的概念】
【方法点拨】
①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
【例1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【变式1-1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．7个
【变式1-2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（ ）
A．A62B．C62C．62D．26
【变式1-3】（2021秋•尚志市校级月考）已知集合A={x∈N|86−x∈N}，则集合A的所有非空子集．的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【题型2 集合的相等与空集】
【方法点拨】
①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．
②利用空集的定义去解题.
【例2】（2021秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（ ）
A．（1，2022）B．{（x，y）|x＝2022，y＝1}
C．{x|x2﹣2023x+2022＝0}D．{（2022，1）}
【变式2-1】（2021秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2﹣1＝0}D．{x|x＞4}
【变式2-2】（2021秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【变式2-3】（2021秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【题型3 集合间关系的判断】
【方法点拨】
①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
【例3】（2022春•麒麟区校级期中）已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=23x−1，x∈Z}，则集合M，N的关系是（ ）
A．M＝NB．M⊂NC．M⊃ND．M∩N＝ϕ
【变式3-1】（2022•河南模拟）已知集合M={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，N={x|x=kπ2+π4，k∈Z}，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆NC．M＝ND．M∩N＝∅
【变式3-2】（2022•广西模拟）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（ ）
A．A＝BB．A⊆BC．B⊆AD．A∩B＝∅
【变式3-3】（2022•兴庆区校级三模）下面五个式子中：
①a⊆{a}；
②∅⊆{a}；
③{a}∈{a，b}；
④{a}⊆{a}；
⑤a∈{b，c，a}．
正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【题型4 有限集合子集、真子集的确定】
【方法点拨】
①确定所求集合，是子集还是真子集．
②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．
③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．
【例4】（2021秋•兰山区校级期中）满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．15个
【变式4-1】（2021秋•渝中区校级月考）已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式4-2】（2021秋•开福区校级期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【变式4-3】（2021•青岛开学）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（ ）
A．1B．2C．3D．6
【题型5 利用集合间的关系求参数】
【方法点拨】
①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
【例5】（2021•葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{3}C．{1，﹣1}D．{3，−3}
【变式5-1】（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．13或−12B．−13或12C．13或−12或0D．−13或12或0
【变式5-2】（2021•佛山模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【变式5-3】（2021秋•眉山期末）设集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤0}B．{a|0＜a≤2019}C．{a|a≥2019}D．{a|0＜a＜2019}
【题型6 集合间关系中的新定义问题】
【方法点拨】
根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.
【例6】（2021•衡水模拟）定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【变式6-1】（2021秋•和平区校级月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（ ）
A．31B．63C．32D．64
【变式6-2】（2021秋•西乡塘区校级月考）定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【变式6-3】（2021秋•同安区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1B．211﹣1C．213﹣1D．214﹣1