高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用优秀第2课时习题

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一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为x，，x＋2y＝1，
则
，
当且仅当，即时取等.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
4．（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
6．（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，，，
所以原式
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
二、多选题
7．（2023秋·全国·高一随堂练习）设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
8．（2023·全国·高一专题练习）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；
对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
9．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值是.
故答案为：.
10．（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
11．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】将构造变形为，然后利用基本不等式即可求解．
【详解】由，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故答案为：4．
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的最小值．
（2）求关于x的不等式的解集：．
【答案】（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．
【分析】（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．
【详解】解：（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
（2），
当时，不等式为，解集为，
时，不等式分解因式可得，
当时，故，此时解集为．
当时，，故此时解集为，
当时，可化为，又，
解集为．
当时，可化为，
又，解集为，
综上所述：时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为．
13．（2023·全国·高一假期作业）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
14．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
一、单选题
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：A
2．（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
二、多选题
3．（2023春·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2B．若a，且，则
C．若，则的最小值为3D．函数的最大值为0
【答案】BD
【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，由基本不等式知当，则，故B正确，
对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误，
对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确，
故选：BD
4．（2023秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期末）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.
【详解】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值.
故A不正确.
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值.
所以 ，当且仅当时取得最大值.
故B正确.
选项C：对于正数， ,所以
所以

当且仅当 ，即时取得最小值.
故C正确.
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】由，得，，
则，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
四、解答题
6．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为或
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，结合韦达定理即可求得答案；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，即可求得答案.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得，即．
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为．