人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法优秀第2课时测试题

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一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．
考点：函数的解析式及常用方法．
【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．
2．（2023·全国·高三专题练习）图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据壶的结构即可得出选项.
【详解】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下：
开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，
由图可知选项A符合，
故选：A
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的对应关系如下表，则（ ）
A．0B．2C．D．1
【答案】B
【分析】根据复合函数求值的方法分步求解即可．
【详解】解：，
．
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则x的值是1或
【答案】B
【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.
【详解】①的定义域和值域均为R,
②,定义域为 ，∴值域为，定义域与值域相同；
③的定义域为R，值域为 ，
定义域与值域不相同；
④的定义域为R，当时，；
当时，，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同，
所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选：C．
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.
【详解】依题意，原函数化为： ，其定义域为，
显然当时，图象是经过点的直线在y轴右侧部分，
当时，图象是是经过点的直线在y轴左侧部分，
根据一次函数图象知，符合条件的只有选项C.
故选：C
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的定义域为
C．的值域为D．若，则或2
【答案】CD
【分析】结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可．
【详解】由图像值，故A错误；
函数的定义域为，，故B错误；
函数的值域为，，故C正确；
若，则或2，故正确
故选：．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】分别令，，解方程解得，设定义域为，根据图象得到或，然后判断即可.
【详解】令，解得，令，解得或-2，
可作出函数图象如图：
设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.
故选：AD.
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知：，且，，则 .
【答案】2
【分析】直接代入得到方程组，得到其解析式，再代入即可.
【详解】因为，且，，
所以且，
所以，
所以，
所以，
故答案为：2.
10．（2023秋·高一课时练习）某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是 ．（填序号）
【答案】②③
【分析】利用题给函数图像求得前三年产量增长的速度的变化趋势判断①②；利用题给函数图像求得第三年后这种产品的生产状况判断③④
【详解】由函数图像可得前三年产量增长的速度越来越慢，则①判断错误，②判断正确；
第三年后这种产品停止生产，则③判断正确；④判断错误.
故答案为：②③
11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，分别由下表给出

则的值为 ；满足的的值是 ．
【答案】1，2
【详解】=；
当x=1时，，不满足条件，
当x=2时，，满足条件，
当x=3时，，不满足条件，
∴ 只有x=2时，符合条件．
四、解答题
12．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
【答案】(1)
(2)或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据解析式直接求解可得；
（2）根据a的范围分段解方程可得；
（3）根据解析式直接描点作图即可.
【详解】（1）∵函数的解析式，
∴，.
（2）∵，，
∴或或，
解得或.
（3）画出函数的图象如图所示：

由图可知，的最大值为，函数的值域为.
13．（2023·全国·高一随堂练习）已知函数求这个函数的定义域与值域．
【答案】定义域为R，值域为
【解析】由解析式可得到定义域,再画出函数图像,由图像即可得到值域
【详解】由题可知,函教的定义域为R,函数图像如图所示,
由图像可得函数的值域为
【点睛】本题考查图像法求分段函数的值域,属于基础题
14．（2023·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用换元法或者配凑法求解析式；
(2)构造方程组即可求解析式；
(3)令即可求得解析式.
【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数，分，，由求解.
【详解】因为函数，且，
当时，，即，
解得或，
当时，，无解，
综上：，
所以，
故选：A
2．（2023·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据定义，理解“不动点”为方程的解，所以只要有解即可，逐项分析判断即可得解.
【详解】根据题意，即存在使得有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令，可得，该方程无解，
所以不是“不动点”函数，A错误.
对B，令，
即，
由可得该方程无解，所以不是“不动点”函数，B错误.
对C，令，
即，显然无解，所以不是“不动点”函数，C错误.
对D，令，可得，所以为“不动点”函数，D正确.
故选：D.
3．（2023秋·全国·高一期中）设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[﹣1，2]B．C．D．[0，2]
【答案】D
【分析】通过分类讨论的取值范围，并利用一元二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意，不妨设，，
①当时，由一元二次函数的性质可知，在上单调递增，
故对于，，这与是函数的最小值矛盾；
②当时，，，
由一元二次函数的性质可知，在单调递减，
故对于，，
当时，在时取得最小值2，
从而当时，满足是函数的最小值；
③当时，由一元二次函数性质，在上单调递减，
故对于，，
当时，在时取得最小值，
若使是函数的最小值，只需且，解得，.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
4．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数的值域为
B．存在，使得不等式成立
C．当时，函数的图象与轴围成的面积为，则
D．当时，
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，再根据函数图象数形结合即可判断；
【详解】解：作出函数的图象，具体如下：先作在的图象，先进行分段即，作出其图象，然后向右每次将横坐标变为原来的倍的同时，纵坐标变为原来的，如图所示；
（A）从图象可知；函数的值域为；
（B）结合的图象，即知对于任意的都有，即，
（C）显然当时，函数的最高点为，与轴围成的面积为
，故成立；
（D），，由图易知D为正确.
故选：ACD
5．（2023·全国·高三专题练习）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】，
当时，若，即，解得或；
当时，若，即，解得或，此时.
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；
当时，区间的长度取最大值.
所以，区间的长度的取值范围是.
故选：BC.
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）函数与的图象拼成如图所示的“”字形折线段，不含､､､､五个点，若的图象关于原点对称的图形即为的图象，则其中一个函数的解析式可以为 .
【答案】
【分析】先根据图象可以得出f (x)的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，即可得出函数f (x) 的解析式.
【详解】由图可知，线段OC与线段OB是关于原点对称的，线段CD与线段BA也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，比如其组合形式为: OC和AB， CD和OB,
不妨取f (x)的图象为OC和AB，
OC的方程为: ，AB的方程为: ，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.x
0
1
2
3
2
1
3
0
3
2
0
1
2
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1
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3
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