初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试课时作业

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人教版 第24章 《圆》单元培优测试卷 B卷
答案解析
一． 选择题：（30分）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，E是CD中点，若小正方形的边长为4cm，则该半圆的直径PQ的长为（       ）

A． cm B．cm C．cm D．cm


解：如图，连接半径OB、OC、OF，则OB=OC=OF，
在正方形ABCD中，AB=CD，
（HL），
∴OA=OD，OD=，
E是CD中点，小正方形的边长为4cm，
∴DE=4cm，CD=8cm，OD=4cm，
，
∴该半圆的直径为2OC=cm．
故选：D．
2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（       ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．



3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．

4．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）
A．34 B．12 C．6+3 D．6
解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，



是等边三角形，





故选：

5．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（　　）

A． B． C． D．m
解：连接AC、BD，

∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，
∴AF=DE=CF，则FC＝2FD，
设FD＝x，则FC＝AF＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC，
∴AD＝BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE．
故选：A.
6．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（       ）

A．5 B． C． D．
解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，

则
∵
设

解得：
∴
故选：D
7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（       ）

A． B． C． D．．【来源：21·世纪·】
解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图，

∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
设内切圆的半径为r，
则，解得：，
的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选：D．
8．如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦BC∥AD．当的度数为126°时，则∠P的度数为（　　）

A．54° B．55° C．63° D．64°】
解：如图，连接，，，

的度数为126°，
．
，
．
，
．
，
，，
．
，是⊙的切线，
，，，
．
故选A．
9．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（　　）

A．140° B．110° C．70° D．40°
解：∵OA＝OC，∠OAC＝20°
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣20°×2＝140°，
在优弧AC上任取一点D，连接AD、CD，如下图所示，

∴∠ADC＝70°
∴根据内接四边形的性质∠ABC=180°-70°=110°
故选：B．
10．如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　）

A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2处：21教育名师】
解：延长，交于点，连接，OF

设

CD＝BD


为直径



















在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动，
，当为的直径时，取得最大值，最大值为
故选A
二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．

11．
【分析】
如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD．
解：如图，连OA，OB，

∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
设,则,
由勾股定理知，， ，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得， ，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．
故答案为：

12．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．


【分析】
过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长．
解：过点作于，过点作于，连接，如图，

设，
，
，，
点为弧的中点，
，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和△中
，
△，
，，
，
，解得，
．
故答案为4．

13．如图，中，，，点D是边BC上任意一点，连结AD，过点C作 于点E，过点C作，且，连结FE并延长交AB于点M，连结BF．若四边形AMEC的面积是8，，则四边形ABFC的面积是________．

18
【分析】
连接BE、CM，证明△ACE≌△BCF（SAS），推出∠MFB=，利用∠CFM=∠CBM=，得到C、M、B、F四点共圆，推出∠BCM=∠MFB=，从而求出AM=BM，得到；由CE∥BF推出，根据四边形ABFC的面积=求出结果．
解：连接BE、CM，
∵，，
∴，
∵，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=BC，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CFB=∠CEA=，
∵∠CFE=，
∴∠MFB=，
∵∠CFM=∠CBM=，
∴C、M、B、F四点共圆，
∴∠BCM=∠MFB=，
∴∠CMB=，
∵AC=BC，
∴AM=BM，
∴；
∵∠ECF=∠CFB=，
∴∠ECF+∠CFB=，
∴CE∥BF，
∴，
∵四边形AMEC的面积=
∴四边形ABFC的面积==，
故答案为：18．
．
14．如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______．

5
【分析】
作出如图的辅助线，推出四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，ME=r -2，ON=r-1，证明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM= ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可．
解：取DE的中点O，连接OF、OG，延长GO与AE的延长线相交于点M，过点D作DN⊥MG于点N，

∵BC切⊙O于点G，∴CG⊥BG，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形，
∵OF=OG，
∴四边形OFBG是正方形，
设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM= r，
∵AE=2，CD=1，
∴ME=r -2，ON=r-1，
在Rt△OME和Rt△OND中，，
∴Rt△OME≌Rt△OND，
∴OM= ON=r-1，
在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2，
∴r2=( r -2)2+( r-1)2，
解得：r=1(舍去)或5，
故答案为：5．

15． 如图，是的弦，，点P是优弧上的动点，，连接、，是的中线，（1）若，则____________；（2）的最大值＝______________．
    
【分析】
（1）如图，延长交于点D，连接，根据，由圆周角定理得到，再根据已知，可得到，所以是的直径，再根据是的中线，由垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理可求解；
（2）如图，连接、，由圆周角定理得到，然后利用勾股求出圆的半径，再根据点P是优弧上的动点，是的中线，结合三角形的三边关系定理可得到，，当为的直径时最大，这时可求得的最大值．
解：（1）如图，延长交于点D，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得．
故答案为：

（2）如图，连接、，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵点P是优弧上的动点，是的中线，
∴，，
即，
当为的直径时最大，此时，
即
∴的最大值为．
故答案为：



16．如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动_________秒时，直线恰好与相切．

或
【分析】
作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．
解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．

设直线EF的解析式为y=x+b，即x-y+b=0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，
∴，
解得：b=或b=，
∴直线EF的解析式为或，
∴点E的坐标为（，0）或（，0）．
令y=x2中y=0，则x=2，
∴点M（2，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为秒或秒．
故答案为：或．
17．如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．

         3：8
【分析】
（1）根据正六边形的性质特点求出的面积即可．
（2）根据第一问，利用和面积相等求解．
解：（1），
（2），
由题意是的中位线，
，
，
，
，
，
，

18．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．


【分析】
先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果．
解：∵B（−5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形DAE−S扇形BAC




故答案为：16π
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．

19．（1）见分析；（2）2；（3）
【分析】
（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝，
∴PC+PD的最小值为．


20．（8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
(1) 判断的形状，并证明你的结论；
(2) 若，，求的长．(1)为等腰直角三角形，详见分析(2)
【分析】
（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；
（2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．
(1)解：为等腰直角三角形，证明如下：
证明：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵为直径，
∴．
∴是等腰直角三角形．
(2)解：如图：连接，，，交于点．
∵，
∴．
∵，
∴垂直平分．
∵是等腰直角三角形，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
在和中，．解得，．
∴．
∴．

21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，，连接DE、DB，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）求证：DE＝DM；
（2）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积．


．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．
（2）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD-S扇OBD计算即可；
解：（1）如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵，
∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，
在△AMD和△ABD中，
，
∴△AMD≌△ABD，
∴DM=BD，
∴DE=DM；
（2）如上图，连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵OA=CD=，OA=OD，
∴OD=CD=，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠DOC=∠C=45°，
∴S阴影=S△OCDS扇OBD=；





22．（10分）如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N．
（1）当∠M=∠N=42°时，求∠A的度数；
（2）若，且，请你用含有、的代数式表示∠A的度数．

（1）∠A=48°；（2）∠A=90°．
【分析】
（1）先由题意得∠ADC=∠ABC，再据圆内接四边形性质得∠ADC+∠ABC=180°，得∠ABM=90°，由直角三角形两锐角互余可求出∠A度数；
（2）先证∠MDC+∠NBC=180°，再证∠MCD+∠NCB=180°-（α+β），再证∠BCD+∠NCM==180°+（α+β），再证∠BCD=90°+，最后由∠A+∠BCD=180°，可得∠A=90°．
解：（1）在△CDM与△CBN中，∵∠M=∠N=42°，∠MCD=∠NCB，
∴∠CDM=∠CBN，
∴180°-∠CDM=180°-∠CBN，即∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=90°；
∵∠M =42°，
∴∠A=90°-∠M=48°；
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠MDC+∠NBC=180°，
∵∠M+∠MDC+∠MCD=180°，∠N+∠NCB+∠NBC=180°，
∴∠M+∠N+∠MCD+∠NCB=180°，
又，
∴∠MCD+∠NCB=180°-（α+β），
∴∠BCD+∠NCM=360°-（∠MCD+∠NCB）=180°+（α+β），
∵∠BCD=∠NCM，
∴∠BCD=90°+，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=90°-；
23．（10分）如图，以AB为直径的上有一动点C，的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作交于点M，连接AM，OM，BC．
(1) 求证：
(2) 若，填空：
① 当AM＝ 时，四边形OCBM为菱形；
② 连接MD，过点O作于点N，若 ，则ON＝ ．


(1)见分析(2)①5；②
【分析】
(1)首先根据圆周角定理可得，由切线的性质可得，再根据平行线的性质即可证得，据此即可证得结论；
(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．
(1)证明：∵AB是的直径，
，
，
∵CD是的切线，
，
，
又，
，
，
；
(2)解：①若四边形OCBM为菱形，
则OM=OA=MB =5，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵OA=OB，
∴AB=2OA=10，
∴
当时，四边形OCBM为菱形；
故答案为：；
②如图所示：

∵，OB=5，
∴，
∵CD是的切线，
∴，
∵OC=OB=5，
∴，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∵OM=OB，
∴，
∴，△OBM是等腰直角三角形，
在直角△ODM中，根据勾股定理可得，
根据△ODM的面积可得ON⋅DM=OM⋅OD，
，
故答案为：．
24．（12分）已知为的外接圆，，点是劣弧上一点（不与点，重合），连接，，．
(1)如图1，若是直径，将绕点逆时针旋转得到．若，求四边形的面积；
(2)如图2，若，半径为2，设线段的长为．四边形的面积为．
①求与的函数关系式；
②若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置．的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化．求所有值中的最大值，并求此时四边形的面积．


(1)8(2)①；②最大值为，面积为
【分析】
（1）根据旋转的性质及全等三角形的性质可得答案；
（2）①将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，根据等腰三角形的性质及面积公式可得答案；
②作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长最小，则连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，由对称性质、勾股定理、最值问题可得答案．
解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD旋转得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE＝4，∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝∠DCB＋∠ACD＝90°，
∴S四边形ADBC＝S△ACD＋S△BCD＝S△BCE＋S△BCD＝S△DCE＝×DC×CE＝×4×4＝8．
(2)①将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，如图所示：

∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC＋∠DBC＝180°，∠DBC＋∠HBC＝180°，
∴点D，B，H三点共线，
∵DC＝CH，
∴∠CDH＝60°，
∴△DCH是等腰三角形，
∴S四边形ADBC＝S△ACD＋S△BDC＝S△CDH=，
∴；
②如图，作点关于直线的对称点，作点关于的对称点，

点、关于直线对称，
，同理，，
，
当点、、、四点共线时，的周长最小，则连接交于点，交于，连接，，，，作于，
的周长最小值为，
点、关于直线对称，
，，
点、关于直线对称，
，，
，，
，，，
，，
，，
，
当有最大值时，有最大值，即有最大值，
为的弦，
为直径时，有最大值4，
的最大值为，
此时，