重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题 练习

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重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题 【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点，作于；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法11.（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．12.（2024·高一·全国·专题练习）如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．(1)证明：Q是AC的中点；(2)证明：平面BEQ；(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．11.（2024·高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．题型二：三垂线法21.（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.(1)证明：；(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.①求此三棱锥的体积；②求二面角的大小.22.（2024·高二·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．  (1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．21.（2024·高一·湖南岳阳·期末）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.22.（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.  (1)证明：平面平面；(2)设，，求二面角的余弦值．题型三：射影面积法31.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．32.（2024·新疆和田·高一校考期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．31.（2024·高一课时练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________．题型四：垂面法41.（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.(1)证明：.(2)若，求二面角的余弦值.42.（2024·全国·高一专题练习）已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________.41.如图，在三棱锥中，底面，垂直平分且分别交于点，又，求二面角的大小．题型五：补棱法51.（2024·山东淄博·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．(1)证明：直线平面；(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．52.（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.（i）证明：平面平面；（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.51.（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.【过关测试】1．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，且有，，，为中点．  (1)证明：面；(2)求二面角的平面角的正弦值．2．（2024·高一·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：  (1)求二面角的大小．(2)求二面角的大小.(3)求二面角的大小的正弦值．3．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）已知四边形，将四边形沿折起，使，如图所示．  (1)求证：；(2)求二面角的余弦值．4．（2024·高一·湖北黄冈·期末）如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．  (1)证明：是的中点；(2)是上一点，己知二面角为，求的值．5．（2024·高三·陕西咸阳·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.  (1)证明：；(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.6．（2024·高一·安徽六安·期末）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点.  (1)证明：平面平面；(2)求二面角的正切值.7．（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.  (1)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由；(2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.8．（2024·高二·浙江·开学考试）如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.  (1)当平面⊥平面，求直线与平面所成角的正切值；(2)在翻折过程中，求二面角的最大值.9．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．  (1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．10．（2024·高一·新疆伊犁·期末）如图：已知直三棱柱中，交于点O，，.  (1)求证：；(2)求二面角的正切值.11．（2024·高二·全国·专题练习）直四棱柱，，，，，(1)求证：平面；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值12．（2024·高一·云南保山·期中）如图，在正方体中，分别为的中点.   (1)求证：平面；(2)若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.13．（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.  (1)证明：∥平面；(2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.