第21章 一元二次方程 人教版九年级数学上册综合素质评价(含解析) 试卷

第二十一章  一元二次方程综合素质评价

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列方程中，不是一元二次方程的是(　　)

A．4－7x2＝0       B.x2＋3x－4＝0

C．(x－2)(x＋2)＝0  D.－x＋2＝0

2．【2023·深圳龙华区期中】关于x的一元二次方程5x2＋2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)

A. 5，－2，－1   B．5，2，－1

C．－5，2，1    D．－5，－2，－1

3．如果关于x的方程x2－5x＋m＋2＝0有一个根为0，那么m的值等于(　　)

A．0  B．2  C．－2  D．5

4．【2023·广州番禺区桥城中学期末】用配方法解方程x2＋2x－3＝0时，配方后正确的是(　　)

A．(x＋2)2＝7  B．(x＋2)2＝5

C．(x＋1)2＝4  D．(x＋1)2＝2

5．【2022·东莞大朗启明星初级中学期中】下列方程中，两根分别为3和4的方程是(　　)

A．x2－x－12＝0  B．x2＋7x＋12＝0

C．x2＋x－12＝0  D．x2－7x＋12＝0

6．【2023·佛山南海外国语学校期中】关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx－m的图象不经过(　　)

A．第一象限   B．第二象限  

C．第三象限   D．第四象限

7．【母题：教材P22习题T7】某钢铁厂七月份产钢50吨，九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，若平均每月产钢量的增长率相同且为x，则根据题意，列出的方程正确的是(　　)

A. 50(1＋x)2＝50＋12  

B．50(1＋x)2－50(1＋x)＝12

C. 50(1＋2x)－50(1＋x)＝12  

D．12＋12(1＋x)＋12(1＋x)2＝50＋12

8．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2＋ x1＋x2＝3，则k的值为(　　)

A．－1  B．3  C．－1或3  D．－1±

9.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是(　　)

A．36   B．26   C．24   D．10

10．若关于x的不等式组的解集为x≤－2，关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有(　　)

A．3个   B．4个   C．5个   D．6个

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11．方程x2＝4x的解为________．

12．【2022·深圳】已知一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．

13．已知t2－3t＋1＝0，则＋t＝________．

14．【2022·广州广东实验中学荔湾学校月考】某商店准备进一批季节性小家电，单价为40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2 000元，则定价应为多少元？若设涨价x元，可列方程为____________．

15．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a——－2ab，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如11＝12－2×1×1＝－1，嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x (－3)＝－5，其中x的值为________．

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．

16．解方程：

(1)x2－4x＋1＝0；

(2)(x－2)2＋2x(x－2)＝0.

17．【2022·梅州丰顺县石江中学月考】已知关于x的方程(a2－9)x2＋(a－3)x＋3＝0.

(1)当a为何值时，方程是一元二次方程；

(2)当a为何值时，方程是一元一次方程．

18．【2023·江门台山市学业初级中学期中】已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0.

(1)若方程有一个根是x＝1，求m的值；

(2)求m的取值范围，使得方程有两个实数根．

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19．【2023·广州白云实验学校期中】如图，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条小路，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为3：2，余下部分作为草地，草地面积为486 m2，求两条小路的宽．

20．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．

(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

(2)若(AB－3)(AD－3)＝m，求m的值．

21．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过x度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．

(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试写出超过部分应交的电费．(用含x的代数式表示)

(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的x度是多少．

五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22．【2022·茂名信宜市第二中学期中】某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)y与x之间的函数解析式为________．

(2)当每千克干果降价1元时，超市获利多少元？

(3)若超市要想获利2 210元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？

23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．

 (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4cm?

(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．

答案

一、1.D　2.B

3．C　【点拨】由题意得02－5×0＋m＋2＝0，解得m＝－2.

4．C 　【点拨】 移项，得x2＋2x＝3，方程两边同时加1，得x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4.

5．D　【点拨】以3, 4为根的一元二次方程是(x－3)(x－4)＝0，整理得x2－7x＋12＝0.

6．C 　【点拨】∵一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，∴m≠0，且Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×m×(－1)＜0，解得m＜－1，由一次函数y＝mx－m可得k＝m＜0，b＝－m＞0，∴一次函数y＝mx－m的图象过第一、二、四象限，不过第三象限．

7．B　【点拨】∵某钢铁厂七月份产钢50吨，平均每月产钢量的增长率相同且为x，∴八月份的钢产量为50(1＋x)吨，九月份的钢产量为50(1＋x)2吨．

∵九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨，

∴50(1＋x)2－50(1＋x)＝12.

8．A　【点拨】关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，则a＝1，b＝2k－1，c＝k2－1.∵有两个实数根x1，x2，

∴Δ＝b2－4ac≥0，即(2k－1)2－4×1×(k2－1)≥0，

整理得4k≤5，∴k≤.

∵x1x2＋x1＋x2＝3，且x1＋x2＝－＝1－2k，x1x2＝＝k2－1，∴k2－1＋1－2k＝3，即k2－2k－3＝0，

∴k1＝－1，k2＝3.∵k≤，∴k＝－1.

9．C　【点拨】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4t步，甲斜向北偏东方向走了(6t－10)步．依题意得102＋(4t)2＝(6t－10)2，解得t1＝6，t2＝0(不合题意，舍去)，所以4t＝4×6＝24.故乙走的步数是24.

10．B　【点拨】解不等式组得

∵此不等式组的解集是x≤－2，∴a＋1＞－2，∴a＞－3.∵关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝9－4a＞0且a≠0，∴a<且a≠0，

∴－3<a<且a≠0，∴符合条件的整数a为－2，－1，1，2，共4个．

二、11.x＝0或x＝4

12．9　【点拨】根据题意，得Δ＝62－4m＝0，解得m＝9.

13．3　【点拨】∵t2－3t＋1＝0，∴t≠0，等式两边同时除以t，得t－3＋＝0，∴t＋＝3.

14．(12＋x)(180－10x)＝2 000　【点拨】若涨价x元，则销售量减少10x个，实际销售量为(180－10x)个，实际销售价为(52＋x)元，则所获利润为(52＋x－40)(180－10x)元，由题意得(12＋x)(180－10x)＝2 000.

15．－1 或－5　【点拨】∵x (－3)＝－5，

∴x2－2x×(－3)＋5＝0 ，

∴x2＋6x＋5＝0 ，解得x＝－1 或x＝－5.

三、16.【解】(1)∵a＝1，b＝－4，c＝1，

∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，

∴x＝，解得x1＝2＋，x2＝2－.

(2)方程可转化为(x－2)(x－2＋2x)＝0，

则x－2＝0或3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝.

17. 【解】(1)∵关于x的方程(a2－9)x2＋(a－3)x＋3＝0是一元二次方程，∴a2－9≠0，解得a≠±3.

∴当a≠±3时，方程是一元二次方程．

(2)∵关于x的方程(a2－9)x2＋(a－3)x＋3＝0是一元一次方程，

∴a2－9＝0且a－3≠0，解得a＝－3.

∴当a＝－3时，方程是一元一次方程．

18．【解】(1)把x＝1代入x2＋4x＋m－1＝0，得1＋4＋m－1＝0，解得m＝－4.

(2)Δ＝42－4(m－1)＝16－4m＋4＝20－4m，

∵方程有两个实数根，∴20－4m≥0，解得m≤5.

∴当m≤5时，方程有两个实数根．

四、19.【解】∵竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为3：2，∴可设竖直方向的小路宽为3x m，水平方向的小路宽为2x m，由题意得(30－3x)(20－2x)＝486, 解得x1＝1，x2＝19.

∵当x＝19时，20－2x＜0，30－3x＜0，不符合题意舍去，∴x＝1，∴2x＝2，3x＝3.

答：竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别是3 m、2 m.

20．【解】(1)当AB＝AD时，四边形ABCD为菱形．

∵▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根，∴该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－m)2－4＝0，

即m2－2m＋1＝0，∴m＝1，

∴当m＝1时，四边形ABCD为菱形．

(2)∵▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根，

∴AB＋AD＝m，AB·AD＝－.

∵(AB－3)(AD－3)＝m，

∴AB·AD＋9－3(AB＋AD)＝m，

即－＋9－3m＝m，∴m＝.

21．【解】(1)∵规定用电x度，

∴用电90度超过了规定度数(90－x)度．

∵超过部分按每度元交电费，

∴超过部分应交的电费为x(90－x)元．

(2)易知2月份用电量超过x度，

依题意得x(80－x)＝25－10.

整理得x2－80x＋1 500＝0.解得x1＝30，x2＝50.

根据题意得3月份用电45度只交电费10元，

∴电厂规定的x≥45，∴x＝30不合题意，舍去．∴x＝50.

答：电厂规定的x度为50度．

五、22.【解】(1)y＝10x＋100(0<x<20)

【点拨】设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，

∴解得

∴y与x之间的函数解析式为y＝10x＋100(0＜x＜20)．

(2)(60－1－40)×(10×1＋100)＝2 090(元)．

答：当每千克干果降价1元时，超市获利2 090元．

(3)依题意得(60－x－40)(10x＋100)＝2 210，

整理得x2－10x＋21＝0，解得x1＝3，x2＝7.

∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝7.

答：这种干果每千克应降价7元．

23．【解】(1)设经过t s后，PQ＝4 cm.

由题意得AP＝t cm，BQ＝2t cm，则BP＝(6－t)cm.

在Rt△PBQ中，BP2＋BQ2＝PQ2，

当PQ＝4  cm时，(6－t)2＋(2t)2＝(4 )2，

整理得5t2－12t＋4＝0，解得t1＝，t2＝2，

∴s后或2 s后，PQ的长度等于4  cm.

(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．

理由如下：设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分．依题意得×6×8＝(6－y)·2y×2，

整理得y2－6y＋12＝0.∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．