（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化训练一 两角和与差三角函数技巧高分必刷题（30题）【附答案解析】

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专题强化训练一：两角和与差三角函数技巧高分必刷题（30题）一、单选题1．（2023·全国·高一专题）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+2．（2023·全国·高一课时练习）已知，则（       ）A． B． C． D．3．（2023·江苏·金陵中学高一期中）若,且,,则A． B． C． D．4．（2023·全国·高一课时练习）若，，，，则（       ）A． B． C． D．5．（2019·湖北武汉·高一期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则A． B． C．2 D．06．（2020·河北巨鹿中学高一）已知，若是方程的两根，则（       ）A．或 B． C． D．7．（2023·北京·大峪中学高一期中）计算（       ）．A． B． C． D．8．（2023·全国·高一） （       ）A． B． C． D．9．（2019·广东罗湖·高一期末）已知，其中，则（       ）A． B． C． D．10．（2023·河南驻马店·高一期末（理））已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．二、多选题11．（2022·全国·高一）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（       ）A． B．C． D．12．（2023·全国·高一）下面各式中，正确的是A． B．C． D．13．（2023·全国·高一）下列计算正确的选项有（　　）A．sin158°cos48°+cos22°sin48°＝1B．sin20°cos110°+cos160°sin70°＝1C．D．14．（2023·全国·高一）下列式子正确的是（       ）A． B．C． D．15．（2022·安徽·六安一中高一）已知不等式的解集为，则（       ）A． B．C． D．.16．（2023·广东·高一单元测试）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（       ）A．是偶函数 B．的最小正周期为C．在区间上单调递增 D．的最小值为1三、填空题17．（2023·全国·高一单元测试）已知，则的值是_____.18．（2020·全国·高一课时练习）________.19．（2020·全国·高一课时练习）设a，b是非零实数，且满足，则＝_______．20．（2023·江苏·高一）设α、β都是锐角，且，则____________.21．（2023·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一阶段练习）化简：＝________.22．（2022·全国·高一）若，，且，，则的值是______．四、解答题23．（2018·上海市青浦高级中学高一期末）设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．24．（2023·全国·高一课时练习）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值．25．（2023·江苏·盐城市实验高级中学高一期中）已知是第三象限角，求（1）与的值；（2）．26．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.27．（2023·全国·高一）化简求值（1）tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°).（2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.28．（2020·广东·高一期末）已知, 且.(1)求的值;(2)若,, 求的值.29．（2023·全国·高一）求下列各式的值：(1)；(2)(3)(4)；(5)；(6)．30．（2023·江苏吴江·高一期中）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为．（1）求和的值；（2）若，求的值．参考答案：1．D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2．B【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.3．B【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．【详解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，则cos（），∵sinα，∴cosα，则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题4．C【解析】【分析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案【详解】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为 ，因为，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．C【解析】根据韦达定理可得的和与积关系, 再根据判断的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断的大小即可.【详解】因为是方程的两根可得.所以均为正数,又,故所以.又.故.故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.7．A【解析】将化为,化为后，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】．故选：A．8．C【解析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】解：．故选：．9．C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】，，可得，因此，.故选：C.10．C【解析】【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，，解得，，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.11．AC【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的余弦公式以及积化和差公式逐一判断即可.【详解】解：因为，，其中，为锐角，所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选：AC．12．ABC【解析】【分析】根据两角和与差的正弦公式，直接化简，即可求出结果.【详解】∵，∴A正确；∵，∴B正确；∵，∴C正确；∵，∴D不正确.故选ABC【点睛】本题主要考查两角和与差的化简，熟记公式即可，属于常考题型.13．CD【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.【详解】对于A，sin158°cos48°+cos22°sin48°＝sin22°cos48°+cos22°sin48°＝sin（22°+48°）＝sin70°≠1，故A错误；对于B，sin20°cos110°+cos160°sin70°＝sin20°（﹣cos70°）+（﹣cos20°）sin70°＝﹣（sin20°cos70°+cos20°sin70°）＝﹣sin（20°+70°）＝﹣1，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，cos74°sin14°﹣sin74°cos14°＝sin（14°﹣74°）＝﹣sin60°，故D正确.故选：CD.14．ACD【解析】【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：ACD15．BCD【解析】【分析】由一元二次不等式的解集与其对应的一元二次方程的根的关系，结合两角和的正切公式和弦切互化法即可求解.【详解】由题意得，，故A错误，正确，由于，故C正确，又，故D正确.故选：BCD.16．AD【解析】【分析】由奇函数的定义即可判断A；容易验证π是函数的周期，进而判断B；当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C；先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值.【详解】因为,，所以是偶函数，A正确；显然是周期函数，因为，所以B错误；因为当时，，所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；因为当时，设，则，∴，∴，同理：当时，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.故选：AD.17．.【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.18．【解析】【分析】利用诱导公式化简，再根据和与差的公式计算即可．【详解】，.故答案为【点睛】本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算，比较基础．19．【解析】【分析】先把已知条件转化为．利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【详解】因为，（tanθ）∴∴．tanθ＝tan（kπ）．∴故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．【解析】由α是锐角，求出的值，再由β是锐角，得出的值，将角转化成，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可.【详解】因为α是锐角，，所以，因为β是锐角，所以，又，所以，所以当时， ，此时，即，与矛盾，舍去，当时， ，符合要求.故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.21．1【解析】【分析】化简得原式为，再进一步化简即得解.【详解】原式＝.故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.22．##【解析】【分析】由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，所以，所以.故答案为：.23．(1);(2)或或.【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．24．（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.由条件得cosα＝，cosβ＝.∵ α，β为锐角，∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝25．（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出，；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由，，得.又由，是第三象限角，得.（2）由（1）得.26．（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．【详解】（1）因为，所以又因为，所以所以（2）因为，所以所以【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．27．（1）1；（2）【解析】（1）由化简即可求解．（2）由化简即可求解．【详解】（1）（2）.28．(1)；(2).【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值．先求得的值，再利用两角和差的余弦公式求得的值．【详解】解：，，，．若，，则，，．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．29．(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解：；(5)解：；(6)解：．30．（1）2，；（2）.【解析】【分析】（1）利用周期求，利用图象关于直线对称求；（2）先求出的正弦、余弦值，再把拆成，利用两角差的余弦公式求值即可.【详解】（1）∵图象相邻两个最高点的距离为，∴的最小正周期为π，∴，又解得：.∵的图象关于直线对称，∴，又，解得：.（2）由（1）知，，∴，所以.因为，所以，所以，所以