第二十四章 圆（单元测试）原卷版+解析版

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二十四章 圆（单元测试）一、单选题（每题3分，共30分）1．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（     ）A． B． C． D．【详解】解：∵，∴OA=，∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，∴，∴，∵点C为x轴负半轴上的点，∴C，故选：C．2．如图，点在上，，则（    ）A． B． C． D．【详解】解： 点在上，， 故选：3．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（    ）A． B． C． D．【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，∵OC⊥AB，由垂径定理可知，∴AC=CB=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理可知：∴，∴，故选：B．4．如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ）A．60° B．65° C．70° D．75°【详解】解：连接CD，∵AD是的直径，∴．∵，∴．故选：C．5．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　）A．2 B． C． D．4【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，∴ AE=DE=2， ∴∠COD=2∠ABC=45°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴OE=ED=2， ∴， ∵直线l切⊙O于点C， ∴BC⊥CF， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴CF=OC， ∵， ∴， 故选：B．6．如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（      ）A． B． C． D．【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），∴直线BC∥y轴，∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC外心的纵坐标为1，设△ABC的外心为P（a，1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），故选D．7．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6【详解】解：与，，分别相切于点，，，，，的周长为14，故选：．8．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（    ）A．2mm B． C． D．4mm【详解】连接CF与AD交于点O，∵为正六边形，∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形的边长为4mm，故选：D．9．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（     ）米.A． B．C． D．【详解】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走观赏路少走米，故选D．10．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）A． B． C． D．【详解】过作于，，，，弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．故选A．二、填空题（每题4分，共20分）11．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接．为的直径，，，为的切线，，，，．故答案为：35．12．如图，是的切线，是切点．若，则 ．【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．13．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．【详解】解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，故答案为：.14．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是 度．【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本题答案为：120．15．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）【详解】解：连接BD交AC于点G，∵四边形是菱形，∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，∵，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，∴BD＝2，∴BG＝，∴，∴AC＝，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，故答案为：．三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）．16．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，，∴，故答案是：．17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【详解】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，AC＝BD．18．如图所示，是⊙的一条弦，，垂足为，交⊙于点，点在⊙上．（）若，求的度数．（）若，，求的长．【详解】解：（1），，．（2）∵，，且，∴，∵，，．19．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；(2)若，，求的长．【详解】（1）证明：连接．∵为切线，∴，又∵，∴，，且，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．（2）设半径为；则：，得；在直角三角形中，，，解得20．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)求证：；(3)若，，求的长．【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：线段是的直径，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．21．已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在上，求证：．②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．【详解】（1）如图1中，连接．∵，∴，∵，∴，∵D是的中点，∴，∵，∴．（2）①过B作于点H，则．又∵于点E，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵四边形是的内接四边形，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．②连接并延长与交于点I，则点D在上．如图：过B作于点H，则，又∵于点E，∴，∴，又∵四边形是的内接四边形，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，又，，在和中，，∴，∴，∴，∵是直径，，∴垂直平分，∴，∴，∴当点D运动到点I时取得最大值，此时．22．如图，中，，AC和BC分别与相切于E，F两点，AB经过上的点M，且．(1)求证：AB是的切线；(2)若，求的半径．【详解】（1）证明：连接OA，OE，OM． AC切⊙O于点E，OE是⊙O的半径∴OE⊥AC∴∠AEO=90°          在△AMO和△AEO中∴△AMO≌△AEO(SSS)  ∴∠AMO=∠AEO=90°   ∴OM⊥AB∵OM是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线．（2）解：连接OF．设⊙O的半径为r．  ∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC，∴∠OFC=90°，又因为∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE，∴四边形OFCE是正方形，∴CF=CE=OE=r，∵AB、BC、AC都与⊙O相切，∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r，在Rt△ABC中，，∵BM+AM=AB，∴6－r+8－r=10 ，∴  r=2     ∴⊙O的半径为2．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，圆的切线的证明，勾股定理，掌握定理与性质是解题的关键．23．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则．(1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．(2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积(3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积．【详解】（1）解：如图2，∵为正方形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．（2）如图3，∵为正六边形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为．（3）如图4，∵为正多边形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．∵四边形面积为，∴正多边形的面积为．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．