人教版九年级上册24.1.1 圆优秀练习题

这是一份人教版九年级上册24.1.1 圆优秀练习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法，正确的有( ) ①圆绕圆心旋转361°，不与原来的圆重合；②顶点在圆心的角是圆心角；③等弧对等弦；④同圆的两条弦相等，它们所对的弧也相等；⑤在等圆中，圆心角不相等，所对的弦也不相等．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A. OC/​/BDB. AD⊥OC
C. △CEF≌△BEDD. AF=FD
3.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50∘，则∠D=( )
A. 20∘B. 40∘C. 50∘D. 80∘
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100∘，则∠ABC的大小为( )
A. 80∘B. 130∘C. 50∘D. 50∘或130∘
5.如图，AB是⊙O直径，∠AOC=60°，则∠D为( )
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
6.如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB=8，CE=2，则⊙O的半径为( )
A. 2 5B. 5C. 3D. 5
7.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°
8.如图，AB是⊙O直径，点C，D将AB分成相等的三段弧，点P在AC上．已知点Q在AB上且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是( )
A. APB. PCC. CDD. DB
9.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为( )
A. 22°B. 32°C. 34°D. 44°
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，∠AOD的大小为( )
A. 130°
B. 100°
C. 120°
D. 110°
11.如图，在⊙O中，弦AB=2 2、点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙O的直径为( )
A. 2
B. 3 2
C. 3 22
D. 4
12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF=65°，则∠AOD为( )
A. 70°B. 65°C. 50°D. 45°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6，BD=5 2，则BC的长为 ．
14.已知下列五个命题：①圆内接等腰三角形是等边三角形；②圆内接平行四边形是矩形；③圆内接矩形是正方形；④圆内接菱形是正方形；⑤每一个圆都有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都有外接圆．其中正确的命题有 (填序号)．
15.如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH= 3，∠ABC=120°，则AB+BC的值为 ．
16.已知⊙O的半径为10，弦AB/​/CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为____．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与⊙O交于点D．
(1)求证：BD=DC；
(2)若∠CAB=30°，BC=4，求∠COD的度数．
18.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD/​/BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
(1)求证：点D为AC的中点；
(2)若CB=6，AB=10，求DF的长；
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
19.(本小题8分)
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)在图1中，BC为⊙O的弦，点A在⊙O上，点D在BC上，∠A=42°，画一个内角为48°的直角三角形；
(2)在图2中，BC为⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．
20.(本小题8分)
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)在图1中，BC为⊙O的弦，画一条与BC长度相等的弦；
(2)在图2中，AB为⊙O的直径，弦CD // AB，在AB上画点E，使四边形ACDE为平行四边形．
21.(本小题8分)
请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)在图1中，AB，CD是⊙O的弦，AB // CD，分别画AB，CD的中点M，N；
(2)在图2中，D是⊙O中AC⌢的中点，B是⊙O上一点，过点B画弦BI，使BI // AC．
22.(本小题8分)
请用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)在图1中，AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；
(2)在图2中，AB为所在圆的直径，弦CD // AB，作出该圆的圆心O．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
24.(本小题8分)
如图，在圆内接四边形ACBD中，DC=DB，M为CA延长线上的一点．求证：AD平分∠BAM．
25.(本小题8分)
如图，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，连接BO，CO．
(1)求∠BOC的度数；
(2)若AB=6，求⊙O的半径．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB=90°，∠OBC=∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OC/​/BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF=FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立．
故选C．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，以及角的平分线．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据圆周角定理可进行求解．
本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
【解答】
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90∘ ，
∵ ∠BAC=50∘ ，
∴ ∠ABC=90∘−∠BAC=40∘ ，
∵ AC=AC ，
∴ ∠D=∠ABC=40∘ ；
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠ADC的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求解．
【解答】
解：∵∠AOC与∠ADC都对AC，∠AOC=100∘，
∴∠ADC=12∠AOC=50°，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=130°，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据圆周角定理得出∠D=
∠AOC解答．
【解答】解：∵
对的圆心角是∠AOC，对的圆周角是∠D，∴∠D=
∠AOC=
×60°=30°，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=12AB=4，
∵CE=2，
∴OE=OC−CE=r−2，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+(r−2)2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故选：D．
由垂径定理得AE=12AB=4，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠CAB和∠D都是BC所对的圆周角，
∴∠D=∠CAB=40°，
∴∠APD=∠D+∠ABD=40°+30°=70°．
故选：D．
先根据圆周角定理得到∠D=∠CAB=40°，然后根据三角形外角的性质计算∠APD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠APQ=115°，
∴∠APQ所对应优弧ABQ，
∴根据圆周角定理易知优弧ABQ所对圆心角为230°，
则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ=130°，
∵C、D为AB的三等分点，
∴∠AOD=120°
故Q应位于DB上，
故选：D．
根据∠APQ=115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角，进而找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．
本题考查圆周角定理，注意区分优弧和劣弧在圆上对应不同的圆周角以及圆心角是解题关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接OE，
∵OC=OB，∠ABC=22°，
∴∠OCB=∠ABC=22°，
∴∠BOC=180°−22°×2=136°，
∵E是劣弧BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠COE=12×136°=68°，
由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE=12×68°=34°，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．首先证明∠ADC=∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE=50°，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=12(180°−50°)=65°，
∴∠AOD=2∠ACD=130°，
故选：A．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
在Rt△AOB中，
∵OA=OB，AB=2 2，
∴由勾股定理得：OA=2．
则⊙O的直径为2OA=2×2=4．
故选：D．
根据圆周角定理可得∠AOB=90°，在等腰直角三角形AOB中，应用勾股定理进行计算即可得出OA的长度，从而得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧是解此题的关键．
求出∠ABC的度数，求出AC的度数，根据垂径定理求出AC=AD，再求出答案即可．
【分析】
解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO=90°．
∵∠BOF=65°，
∴∠B=90°−65°=25°，
∴AC的度数是2×25°=50°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴AC=AD，
∴AD的度数是50°，
∴∠AOD=50°．
故选C．
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
连接AD，根据CD是∠ACB的角平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【解答】
解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 2．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= AD2+BD2= (5 2)2+(5 2)2=10．
∵AC=6，
∴BC= AB2-AC2= 102-62=8．
故答案为：8．
14.【答案】②④⑤
【解析】略
15.【答案】2
【解析】略
16.【答案】14或2
【解析】解：分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连接OD、OB，
∵AB/​/CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=12CD，BF=12AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED=12×16=8，BF=12×12=6，
由勾股定理得：OE= OD2−ED2= 102−82=6，
OF= OB2−BF2= 102−62=8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF−OE=8−6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
故答案为：14或2．
分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和ED的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长．
本题考查了垂径定理和两平行线的距离，熟练掌握垂径定理，应用了垂直弦的直径平分这条弦，恰当地作辅助线构建半径和弦心距，这是圆中常作的辅助线，要熟练掌握；本题还采作了分类讨论的思想．
17.【答案】【小题1】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠BCD=180°.而∠DAB+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠DCB.又AD是∠EAC的平分线，∴∠DAE=∠DAC=∠DBC=∠DCB，∴BD=DC．
【小题2】
连接OB，OC，OD，∵∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，CO=BO，∴△COB为等边三角形，∴OC=BC=4.∵DC=DB，∠CDB=30°，∴∠DCB=75°，∴∠DCO=∠CDO=15°，∴∠COD=150°．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD/​/BC，
∴∠OFA=90°，
∴OF⊥AC，
∴AD=CD，
即点D为AC的中点；
(2)解：∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
而OA=OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF=12BC=3，
∴DF=OD−OF=5−3=2；
(3)解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC=PC′，
∴PD+PC=PD+PC′=DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵AD=CD，
∴∠COD=∠AOD=80°，
∴∠BOC=20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB=20°，
∴∠DOC′=120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则C′H=DH，
在Rt△OHD中，OH=12OD=52，
∴DH=5 32，
∴DC′=2DH=5 3，
∴PC+PD的最小值为5 3．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为AC的中点；
(2)证明OF为△ACB的中位线得到OF=12BC=3，然后计算OD−OF即可；
(3)作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′=120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
19.【答案】【小题1】
【小题2】

【解析】1. 略
2. 见答案
20.【答案】【小题1】
【小题2】

【解析】1. 略
2. 见答案
21.【答案】【小题1】
【小题2】

【解析】1. 略
2. 略
22.【答案】【小题1】
【小题2】

【解析】1. 略
2. 见答案
23.【答案】【小题1】
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC.∵AB=AC，∴BE=CE.∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形．又∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
【小题2】
设CD=x.连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2−AD2=CB2−CD2，∴(7+x)2−72=42−x2，解得x=1或x=−8(舍去).∴AC=8，BD= 82−72= 15，∴S半圆=12⋅π⋅42=8π，S菱形ABFC=8× 15=8 15．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
24.【答案】∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC=180°.∵∠DAC+∠MAD=180°，∴∠MAD=∠DBC.∵DC=DB，∴∠DBC=∠DCB.∴∠DCB=∠MAD.又∵∠DAB=∠DCB，∴∠MAD=∠DAB，即AD平分∠BAM
【解析】见答案
25.【答案】【小题1】
连接AO.∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC.∴∠AOB=∠AOC=∠BOC.∴∠BOC=13×360∘=120∘
【小题2】
过点O作OD⊥AB于点D.由(1)，易得∠AOB=120°.∵OA=OB，∴∠ABO=30°.∴OD=12OB.∵OD⊥AB，∴BD=12AB=12×6=3.在Rt△BDO中，由勾股定理，得BD2+OD2=OB2，即32+12OB2=OB2，解得OB=2 3(负值舍去).∴⊙O的半径为2 3

【解析】1. 见答案
2. 见答案1
2
AC
1
2
1
2