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（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化训练二 异面角、线面角、二面角的常见解法【附答案解析】
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这是一份（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化训练二 异面角、线面角、二面角的常见解法【附答案解析】，共61页。
专题强化训练二：异面角、线面角、二面角的常见解法技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq \r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解 取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq \r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq \r(3)，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，AC＝2eq \r(3)，SC＝4.由题意得AE＝eq \r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq \f(AD,AE)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为eq \f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解 ∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2eq \r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq \r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.专题强化训练一、单选题1．（2023·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．2．（2023·江苏·南京市中华中学高一期末）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）A． B． C． D．3．（2018·广西玉林·高一期末）如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为A． B． C．1 D．4．（2022·全国·高一单元测试）如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，E，F分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A． B． C． D．6．（2023·贵州·黔西南州同源中学高一期末）直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A． B． C． D．7．（2023·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D．8．（2023·湖北·丹江口市第一中学高一）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）A． B． C． D．9．（2023·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10．（2020·全国·高一单元测试）如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC中点，且直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，则异面直线AB1与BD所成角的大小为 A．300B．450C．600D．90011．（2023·浙江·高一期末）如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面.设直线与平面所成角为，则的最大值为A． B． C． D．12．（2023·江苏南通·高一期中）如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．二、多选题13．（2020·福建·莆田第二十五中学高一期末）如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是A．B．平面C．二面角的余弦值为D．点在平面上的投影是的外心14．（2023·全国·高一单元测试）如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（ ）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为15．（2023·湖南·雅礼中学高一阶段练习）如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是（ ）A．异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为定值C．平面与平面所成的二面角大小为D．直线与平面所成的角为16．（2023·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）如图，以等腰直角的斜边上的高AD为折痕，把和折成相互垂直的两个平面，下列结论正确的是（ ）A．B．C．若，则三棱锥内切球的半径为D．二面角的平面角的正切值为17．（2023·山东省淄博实验中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面18．（2023·全国·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，点M是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）A．异面直线BC与所成的角为 B．在上存在点D，使平面ABCC．二面角的大小为 D．三、填空题19．（2023·全国·高一课时练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．20．（2020·浙江杭州·高一期末）如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.21．（2023·全国·高一课时练习）如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P-BD-A的余弦值为________．22．（2023·全国·高一课时练习）已知四面体的棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为________．23．（2023·吉林·长春十一高高一阶段练习）如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．24．（2020·浙江杭州·高一期末）如图是一正方体的表面展开图.、、都是所在棱的中点.则在原正方体中：①与异面；②平面；③平面平面；④与平面形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.25．（2020·全国·高一专题练习）如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.四、解答题26．（2023·新疆昌吉·高一期末）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.27．（2019·河北定州中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.28．（2020·山东·滕州市第一中学新校高一期末）在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．29．（2023·陕西师大附中高一阶段练习） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.30．（2023·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．31．（2023·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.32．（2019·河南·安阳一中高一阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：面；（3）求二面角E-AB-C的正切值．33．（2020·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ∥， 平面.（Ⅰ）求证：平面 ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.34．（2023·江西·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．（1）求证：平面ADE；（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．35．（2019·江西·上饶中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，，是的中点，. （1）求证：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 参考答案：1．B【解析】【分析】由正三棱柱的性质和线面所成角的定义得到与平面所成的角为. 根据棱柱的底面平行，即为与平面所成角，进而计算得到所求．【详解】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故应选：B.2．D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D3．D【解析】【详解】 设棱长为的中点为，连接， 由正三棱柱中，个棱长都相等， 可得， 所以二面角的平面角为， 在中，，所以， 即二面角的平面角的正切值为，故选D. 点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.4．C【解析】【分析】连接，，根据面面角可得，再利用余弦定理即可求解.【详解】连接，，等边与等边所在平面成锐二面角，可得，设等边与等边的边长为，则，即为等边三角形， 所以，因为E，F分别为，中点，所以，异面直线与所成角即为所成的角，在中，.故选：C5．C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6．C【解析】【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.7．C【解析】取的中点，连接、、，推导出四边形为平行四边形，可得出，可得出异面直线与所成的角为，通过解，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角的余弦值.【详解】取的中点，连接、、.易知是的中位线，所以且.又且，为的中点，所以且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.因为，，，、、分别是、、的中点，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.8．C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．D【解析】【详解】试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角10．C【解析】【详解】【分析】分析：先由直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，明确A B1=2AE,进而明确异面直线AB1与BD所成角的大小.详解：在底ABC中,过A做AE⊥BC,垂足为E,则∠A B1E就是直线B1与平面BCC1 B1所成的角,所以在直角三角形AE B1中,A B1=2AE.设正三角形边长为a,则AE=a,所以A B1=a在△A B1C中,A B1=C B1,故过D点做A B1的平行线,交C B1于F,DF==a显然BF=a故在△DFB中,DB=DF=BF=a,所以三角形为等边三角形,∠FDB=60即,直线A B1与BD所成的角为60°故选:C.点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.11．A【解析】【分析】在矩形中，过点作的垂线交于点 ，交于点，则在翻折后的几何体中，有是直线与平面 所成角，利用解三角形的方法可求其正弦值的最大值.【详解】矩形中，过点作的垂线交于点，交于点．设，．由，得，即有，由，得．在翻折后的几何体中，，平面．从而平面平面，又平面平面，则平面．连接,则是直线与平面所成角，即．而，，则．由于，则当时，取到最大值，其最大值为故选：A.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，翻折问题中关注翻折过程中的变量与不变量，本题中找到线面角为，得到，利用函数性质得到最大值为．12．A【解析】【分析】将棱锥的底面边长及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求最值.【详解】设过与垂直的线段长为，则，，，，则四棱锥的高，则，，∴四棱锥体积的最大值为.故选：A.【点睛】求解立体几何体积的最值时，一般需要将体积写为函数关系式或者是三角函数关系式，进而利用函数求最值或三角函数求最值的方法求解其最值.13．ABC【解析】【分析】对于A选项，只需取EF中点H，证明平面；对于B选项，知三线两两垂直，可知正确；对于C选项，通过余弦定理计算可判断；对于D选项，由于，可判断正误.【详解】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知和为等腰三角形，故,，所以平面，所以，故A正确；根据折起前后，可知三线两两垂直，于是可证平面，故B正确；根据A选项可知 为二面角的平面角，设正方形边长为2，因此，，，，由余弦定理得：，故C正确；由于，故点在平面上的投影不是的外心，即D错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.14．ABC【解析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【详解】由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.15．BCD【解析】【分析】根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各选项进行判断．【详解】A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A错误；B，面积不变，到平面即平面的距离不变，因此三棱锥体积为变，即三棱锥的体积为定值，正确；C，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C正确；D．连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查空间求棱锥的体积，求空间的角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题时可根据定义作出空间角的“平面角”，然后计算．16．ABC【解析】【分析】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，根据面面垂直的性质定理，即可判断选项A是否正确；根据线面垂直的性质和勾股定理，即可证明是等边三角形，由此即可判断选项B是否正确；设内切球的球心为，半径为，根据，即可求出结果，进而判断选项C是否正确；取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，再解三角形即可求出的正切值，由此即可判断选项D是否正确.【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边， 对于A，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确；对于B，由A知，平面，平面， 所以，又， 所以由勾股定理得：，又， 所以是等边三角形，所以，故B正确；对于C，设内切球的球心为，半径为，又，则，由A、B可知，，又所以，所以，故C正确；对于选项D，取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，且，所以，所以为直角三角形，所以，故D错误；故选：ABC.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面、面面垂直的性质定理的应用，考查二面角的求法，属于中档题．17．ABC【解析】【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面， ， 平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角的大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以.假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.18．ABC【解析】【分析】选项，连接，易知，故即为所求,再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得，即；选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，再由线面平行的判定定理即可得证；选项，取的中点，连接、，则即为所求，求出的值，从而得解；选项，在中，利用勾股定理分别算出、和的长，判断其结果是否满足即可．【详解】选项，连接，由三棱柱的性质可知，，即为异面直线与．，，，即，由直三棱柱的性质可知，平面，平面，，又，、平面，平面，，即，选项正确；选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，则，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即选项正确；选项，取的中点，连接、，平面，即为二面角的平面角．在中，，，，，即选项正确；选项，在中，，，，显然，即与不垂直，选项错误．故选：．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．4【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理AC⊥平面SBD，进而可判定①正确．根据AB∥CD，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB∥CD，由异面直线所成角的定义可判定④正确．【详解】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．故答案为：4.20．【解析】【分析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.21．【解析】【分析】根据PA⊥AB，PA⊥BC，易得PA⊥平面ABCD，再根据四边形ABCD为正方形，得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面PAO，从而由∠POA为二面角P-BD-A的平面角求解．【详解】如图，∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAO(其中O为AC与BD的交点)，∴BO⊥PO，∴∠POA为二面角PBDA的平面角．又AB＝，∴AC＝4，∴AO＝2．又PA＝，PO=，所以故答案为：【点睛】方法点睛：几何法求线面角、二面角的常用方法：（1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．22．【解析】【分析】过点作平面，垂足为，连接，取中点，连接，进而得点是三边垂直平分线的交点，也是角平分线的交点，进而证明平面，故就是与平面所成的角，再结合几何关系求解即可.【详解】解析：如图，过点作平面，垂足为，连接．取中点，连接．由平面，四面体的棱长都相等，所以点是三边垂直平分线的交点，也是角平分线的交点．设四面体的棱长为，则，∵是的中点，是的中点，∴ ．∵平面，∴平面．∴ 就是与平面所成的角．在等边三角形中，是的中点，∴ ．又，∴．故答案为：【点睛】本题考查线面所成角的几何求法，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关在在于找到就是与平面所成的角，进而根据几何关系求解即可.23．【解析】【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.24．①②④【解析】【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.【详解】根据条件将正方体进行还原如下图所示：对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，命题②正确；对于命题③，在正方体中，平面，由于四边形为平行四边形，，平面.、平面，，.则二面角所成的角为，显然不是直角，则平面与平面不垂直，命题③错误；对于命题④，设正方体的棱长为，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角为，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命题⑤错误.故答案为①②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.25．【解析】由，可算得点C到平面的距离为d，又由直线BC与平面所成角的正弦值为，即可得到本题答案.【详解】∵四边形是菱形，，，为二面角的平面角，，是等边三角形.取的中点，连接，则.，平面，又平面，平面，平面，，，的边上的高，，设点到平面的距离为，则.，，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解.26．（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.【详解】（1）连接，交于，连接四边形为正方形 为中点，又为中点 平面，平面 平面（2）平面 直线与平面所成角即为 设，则 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.27．（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可.28．(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.【解析】【详解】【分析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，,为中点AE//BC，且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点又F为AD中点，，//平面（Ⅱ）由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得//为即，侧面底面侧面底面平面，，.（Ⅲ）取中点，连，，，平面，的平面角，又，，所以二面角的余弦值为．点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．29．（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.30．（I）证明见解析；（II）【解析】【分析】（）方法一：作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得；（II）方法一：由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值．【详解】（）[方法一]：几何证法作交于，连接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱台的定义可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法作交于O．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,∵，，∴,∴，∴,,,∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD平面ABC，∴,∴，又∵DC =2BC．∴,即,又∵，∴．（II）[方法一]：几何法因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．作于，连接，由（1）可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面内的射影为，即为所求角．在中，设，则，，∴．故与平面所成角的正弦值为．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为,由（）得,,∴令,则,,,，,由于，∴直线与平面所成角的正弦值为． [方法三]：空间向量法以为基底,不妨设，则(由（）的结论可得）．设平面的法向量为，则由得取，得．设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角也为，由公式得．[方法四]：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分线上．设直线与平面所成角为，则与平面所成角也为．由由（）的结论可得，由三余弦定理，得，从而．[方法五]：等体积法设H到平面DBC的距离为h，设,则,设直线与平面所成角为，由已知得与平面所成角也为．由，,求得，所以．【整体评价】（）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到，进而证明，过程简洁，确定为最优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线.31．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .【解析】【详解】【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值. 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM 平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH== ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .考点：线线平行、线面平行、向量法.32．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直；（2）由等腰三角形的性质得到，由（1）推得面，故，进而得到结果；（3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG，是二面角的一个平面角，根据直角三角形的性质求解即可..易知，故面【详解】（1）证明：∵底面，又，，故面面，故 （2）证明：，，故是的中点，故由（1）知，从而面，故易知，故面 （3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG∵PA⊥AC, ∴PA//EF ∴EF⊥底面且F是AC中点∴故是二面角的一个平面角．设，则PA=BC=，EF=AF= 从而FG=，故． 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．33．：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，，即，在中， ，，则是直角三角形，且 ，又，且 ，故BD⊥平面AED．（2）过作 ，交于点 . 因为FC⊥平面ABCD，面 ，所以，所以面 ，因此， ，故为二面角F—BD—C的平面角. 在中， ，可得因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2. 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.34．（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即 因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH， 又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角. 在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.35．（1）见证明；（2）3【解析】【分析】（1）连接，交于点，连结，利用中位线定理证明平面．（2）通过平移，表示出异面直线和所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得．所以可得解．【详解】解法一：（1）连结，交于点，连结.在直三棱柱中，四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，.又平面，平面，，所以，， ，所以.解法二：（1）证明：取的中点，连结，，，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，又是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）过作于，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，，又，，，所以.
专题强化训练二：异面角、线面角、二面角的常见解法技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq \r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解 取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq \r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq \r(3)，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，AC＝2eq \r(3)，SC＝4.由题意得AE＝eq \r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq \f(AD,AE)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为eq \f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解 ∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2eq \r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq \r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.专题强化训练一、单选题1．（2023·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．2．（2023·江苏·南京市中华中学高一期末）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）A． B． C． D．3．（2018·广西玉林·高一期末）如图4，正三棱柱中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值为A． B． C．1 D．4．（2022·全国·高一单元测试）如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，E，F分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A． B． C． D．6．（2023·贵州·黔西南州同源中学高一期末）直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A． B． C． D．7．（2023·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D．8．（2023·湖北·丹江口市第一中学高一）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）A． B． C． D．9．（2023·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10．（2020·全国·高一单元测试）如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC中点，且直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，则异面直线AB1与BD所成角的大小为 A．300B．450C．600D．90011．（2023·浙江·高一期末）如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面.设直线与平面所成角为，则的最大值为A． B． C． D．12．（2023·江苏南通·高一期中）如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（ ）A． B． C． D．二、多选题13．（2020·福建·莆田第二十五中学高一期末）如图,正方形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点.则下列结论正确的是A．B．平面C．二面角的余弦值为D．点在平面上的投影是的外心14．（2023·全国·高一单元测试）如图直角梯形中，，，，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（ ）A．平面平面 B．C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为15．（2023·湖南·雅礼中学高一阶段练习）如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是（ ）A．异面直线与所成的角为B．三棱锥的体积为定值C．平面与平面所成的二面角大小为D．直线与平面所成的角为16．（2023·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）如图，以等腰直角的斜边上的高AD为折痕，把和折成相互垂直的两个平面，下列结论正确的是（ ）A．B．C．若，则三棱锥内切球的半径为D．二面角的平面角的正切值为17．（2023·山东省淄博实验中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面18．（2023·全国·高一单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，点M是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）A．异面直线BC与所成的角为 B．在上存在点D，使平面ABCC．二面角的大小为 D．三、填空题19．（2023·全国·高一课时练习）如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．20．（2020·浙江杭州·高一期末）如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.21．（2023·全国·高一课时练习）如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P-BD-A的余弦值为________．22．（2023·全国·高一课时练习）已知四面体的棱长都相等，是的中点，则与平面所成角的正弦值为________．23．（2023·吉林·长春十一高高一阶段练习）如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．24．（2020·浙江杭州·高一期末）如图是一正方体的表面展开图.、、都是所在棱的中点.则在原正方体中：①与异面；②平面；③平面平面；④与平面形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.25．（2020·全国·高一专题练习）如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.四、解答题26．（2023·新疆昌吉·高一期末）如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.27．（2019·河北定州中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.28．（2020·山东·滕州市第一中学新校高一期末）在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．29．（2023·陕西师大附中高一阶段练习） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.30．（2023·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．31．（2023·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.32．（2019·河南·安阳一中高一阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：面；（3）求二面角E-AB-C的正切值．33．（2020·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ∥， 平面.（Ⅰ）求证：平面 ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.34．（2023·江西·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．（1）求证：平面ADE；（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．35．（2019·江西·上饶中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，，是的中点，. （1）求证：平面；（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 参考答案：1．B【解析】【分析】由正三棱柱的性质和线面所成角的定义得到与平面所成的角为. 根据棱柱的底面平行，即为与平面所成角，进而计算得到所求．【详解】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故应选：B.2．D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D3．D【解析】【详解】 设棱长为的中点为，连接， 由正三棱柱中，个棱长都相等， 可得， 所以二面角的平面角为， 在中，，所以， 即二面角的平面角的正切值为，故选D. 点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.4．C【解析】【分析】连接，，根据面面角可得，再利用余弦定理即可求解.【详解】连接，，等边与等边所在平面成锐二面角，可得，设等边与等边的边长为，则，即为等边三角形， 所以，因为E，F分别为，中点，所以，异面直线与所成角即为所成的角，在中，.故选：C5．C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6．C【解析】【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.7．C【解析】取的中点，连接、、，推导出四边形为平行四边形，可得出，可得出异面直线与所成的角为，通过解，利用余弦定理可求得异面直线与所成的角的余弦值.【详解】取的中点，连接、、.易知是的中位线，所以且.又且，为的中点，所以且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以，所以就是异面直线与所成的角.因为，，，、、分别是、、的中点，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.8．C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．D【解析】【详解】试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角10．C【解析】【详解】【分析】分析：先由直线AB1与平面BCC1B1所成的角为300，明确A B1=2AE,进而明确异面直线AB1与BD所成角的大小.详解：在底ABC中,过A做AE⊥BC,垂足为E,则∠A B1E就是直线B1与平面BCC1 B1所成的角,所以在直角三角形AE B1中,A B1=2AE.设正三角形边长为a,则AE=a,所以A B1=a在△A B1C中,A B1=C B1,故过D点做A B1的平行线,交C B1于F,DF==a显然BF=a故在△DFB中,DB=DF=BF=a,所以三角形为等边三角形,∠FDB=60即,直线A B1与BD所成的角为60°故选:C.点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一．这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.11．A【解析】【分析】在矩形中，过点作的垂线交于点 ，交于点，则在翻折后的几何体中，有是直线与平面 所成角，利用解三角形的方法可求其正弦值的最大值.【详解】矩形中，过点作的垂线交于点，交于点．设，．由，得，即有，由，得．在翻折后的几何体中，，平面．从而平面平面，又平面平面，则平面．连接,则是直线与平面所成角，即．而，，则．由于，则当时，取到最大值，其最大值为故选：A.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，翻折问题中关注翻折过程中的变量与不变量，本题中找到线面角为，得到，利用函数性质得到最大值为．12．A【解析】【分析】将棱锥的底面边长及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求最值.【详解】设过与垂直的线段长为，则，，，，则四棱锥的高，则，，∴四棱锥体积的最大值为.故选：A.【点睛】求解立体几何体积的最值时，一般需要将体积写为函数关系式或者是三角函数关系式，进而利用函数求最值或三角函数求最值的方法求解其最值.13．ABC【解析】【分析】对于A选项，只需取EF中点H，证明平面；对于B选项，知三线两两垂直，可知正确；对于C选项，通过余弦定理计算可判断；对于D选项，由于，可判断正误.【详解】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知和为等腰三角形，故,，所以平面，所以，故A正确；根据折起前后，可知三线两两垂直，于是可证平面，故B正确；根据A选项可知 为二面角的平面角，设正方形边长为2，因此，，，，由余弦定理得：，故C正确；由于，故点在平面上的投影不是的外心，即D错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.14．ABC【解析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【详解】由题易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，，，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.15．BCD【解析】【分析】根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各选项进行判断．【详解】A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A错误；B，面积不变，到平面即平面的距离不变，因此三棱锥体积为变，即三棱锥的体积为定值，正确；C，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C正确；D．连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查空间求棱锥的体积，求空间的角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题时可根据定义作出空间角的“平面角”，然后计算．16．ABC【解析】【分析】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，根据面面垂直的性质定理，即可判断选项A是否正确；根据线面垂直的性质和勾股定理，即可证明是等边三角形，由此即可判断选项B是否正确；设内切球的球心为，半径为，根据，即可求出结果，进而判断选项C是否正确；取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，再解三角形即可求出的正切值，由此即可判断选项D是否正确.【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边， 对于A，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确；对于B，由A知，平面，平面， 所以，又， 所以由勾股定理得：，又， 所以是等边三角形，所以，故B正确；对于C，设内切球的球心为，半径为，又，则，由A、B可知，，又所以，所以，故C正确；对于选项D，取得中点，连接，，易知，，所以为二面角的平面角，且，所以，所以为直角三角形，所以，故D错误；故选：ABC.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面、面面垂直的性质定理的应用，考查二面角的求法，属于中档题．17．ABC【解析】【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面， ， 平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角的大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以.假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.18．ABC【解析】【分析】选项，连接，易知，故即为所求,再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得，即；选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，再由线面平行的判定定理即可得证；选项，取的中点，连接、，则即为所求，求出的值，从而得解；选项，在中，利用勾股定理分别算出、和的长，判断其结果是否满足即可．【详解】选项，连接，由三棱柱的性质可知，，即为异面直线与．，，，即，由直三棱柱的性质可知，平面，平面，，又，、平面，平面，，即，选项正确；选项，连接，交于点，连接，再取的中点，连接、，则，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即选项正确；选项，取的中点，连接、，平面，即为二面角的平面角．在中，，，，，即选项正确；选项，在中，，，，显然，即与不垂直，选项错误．故选：．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．4【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理AC⊥平面SBD，进而可判定①正确．根据AB∥CD，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB∥CD，由异面直线所成角的定义可判定④正确．【详解】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．故答案为：4.20．【解析】【分析】取圆柱下底面弧的另一中点，连接,直线与所成角等于异面直线与所成角,利用圆柱的轴截面是正方形,,从而可得结论.【详解】取圆柱下底面弧的另一中点，连接，则因为C是圆柱下底面弧的中点，所以，所以直线与所成角等于异面直线与所成角.因为是圆柱上底面弧的中点，所以圆柱下底面，所以.因为圆柱的轴截面是正方形，所以，所以直线与所成角的正切值为.所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线成角问题,用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形求得,难度容易.21．【解析】【分析】根据PA⊥AB，PA⊥BC，易得PA⊥平面ABCD，再根据四边形ABCD为正方形，得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面PAO，从而由∠POA为二面角P-BD-A的平面角求解．【详解】如图，∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAO(其中O为AC与BD的交点)，∴BO⊥PO，∴∠POA为二面角PBDA的平面角．又AB＝，∴AC＝4，∴AO＝2．又PA＝，PO=，所以故答案为：【点睛】方法点睛：几何法求线面角、二面角的常用方法：（1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．22．【解析】【分析】过点作平面，垂足为，连接，取中点，连接，进而得点是三边垂直平分线的交点，也是角平分线的交点，进而证明平面，故就是与平面所成的角，再结合几何关系求解即可.【详解】解析：如图，过点作平面，垂足为，连接．取中点，连接．由平面，四面体的棱长都相等，所以点是三边垂直平分线的交点，也是角平分线的交点．设四面体的棱长为，则，∵是的中点，是的中点，∴ ．∵平面，∴平面．∴ 就是与平面所成的角．在等边三角形中，是的中点，∴ ．又，∴．故答案为：【点睛】本题考查线面所成角的几何求法，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关在在于找到就是与平面所成的角，进而根据几何关系求解即可.23．【解析】【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.24．①②④【解析】【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.【详解】根据条件将正方体进行还原如下图所示：对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，命题②正确；对于命题③，在正方体中，平面，由于四边形为平行四边形，，平面.、平面，，.则二面角所成的角为，显然不是直角，则平面与平面不垂直，命题③错误；对于命题④，设正方体的棱长为，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角为，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命题⑤错误.故答案为①②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.25．【解析】由，可算得点C到平面的距离为d，又由直线BC与平面所成角的正弦值为，即可得到本题答案.【详解】∵四边形是菱形，，，为二面角的平面角，，是等边三角形.取的中点，连接，则.，平面，又平面，平面，平面，，，的边上的高，，设点到平面的距离为，则.，，∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解.26．（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.【详解】（1）连接，交于，连接四边形为正方形 为中点，又为中点 平面，平面 平面（2）平面 直线与平面所成角即为 设，则 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.27．（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角【点睛】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的证明、直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.求两条异面直线所成的角，首先要借助平行线找出异面直线所成的角，证明线面垂直只需寻求线线垂直，求线面角首先利用转化思想寻求直线与平面所成的角，然后再计算即可.28．(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.【解析】【详解】【分析】分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．详解：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，,为中点AE//BC，且AE=BC四边形ABCE为平行四边形O为AC中点又F为AD中点，，//平面（Ⅱ）由BCDE为正方形可得由ABCE为平行四边形可得//为即，侧面底面侧面底面平面，，.（Ⅲ）取中点，连，，，平面，的平面角，又，，所以二面角的余弦值为．点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．29．（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.30．（I）证明见解析；（II）【解析】【分析】（）方法一：作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得；（II）方法一：由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值．【详解】（）[方法一]：几何证法作交于，连接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱台的定义可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法作交于O．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,∵，，∴,∴，∴,,,∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD平面ABC，∴,∴，又∵DC =2BC．∴,即,又∵，∴．（II）[方法一]：几何法因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．作于，连接，由（1）可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面内的射影为，即为所求角．在中，设，则，，∴．故与平面所成角的正弦值为．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为,由（）得,,∴令,则,,,，,由于，∴直线与平面所成角的正弦值为． [方法三]：空间向量法以为基底,不妨设，则(由（）的结论可得）．设平面的法向量为，则由得取，得．设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角也为，由公式得．[方法四]：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分线上．设直线与平面所成角为，则与平面所成角也为．由由（）的结论可得，由三余弦定理，得，从而．[方法五]：等体积法设H到平面DBC的距离为h，设,则,设直线与平面所成角为，由已知得与平面所成角也为．由，,求得，所以．【整体评价】（）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到，进而证明，过程简洁，确定为最优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线.31．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .【解析】【详解】【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值. 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM 平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH== ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .考点：线线平行、线面平行、向量法.32．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直；（2）由等腰三角形的性质得到，由（1）推得面，故，进而得到结果；（3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG，是二面角的一个平面角，根据直角三角形的性质求解即可..易知，故面【详解】（1）证明：∵底面，又，，故面面，故 （2）证明：，，故是的中点，故由（1）知，从而面，故易知，故面 （3）过点E作EF⊥AC，垂足为．过点F作FG⊥AB，垂足为G．连结EG∵PA⊥AC, ∴PA//EF ∴EF⊥底面且F是AC中点∴故是二面角的一个平面角．设，则PA=BC=，EF=AF= 从而FG=，故． 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．33．：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得，故只需证明，在中，由余弦定理得的关系，即的关系确定，在中，结合已知条件可判定是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角，可先找后求，过作，由已知FC⊥平面ABCD，得面，故，，故为二面角F—BD—C的平面角，在中计算．【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°，，由余弦定理可知，，即，在中， ，，则是直角三角形，且 ，又，且 ，故BD⊥平面AED．（2）过作 ，交于点 . 因为FC⊥平面ABCD，面 ，所以，所以面 ，因此， ，故为二面角F—BD—C的平面角. 在中， ，可得因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2. 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角.34．（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE. 又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即 因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH， 又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角. 在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.35．（1）见证明；（2）3【解析】【分析】（1）连接，交于点，连结，利用中位线定理证明平面．（2）通过平移，表示出异面直线和所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得．所以可得解．【详解】解法一：（1）连结，交于点，连结.在直三棱柱中，四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，.又平面，平面，，所以，， ，所以.解法二：（1）证明：取的中点，连结，，，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，又是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）过作于，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，在中，，，，，，又，，，所以.
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