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（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化一 线面、面面的平行和垂直位置关系【附答案解析】
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这是一份（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化一 线面、面面的平行和垂直位置关系【附答案解析】，共44页。
专题强化一：线面、面面的平行和垂直位置关系一、单选题1．（2023·福建省厦门集美中学高一期末）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则2．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，，那么D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么3．（2022·全国·高一）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC5．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是A．B．平面C．直线∥平面D．7．（2020·浙江杭州·高一期末）已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2023·辽宁·沈阳二中高一期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．（2023·湖北·钟祥市实验中学高一期中）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A．若α⊥β，mα，nβ，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交､平行或异面C．若m⊥α，nα，则直线m与n一定垂直D．若mα，nβ，αβ，则直线m与n一定平行10．（2023·湖南·临澧县第一中学高一期末）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（ ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则11．（2019·江西·宜丰中学高一阶段练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是( )A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．二面角M－AC－B等于90°D．异面直线BC1与AC所成的角等于60°12．（2020·浙江杭州·高一期末）已知两条直线与两个平面，给出下列命题:①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确的命题个数为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题13．（2023·江苏·金陵中学高一期末）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若则D．若，且与不平行，则14．（2023·河北·沧州市一中高一阶段练习）已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则15．（2023·全国·高一课时练习）(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角16．（2023·全国·高一单元测试）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A．四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面17．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ）A．为的中点B．与所成的角为C．平面平面D．点与点到平面的距离相等18．（2023·山东省淄博实验中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面三、填空题19．（2023·浙江·高一单元测试）有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．20．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足___________ 时，平面平面(只要填写一个你认为正确的条件即可)21．（2023·全国·高一课时练习）如图，为正方体，下面结论中正确的结论是___________.(把你认为正确的结论都填上)①平面；②平面；③过点与异面直线和成角的直线有2条.22．（2020·辽宁·辽师大附中高一期末）如图，矩形中，为的中点，将△沿直线翻折成△，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.四、解答题23．（2023·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，（1）求证：平面（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．24．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.25．（2023·全国·高一专题练习）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，.（Ⅰ）若是与的交点，求证：平面；（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.26．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）如图所示，在四棱锥中，四边形ABED是正方形，点分别是线段的中点．（1）求证：平面（2）是线段BC的中点，证明：平面平面．27．（2023·江苏·高一课时练习）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?28．（2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.29．（2023·江苏·高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，为等边三角形.（1）求证：PB⊥BC；（2）若平面PAD⊥平面PCD，求证：平面PAD⊥平面ABCD.30．（2023·黑龙江·鸡西实验中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求AB1与BD所成角的余弦值.31．（2023·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面平面；（2）求证：平面32．（2023·湖北·随州市第一中学高一期中）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，为中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且，求异面直线与所成角的大小；（2）求证：平面.33．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值．34．（2020·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面.（1）求证：；（2）若E是的中点，F在上，平面，求的值. 参考答案：1．C【解析】【分析】在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．2．C【解析】【分析】A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．【详解】A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；B.因为，，所以或，又，所以，故错误；C. 因为，，所以，又，所以，故正确；D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．故选：C3．D【解析】【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.故选：D4．D【解析】【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△中有，在面中，MN不与AB平行；，知：MN与BC所成的角为；因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确；对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确；对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；故选：D.6．D【解析】【详解】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．7．D【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案．【详解】对于A，当时，则与不平行，故A不正确；对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；对于C，若，则与不垂直，故C不正确；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；故答案选D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题．8．D【解析】【分析】题中是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.【详解】A.直线也可能相交或者异面；B.若在平面内则不成立；C.直线也可能异面；D.因为 ，所以，且，故.故选：D【点睛】要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和笔来进行分析.9．C【解析】【分析】借助于正方体，对于A：取特例排除；对于B：取特例排除；对于C：利用线面平行的性质及线面垂直的性质证明；对于D：直接验证即可.【详解】如图示，在正方体中对于A：若α⊥β，mα，nβ，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，若取m为BC，n为A1B1，则直线m与n异面，故A错误；对于B：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，则直线m与n垂直，不可能平行，故B错误；对于C：若m⊥α，nα，因为nα，过n作平面，则ln.因为m⊥α，所以m⊥l，又ln，所以m⊥n.故C正确；对于D：若mα，nβ，αβ，不妨取面ABCD为平面α，面A1B1C1D1为平面β，则两个平面内的直线m与n可能平行，也可能异面.故D错误.故选：C.【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了；（2）基本的点线面的位置关系的判断，可以借助于长方体（教室）进行判断.10．C【解析】【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，又因为，可得，所以C项正确；对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.11．C【解析】【分析】在正方体内由线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及线面角、线线角的知识来判断【详解】对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形故平面平面平面，故正确对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，,易证平面，则平面，故正确；对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误对于D，为异面直线与所成的角，为等边三角形，，故正确故选C【点睛】本题考查了在正方体内的线面平行、线面垂直，求二面角的平面角的大小以及异面直线的大小，需要熟练运用判定方法等相关知识，较为综合12．A【解析】【分析】结合线面平行定理和举例判断.【详解】若，则可能平行或异面，故①错误；若，则可能与的交线平行，故②错误；若，则，所以，故③正确；若，则可能平行，相交或异面，故④错误；故选A.【点睛】本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.13．BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A：若，则与平行或相交或，A选项错误；B：因为，所以或，又，所以，B选项正确；C：若则与相交或平行或，C选项错误；D：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D选项正确；故选：BD.14．BD【解析】【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；对于C，若，，，则或，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.故选：BD.15．ABC【解析】【分析】分别用面面平行、面面垂直、线线角、二面角等知识对每个选项判断即可.【详解】对于选项A：∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC.故A正确；对于选项B：∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，又平面，∴平面EFG⊥平面ABC. 故B正确；对于选项C：由选项A知平面EFG∥平面PBC，且平面与两平面的交线分别为与，所以EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角.故C正确；对于选项D：∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．故D错误.故选：ABC.16．BC【解析】【分析】根据点线面的位置关系逐个判断选项即可.【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.17．ACD【解析】根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案.【详解】对于A项，连接交于点，连接，如图所示，//面，面 ，且面面，// ，又四边形是正方形，为的中点，为的中点，故A正确；对于B项，，为 与所成的角，面，面 ，，在中，，，故B错误；对于C项，面，面 ，，又，， 面面，又平面 ，故C正确.因为平面，且为线段的中点，所以点与点到平面的距离相等，所以D正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）根据线面平行的性质可以判断A项真假；（2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假；（3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假；（4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假.18．ABC【解析】【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面， ， 平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角的大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以.假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.19．①②③【解析】【分析】根据公理可得出结论.【详解】公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.【点睛】本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.20．DMPC(或BMPC)【解析】【详解】试题分析：连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．考点：1．线面垂直的判定；2．面面垂直的判定．【方法点睛】本题考查空间中线线、线面、线面垂直关系的转化，属于中档题；在处理空间中的垂直关系或平行关系时，要注意线线垂直或平行的判定，即空间问题平面化；在利用线面或面面垂直的判定或选择时，要注意条件的完备性(如：在证明线面垂直时，往往只重视证明线线垂直，而易忽视平面内的两直线相交)．21．①②【解析】【分析】对于①，由正方体的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论；对于②，由正方体的性质和线面垂直的性质可得，，从而由线面垂直的判定定理可得结论，对于③，由线线垂直的判定方法判断即可【详解】如图，正方体中，由于，由直线和平面平行的判定定理可得平面，故①正确.由正方体的性质可得，，故平面，故.同理可得.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，平面，故②正确.过点与异面直线成角的直线必和也垂直过点与直线成角的直线必和垂直则该直线必和平面垂直，满足条件的只有直线，故③不正确.故答案为：①②.22．②④【解析】【分析】对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值． 对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立．对于④，当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．【详解】对于①：如图，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，又，所以，如果CN⊥AB1，可得EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①不正确；对于②：如图，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得，所以NC是定值，故②正确． 对于③：如图，取AM中点O，连接B1O，DO，由，得，假设，，所以AM⊥面ODB1，得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，所以假设不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，由，所以，所以，设AD中点H，，为三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且∴，又在△中，，即，∴，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，∴面，而面，有：，，∴平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，∴【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.24．（1）证明见详解；（2）证明见详解；【解析】（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.【详解】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）连接与交于点，可证得，,从而得证；（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）连接与交于点，连.，，且是和的中点，，,和为平面内的两条相交直线，平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，，所以，故26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F故，面ABC，面ABC，面ABC；由点分别为中点可得：，面ACD，面ACD，面ACD，由可知，面ACD，且，故平面平面ACD．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.27．（1）证明见解析；（2）α＝45°.【解析】【分析】（1）先取PD的中点E，连接NE，AE，利用中位线定理证明MNAE，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先判定α＝45°时符合题意，再根据α＝45°，证明MN⊥PD， CD⊥MN，利用线面垂直的判定定理证明结论即可.【详解】(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图.∵N是PC的中点，∴NEDC且NE＝DC，又∵DCAB且DC＝AB，AM＝AB，∴AMCD且AM＝CD，∴NEAM，且NE＝AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MNAE，∵AE⊂平面PAD，MN平面PAD，∴MN平面PAD；(2)解：当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN//AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN，又CDPD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.28．详见解析.【解析】【详解】试题分析:由FH∥PC，所以FH∥平面PCE, 由四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，可得AF∥平面PCE,进而可得平面AFH∥平面PCE.试题解析:因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.29．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取AD的中点M，连结PM，MB，可证四边形BCDM是平行四边形，从而得到以BM⊥AD，结合PM⊥AD可证AD⊥平面PBM，从而可证PB⊥BC.（2）取PD的中点N，连结AN，根据面面垂直可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥CD.结合题设条件可得CD⊥平面PAD，从而得到要求证的面面垂直.【详解】证明：（1）取AD的中点M，连结PM，MB.因为三角形PAD为等边三角形，所以PM⊥AD.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，所以DM=BC，且DM//BC，所以四边形BCDM是平行四边形.因为∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以BM⊥AD.因为PM∩BM=M，PM平面PBM，BM平面PBM，所以AD⊥平面PBM，而平面PBM，所以AD⊥PB.因为AD//BC，所以PB⊥BC.（2）取PD的中点N，连结AN.因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD.因为平面PAD⊥平面PCD，且平面PAD∩平面PCD=PD，AN⊂平面PAD，所以AN⊥平面PCD， 平面PCD，所以AN⊥CD.在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AN∩AD=A，且AN平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.30．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．∵四边形BCC1B1是平行四边形．∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD， 同理可得，OB，在△OBD中，cos∠ODB∴AB1与BD所成角的余弦值为．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算．31．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，又结合面面平行的判定可证面面；（2）应用正方形、矩形、直三棱柱的性质，利用线面垂直的判定证明平面即可；【详解】（1）在△ 中，，分别是，的中点，即，∵面面，面，面，∴面又∵底面是正三角形且，是的中点，即在正方形中有为平行四边形，有，∵面面，面，面，∴面，而，∴面面（2）在正方形中有，若的交点为，连接、，即有矩形：，，而，则面，∴面，而面，即，又，∴面【点睛】本题考查了应用线面平行、面面平行的判定证平行，线面垂直判定证垂直，属于中档题.32．（1）；（2）证明见解析【解析】（1）取中点，连接，可得，得出即为异面直线与所成角，求出即可；（2）先通过平面和平面得出平面平面，即可证明.【详解】（1）取中点，连接，在三棱柱中，是中点，则，四边形是平行四边形，，即为异面直线与所成角或其补角，三棱柱为正三棱柱，设底面边长为2，，则，，,，，所以异面直线与所成角的大小为；（2）由（1）可知，平面，平面，平面，是中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．33．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明，从而可证平面，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示空间直角坐标系，用向量法求二面角．【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，又，所以，，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，．所以二面角的余弦值为．34．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面来证明.（2）利用线面平行的性质，由平面，得到，进而求得的值.【详解】（1）因为平面，所以.因为四边形是矩形，所以，因为，所以平面，所以.（2）连接交于，连接.由于平面，平面平面，所以.所以，由于且是的中点，所以，所以.
专题强化一：线面、面面的平行和垂直位置关系一、单选题1．（2023·福建省厦门集美中学高一期末）设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则2．（2023·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，，那么D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么3．（2022·全国·高一）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC5．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是A．B．平面C．直线∥平面D．7．（2020·浙江杭州·高一期末）已知表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2023·辽宁·沈阳二中高一期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．（2023·湖北·钟祥市实验中学高一期中）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A．若α⊥β，mα，nβ，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交､平行或异面C．若m⊥α，nα，则直线m与n一定垂直D．若mα，nβ，αβ，则直线m与n一定平行10．（2023·湖南·临澧县第一中学高一期末）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（ ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，，则11．（2019·江西·宜丰中学高一阶段练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是( )A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．二面角M－AC－B等于90°D．异面直线BC1与AC所成的角等于60°12．（2020·浙江杭州·高一期末）已知两条直线与两个平面，给出下列命题:①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确的命题个数为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题13．（2023·江苏·金陵中学高一期末）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若则D．若，且与不平行，则14．（2023·河北·沧州市一中高一阶段练习）已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则15．（2023·全国·高一课时练习）(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（ ）A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角16．（2023·全国·高一单元测试）如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A．四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面17．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ）A．为的中点B．与所成的角为C．平面平面D．点与点到平面的距离相等18．（2023·山东省淄博实验中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A．在棱上存在点，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面三、填空题19．（2023·浙江·高一单元测试）有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．20．（2022·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足___________ 时，平面平面(只要填写一个你认为正确的条件即可)21．（2023·全国·高一课时练习）如图，为正方体，下面结论中正确的结论是___________.(把你认为正确的结论都填上)①平面；②平面；③过点与异面直线和成角的直线有2条.22．（2020·辽宁·辽师大附中高一期末）如图，矩形中，为的中点，将△沿直线翻折成△，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.四、解答题23．（2023·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，（1）求证：平面（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．24．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，在三棱柱ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.25．（2023·全国·高一专题练习）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，.（Ⅰ）若是与的交点，求证：平面；（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.26．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）如图所示，在四棱锥中，四边形ABED是正方形，点分别是线段的中点．（1）求证：平面（2）是线段BC的中点，证明：平面平面．27．（2023·江苏·高一课时练习）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD?28．（2023·江苏省如皋中学高一阶段练习）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.29．（2023·江苏·高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，为等边三角形.（1）求证：PB⊥BC；（2）若平面PAD⊥平面PCD，求证：平面PAD⊥平面ABCD.30．（2023·黑龙江·鸡西实验中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求AB1与BD所成角的余弦值.31．（2023·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面平面；（2）求证：平面32．（2023·湖北·随州市第一中学高一期中）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，为中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且，求异面直线与所成角的大小；（2）求证：平面.33．（2023·全国·高一课时练习）如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求二面角的余弦值．34．（2020·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面.（1）求证：；（2）若E是的中点，F在上，平面，求的值. 参考答案：1．C【解析】【分析】在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．2．C【解析】【分析】A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．【详解】A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；B.因为，，所以或，又，所以，故错误；C. 因为，，所以，又，所以，故正确；D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．故选：C3．D【解析】【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.故选：D4．D【解析】【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△中有，在面中，MN不与AB平行；，知：MN与BC所成的角为；因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由面，面即，而知，有面，又面，所以面面；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，，则或，故选项A不正确；对于B：如图平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，但与相交，故选项B不正确；对于C：如图在正方体中，平面为平面，平面为平面，直线为，直线为，满足，，，则，故选项C不正确；对于D：若，，可得或，若，因为，由面面垂直的判定定理可得；若，可过作平面与相交，则交线在平面内，且交线与平行，由可得交线与垂直，由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；故选：D.6．D【解析】【详解】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．7．D【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的判定定理与性质依次对选项进行判断，即可得到答案．【详解】对于A，当时，则与不平行，故A不正确；对于B，直线与平面平行，则直线与平面内的直线有两种关系：平行或异面，故B不正确；对于C，若，则与不垂直，故C不正确；对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确；故答案选D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系相关定理的应用，属于中档题．8．D【解析】【分析】题中是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.【详解】A.直线也可能相交或者异面；B.若在平面内则不成立；C.直线也可能异面；D.因为 ，所以，且，故.故选：D【点睛】要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和笔来进行分析.9．C【解析】【分析】借助于正方体，对于A：取特例排除；对于B：取特例排除；对于C：利用线面平行的性质及线面垂直的性质证明；对于D：直接验证即可.【详解】如图示，在正方体中对于A：若α⊥β，mα，nβ，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，若取m为BC，n为A1B1，则直线m与n异面，故A错误；对于B：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，不妨取面ABCD为平面α，面ABA1B1为平面β，则直线m与n垂直，不可能平行，故B错误；对于C：若m⊥α，nα，因为nα，过n作平面，则ln.因为m⊥α，所以m⊥l，又ln，所以m⊥n.故C正确；对于D：若mα，nβ，αβ，不妨取面ABCD为平面α，面A1B1C1D1为平面β，则两个平面内的直线m与n可能平行，也可能异面.故D错误.故选：C.【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了；（2）基本的点线面的位置关系的判断，可以借助于长方体（教室）进行判断.10．C【解析】【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，又因为，可得，所以C项正确；对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.11．C【解析】【分析】在正方体内由线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及线面角、线线角的知识来判断【详解】对于A，连接，交于，则四边形为平行四边形故平面平面平面，故正确对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，,易证平面，则平面，故正确；对于C，因为，则为二面角的平面角，显然不等于，故错误对于D，为异面直线与所成的角，为等边三角形，，故正确故选C【点睛】本题考查了在正方体内的线面平行、线面垂直，求二面角的平面角的大小以及异面直线的大小，需要熟练运用判定方法等相关知识，较为综合12．A【解析】【分析】结合线面平行定理和举例判断.【详解】若，则可能平行或异面，故①错误；若，则可能与的交线平行，故②错误；若，则，所以，故③正确；若，则可能平行，相交或异面，故④错误；故选A.【点睛】本题线面关系的判断，主要依据线面定理和举例排除.13．BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A：若，则与平行或相交或，A选项错误；B：因为，所以或，又，所以，B选项正确；C：若则与相交或平行或，C选项错误；D：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D选项正确；故选：BD.14．BD【解析】【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；对于C，若，，，则或，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.故选：BD.15．ABC【解析】【分析】分别用面面平行、面面垂直、线线角、二面角等知识对每个选项判断即可.【详解】对于选项A：∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC.故A正确；对于选项B：∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，又平面，∴平面EFG⊥平面ABC. 故B正确；对于选项C：由选项A知平面EFG∥平面PBC，且平面与两平面的交线分别为与，所以EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角.故C正确；对于选项D：∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．故D错误.故选：ABC.16．BC【解析】【分析】根据点线面的位置关系逐个判断选项即可.【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.17．ACD【解析】根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案.【详解】对于A项，连接交于点，连接，如图所示，//面，面 ，且面面，// ，又四边形是正方形，为的中点，为的中点，故A正确；对于B项，，为 与所成的角，面，面 ，，在中，，，故B错误；对于C项，面，面 ，，又，， 面面，又平面 ，故C正确.因为平面，且为线段的中点，所以点与点到平面的距离相等，所以D正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）根据线面平行的性质可以判断A项真假；（2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假；（3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假；（4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假.18．ABC【解析】【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，又为的中点，又，，在平面内，且相交于点，平面，故选项A正确；B选项：由选项A知，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；C选项：∵平面， ， 平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，设，则，，在直角中，，即，故二面角的大小为，故选项C正确；D选项：因为平面平面，，所以平面，又平面，所以.假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以，而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.故选：ABC.19．①②③【解析】【分析】根据公理可得出结论.【详解】公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.【点睛】本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.20．DMPC(或BMPC)【解析】【详解】试题分析：连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．考点：1．线面垂直的判定；2．面面垂直的判定．【方法点睛】本题考查空间中线线、线面、线面垂直关系的转化，属于中档题；在处理空间中的垂直关系或平行关系时，要注意线线垂直或平行的判定，即空间问题平面化；在利用线面或面面垂直的判定或选择时，要注意条件的完备性(如：在证明线面垂直时，往往只重视证明线线垂直，而易忽视平面内的两直线相交)．21．①②【解析】【分析】对于①，由正方体的性质可得，再由线面平行的判定定理可得结论；对于②，由正方体的性质和线面垂直的性质可得，，从而由线面垂直的判定定理可得结论，对于③，由线线垂直的判定方法判断即可【详解】如图，正方体中，由于，由直线和平面平行的判定定理可得平面，故①正确.由正方体的性质可得，，故平面，故.同理可得.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，平面，故②正确.过点与异面直线成角的直线必和也垂直过点与直线成角的直线必和垂直则该直线必和平面垂直，满足条件的只有直线，故③不正确.故答案为：①②.22．②④【解析】【分析】对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值． 对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立．对于④，当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．【详解】对于①：如图，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，又，所以，如果CN⊥AB1，可得EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①不正确；对于②：如图，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NEAB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得，所以NC是定值，故②正确． 对于③：如图，取AM中点O，连接B1O，DO，由，得，假设，，所以AM⊥面ODB1，得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，所以假设不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，由，所以，所以，设AD中点H，，为三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且∴，又在△中，，即，∴，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，∴面，而面，有：，，∴平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，∴【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.24．（1）证明见详解；（2）证明见详解；【解析】（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.【详解】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）连接与交于点，可证得，,从而得证；（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）连接与交于点，连.，，且是和的中点，，,和为平面内的两条相交直线，平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，，所以，故26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】证明：由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F故，面ABC，面ABC，面ABC；由点分别为中点可得：，面ACD，面ACD，面ACD，由可知，面ACD，且，故平面平面ACD．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.27．（1）证明见解析；（2）α＝45°.【解析】【分析】（1）先取PD的中点E，连接NE，AE，利用中位线定理证明MNAE，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先判定α＝45°时符合题意，再根据α＝45°，证明MN⊥PD， CD⊥MN，利用线面垂直的判定定理证明结论即可.【详解】(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图.∵N是PC的中点，∴NEDC且NE＝DC，又∵DCAB且DC＝AB，AM＝AB，∴AMCD且AM＝CD，∴NEAM，且NE＝AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MNAE，∵AE⊂平面PAD，MN平面PAD，∴MN平面PAD；(2)解：当α＝45°时，MN⊥平面PCD，证明如下：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN//AE，∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN，又CDPD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.28．详见解析.【解析】【详解】试题分析:由FH∥PC，所以FH∥平面PCE, 由四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，可得AF∥平面PCE,进而可得平面AFH∥平面PCE.试题解析:因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.29．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取AD的中点M，连结PM，MB，可证四边形BCDM是平行四边形，从而得到以BM⊥AD，结合PM⊥AD可证AD⊥平面PBM，从而可证PB⊥BC.（2）取PD的中点N，连结AN，根据面面垂直可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥CD.结合题设条件可得CD⊥平面PAD，从而得到要求证的面面垂直.【详解】证明：（1）取AD的中点M，连结PM，MB.因为三角形PAD为等边三角形，所以PM⊥AD.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，所以DM=BC，且DM//BC，所以四边形BCDM是平行四边形.因为∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以BM⊥AD.因为PM∩BM=M，PM平面PBM，BM平面PBM，所以AD⊥平面PBM，而平面PBM，所以AD⊥PB.因为AD//BC，所以PB⊥BC.（2）取PD的中点N，连结AN.因为三角形PAD为等边三角形，所以AN⊥PD.因为平面PAD⊥平面PCD，且平面PAD∩平面PCD=PD，AN⊂平面PAD，所以AN⊥平面PCD， 平面PCD，所以AN⊥CD.在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AN∩AD=A，且AN平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.30．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．∵四边形BCC1B1是平行四边形．∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD， 同理可得，OB，在△OBD中，cos∠ODB∴AB1与BD所成角的余弦值为．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算．31．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，又结合面面平行的判定可证面面；（2）应用正方形、矩形、直三棱柱的性质，利用线面垂直的判定证明平面即可；【详解】（1）在△ 中，，分别是，的中点，即，∵面面，面，面，∴面又∵底面是正三角形且，是的中点，即在正方形中有为平行四边形，有，∵面面，面，面，∴面，而，∴面面（2）在正方形中有，若的交点为，连接、，即有矩形：，，而，则面，∴面，而面，即，又，∴面【点睛】本题考查了应用线面平行、面面平行的判定证平行，线面垂直判定证垂直，属于中档题.32．（1）；（2）证明见解析【解析】（1）取中点，连接，可得，得出即为异面直线与所成角，求出即可；（2）先通过平面和平面得出平面平面，即可证明.【详解】（1）取中点，连接，在三棱柱中，是中点，则，四边形是平行四边形，，即为异面直线与所成角或其补角，三棱柱为正三棱柱，设底面边长为2，，则，，,，，所以异面直线与所成角的大小为；（2）由（1）可知，平面，平面，平面，是中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．33．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明，从而可证平面，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示空间直角坐标系，用向量法求二面角．【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，又，所以，，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，．所以二面角的余弦值为．34．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面来证明.（2）利用线面平行的性质，由平面，得到，进而求得的值.【详解】（1）因为平面，所以.因为四边形是矩形，所以，因为，所以平面，所以.（2）连接交于，连接.由于平面，平面平面，所以.所以，由于且是的中点，所以，所以.
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