


第21章 一元二次方程 人教版九年级数学上册综合素质评价(含解析) 试卷
展开第二十一章 一元二次方程综合素质评价
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列方程中,不是一元二次方程的是( )
A.4-7x2=0 B.x2+3x-4=0
C.(x-2)(x+2)=0 D.-x+2=0
2.【2023·深圳龙华区期中】关于x的一元二次方程5x2+2x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 5,-2,-1 B.5,2,-1
C.-5,2,1 D.-5,-2,-1
3.如果关于x的方程x2-5x+m+2=0有一个根为0,那么m的值等于( )
A.0 B.2 C.-2 D.5
4.【2023·广州番禺区桥城中学期末】用配方法解方程x2+2x-3=0时,配方后正确的是( )
A.(x+2)2=7 B.(x+2)2=5
C.(x+1)2=4 D.(x+1)2=2
5.【2022·东莞大朗启明星初级中学期中】下列方程中,两根分别为3和4的方程是( )
A.x2-x-12=0 B.x2+7x+12=0
C.x2+x-12=0 D.x2-7x+12=0
6.【2023·佛山南海外国语学校期中】关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=mx-m的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.【母题:教材P22习题T7】某钢铁厂七月份产钢50吨,九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨,若平均每月产钢量的增长率相同且为x,则根据题意,列出的方程正确的是( )
A. 50(1+x)2=50+12
B.50(1+x)2-50(1+x)=12
C. 50(1+2x)-50(1+x)=12
D.12+12(1+x)+12(1+x)2=50+12
8.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,若x1,x2满足x1x2+ x1+x2=3,则k的值为( )
A.-1 B.3 C.-1或3 D.-1±
9.《九章算术》中有一题:“今有二人同立,甲行率六,乙行率四,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲、乙各行几何?”大意是说:“甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为6,乙的速度为4,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇,甲、乙各走了多少步?”请问乙走的步数是( )
A.36 B.26 C.24 D.10
10.若关于x的不等式组的解集为x≤-2,关于x的一元二次方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数根,则符合条件的整数a有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.方程x2=4x的解为________.
12.【2022·深圳】已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为________.
13.已知t2-3t+1=0,则+t=________.
14.【2022·广州广东实验中学荔湾学校月考】某商店准备进一批季节性小家电,单价为40元,经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每上涨1元,销售量减少10个,商店若准备获利2 000元,则定价应为多少元?若设涨价x元,可列方程为____________.
15.定义新运算:对于任意实数a,b,都有a b=a——-2ab,其中等号右边是通常的减法及乘法运算.如11=12-2×1×1=-1,嘉嘉写了一个满足以上运算的等式:x (-3)=-5,其中x的值为________.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
16.解方程:
(1)x2-4x+1=0;
(2)(x-2)2+2x(x-2)=0.
17.【2022·梅州丰顺县石江中学月考】已知关于x的方程(a2-9)x2+(a-3)x+3=0.
(1)当a为何值时,方程是一元二次方程;
(2)当a为何值时,方程是一元一次方程.
18.【2023·江门台山市学业初级中学期中】已知关于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0.
(1)若方程有一个根是x=1,求m的值;
(2)求m的取值范围,使得方程有两个实数根.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.【2023·广州白云实验学校期中】如图,在宽为20 m,长为30 m的矩形地面上修建两条小路,竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为3:2,余下部分作为草地,草地面积为486 m2,求两条小路的宽.
20.已知▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)若(AB-3)(AD-3)=m,求m的值.
21.某电厂规定,该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度,那么这个月这户居民只交10元电费;如果超过x度,这个月除了交10元电费外,超过部分按每度元交费.
(1)该厂某户居民1月份用电90度,超过了x度的规定,试写出超过部分应交的电费.(用含x的代数式表示)
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况,请根据其中的数据,求电厂规定的x度是多少.
月份 | 用电量/度 | 交电费总数/元 |
2月 | 80 | 25 |
3月 | 45 | 10 |
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分.
22.【2022·茂名信宜市第二中学期中】某超市以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)y与x之间的函数解析式为________.
(2)当每千克干果降价1元时,超市获利多少元?
(3)若超市要想获利2 210元,且让顾客获得更大实惠,这种干果每千克应降价多少元?
23.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于4cm?
(2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能,说明理由.
答案
一、1.D 2.B
3.C 【点拨】由题意得02-5×0+m+2=0,解得m=-2.
4.C 【点拨】 移项,得x2+2x=3,方程两边同时加1,得x2+2x+1=3+1,即(x+1)2=4.
5.D 【点拨】以3, 4为根的一元二次方程是(x-3)(x-4)=0,整理得x2-7x+12=0.
6.C 【点拨】∵一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,∴m≠0,且Δ=b2-4ac=(-2)2-4×m×(-1)<0,解得m<-1,由一次函数y=mx-m可得k=m<0,b=-m>0,∴一次函数y=mx-m的图象过第一、二、四象限,不过第三象限.
7.B 【点拨】∵某钢铁厂七月份产钢50吨,平均每月产钢量的增长率相同且为x,∴八月份的钢产量为50(1+x)吨,九月份的钢产量为50(1+x)2吨.
∵九月份的钢产量比八月份的钢产量增加12吨,
∴50(1+x)2-50(1+x)=12.
8.A 【点拨】关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0,则a=1,b=2k-1,c=k2-1.∵有两个实数根x1,x2,
∴Δ=b2-4ac≥0,即(2k-1)2-4×1×(k2-1)≥0,
整理得4k≤5,∴k≤.
∵x1x2+x1+x2=3,且x1+x2=-=1-2k,x1x2==k2-1,∴k2-1+1-2k=3,即k2-2k-3=0,
∴k1=-1,k2=3.∵k≤,∴k=-1.
9.C 【点拨】设甲、乙两人相遇的时间为t,则乙走了4t步,甲斜向北偏东方向走了(6t-10)步.依题意得102+(4t)2=(6t-10)2,解得t1=6,t2=0(不合题意,舍去),所以4t=4×6=24.故乙走的步数是24.
10.B 【点拨】解不等式组得
∵此不等式组的解集是x≤-2,∴a+1>-2,∴a>-3.∵关于x的一元二次方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=9-4a>0且a≠0,∴a<且a≠0,
∴-3<a<且a≠0,∴符合条件的整数a为-2,-1,1,2,共4个.
二、11.x=0或x=4
12.9 【点拨】根据题意,得Δ=62-4m=0,解得m=9.
13.3 【点拨】∵t2-3t+1=0,∴t≠0,等式两边同时除以t,得t-3+=0,∴t+=3.
14.(12+x)(180-10x)=2 000 【点拨】若涨价x元,则销售量减少10x个,实际销售量为(180-10x)个,实际销售价为(52+x)元,则所获利润为(52+x-40)(180-10x)元,由题意得(12+x)(180-10x)=2 000.
15.-1 或-5 【点拨】∵x (-3)=-5,
∴x2-2x×(-3)+5=0 ,
∴x2+6x+5=0 ,解得x=-1 或x=-5.
三、16.【解】(1)∵a=1,b=-4,c=1,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0,
∴x=,解得x1=2+,x2=2-.
(2)方程可转化为(x-2)(x-2+2x)=0,
则x-2=0或3x-2=0,解得x1=2,x2=.
17. 【解】(1)∵关于x的方程(a2-9)x2+(a-3)x+3=0是一元二次方程,∴a2-9≠0,解得a≠±3.
∴当a≠±3时,方程是一元二次方程.
(2)∵关于x的方程(a2-9)x2+(a-3)x+3=0是一元一次方程,
∴a2-9=0且a-3≠0,解得a=-3.
∴当a=-3时,方程是一元一次方程.
18.【解】(1)把x=1代入x2+4x+m-1=0,得1+4+m-1=0,解得m=-4.
(2)Δ=42-4(m-1)=16-4m+4=20-4m,
∵方程有两个实数根,∴20-4m≥0,解得m≤5.
∴当m≤5时,方程有两个实数根.
四、19.【解】∵竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为3:2,∴可设竖直方向的小路宽为3x m,水平方向的小路宽为2x m,由题意得(30-3x)(20-2x)=486, 解得x1=1,x2=19.
∵当x=19时,20-2x<0,30-3x<0,不符合题意舍去,∴x=1,∴2x=2,3x=3.
答:竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别是3 m、2 m.
20.【解】(1)当AB=AD时,四边形ABCD为菱形.
∵▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根,∴该方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-m)2-4=0,
即m2-2m+1=0,∴m=1,
∴当m=1时,四边形ABCD为菱形.
(2)∵▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根,
∴AB+AD=m,AB·AD=-.
∵(AB-3)(AD-3)=m,
∴AB·AD+9-3(AB+AD)=m,
即-+9-3m=m,∴m=.
21.【解】(1)∵规定用电x度,
∴用电90度超过了规定度数(90-x)度.
∵超过部分按每度元交电费,
∴超过部分应交的电费为x(90-x)元.
(2)易知2月份用电量超过x度,
依题意得x(80-x)=25-10.
整理得x2-80x+1 500=0.解得x1=30,x2=50.
根据题意得3月份用电45度只交电费10元,
∴电厂规定的x≥45,∴x=30不合题意,舍去.∴x=50.
答:电厂规定的x度为50度.
五、22.【解】(1)y=10x+100(0<x<20)
【点拨】设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y=10x+100(0<x<20).
(2)(60-1-40)×(10×1+100)=2 090(元).
答:当每千克干果降价1元时,超市获利2 090元.
(3)依题意得(60-x-40)(10x+100)=2 210,
整理得x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7.
∵要让顾客获得更大实惠,∴x=7.
答:这种干果每千克应降价7元.
23.【解】(1)设经过t s后,PQ=4 cm.
由题意得AP=t cm,BQ=2t cm,则BP=(6-t)cm.
在Rt△PBQ中,BP2+BQ2=PQ2,
当PQ=4 cm时,(6-t)2+(2t)2=(4 )2,
整理得5t2-12t+4=0,解得t1=,t2=2,
∴s后或2 s后,PQ的长度等于4 cm.
(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.
理由如下:设经过y s,线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分.依题意得×6×8=(6-y)·2y×2,
整理得y2-6y+12=0.∵Δ=b2-4ac=36-4×12=-12<0,∴此方程无实数根,∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.