（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题训练二 三角恒等变换技巧基础过关必刷30题【附答案解析】

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专题训练二：三角恒等变换技巧基础过关必刷30题一、单选题1．（2022·全国·高一）若，则（       ）A． B． C． D．2．（2023·江苏·高一期末）已知函数，则下列结论正确的是A．的最大值为1 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称3．（2022·广西·高一期末）已知，则=（       ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一）若，则（       ）A． B． C． D．5．（2020·全国·高一课时练习）已知函数，，则的值域为（       ）A． B． C． D．6．（2023·湖北武汉·高一期中）设，则有（       ）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（       ）A． B． C． D．8．（2020·四川·成都外国语学校高一）在中，已知，给出以下四个论断①②③④其中正确的是（       ）A．②④ B．①③ C．①④ D．②③9．（2020·湖北·襄阳四中高一阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是A． B．C． D．10．（2023·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（       ）A．B．函数的最大值为1C．函数在上单调递增D．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象二、多选题11．（2020·重庆市铁路中学校高一阶段练习）已知，且，则（       ）A． B．C． D．12．（2023·浙江省三门第二高级中学高一期末）下列各式中值为的是（       ）A． B．C． D．13．（2023·河北·张家口市第一中学高一）函数，则下列结论中正确的是（       ）A．的图象是由y= 2sin2的图象向左移个单位得到的B．在上单调递增C．的对称中心的坐标是D．函数在内共有个零点14．（2023·江苏·常熟市中学高一阶段练习）已知，，，，则（       ）A． B．C． D．三、填空题15．（2023·全国·高一课时练习）若，则 ______．16．（2020·四川·棠湖中学高一阶段练习）__________.17．（2023·河北·张家口市第一中学高一期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是___________.18．（2020·江苏·高一课时练习）已知当且时，函数取得最大值，则a的值为________.四、解答题19．（2023·全国·高一单元测试）已知．（1）求的值；（2）求的值．20．（2023·安徽·淮北一中高一阶段练习）已知.（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（2023·四川·仁寿一中高一开学考试）已知.（1）求图象的对称轴方程；（2）若存在，使，求实数t的取值范围.22．（2023·江苏·启东中学高一阶段练习）计算求值：（1）（2）23．（2014·江西南昌·高一期末）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域.24．（2023·云南·弥勒市一中高一阶段练习）已知函数的最小正周期为，最大值为1（1）求，的值，并求的单调递增区间；（2）将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象．若，求满足的的取值范围．25．（2020·四川·成都市第十八中学校高一期中）已知向量，，函数．（1）当时，求的值域；（2）若对任意，，求实数的取值范围．26．（2023·上海·高一期中）已知向量，，函数，，.（1）当时，求的值；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.27．（2023·全国·高一课时练习）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．28．（2023·黑龙江·大庆中学高一期中）已知函数（1）求函数的对称轴方程；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当，求的值域．29．（2023·江苏·西安交大苏州附中高一）已知函数．（1）求函数在区间上的最大值；（2）已知，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．30．（2023·全国·高一专题练习）已知函数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【详解】，，，，解得，，.故选：A.2．C【详解】函数= sin（2x）+1对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．故选C．3．B【详解】由题意，所以，所以．故选：B．4．C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．5．B【详解】，因为，所以，当时，；当时，，即函数的值域为，故选：B.6．C【详解】，，，因为函数在上是增函数，所以.故选：C【点睛】利用三角恒等变换公式化简运算时，需要先判断运用的是和差公式还是二倍角公式，其次还需要注意公式的逆运用，求解时有涉及开方的情况要判断正负，注意公式的应用.7．C【解析】计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，，则，，而，所以，.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.8．A【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得进而求得进而求得①等式不一定成立，排除①；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；不一定等于1，排除③；利用同角三角函数的基本关系可知，进而根据可知，进而可知二者相等，得④正确．【详解】解：，，，则：，即：，整理求得，，不一定成立，①不正确；，由于，则：，，，所以②正确；，，所以，所以④正确；而不一定成立，故③不正确；综上知②④正确.故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和公式、正弦函数的性质、三角形的内角关系等知识的应用，考查了学生综合分析问题和推理运算能力．9．A【解析】【详解】因为，所以，由正弦定理可得 ，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，故选A．10．C【解析】【分析】由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用余弦函数的图像和性质即可求解．【详解】解：因为的最小正周期为，所以，解得，故A错误；由于，可得的最大值为2，故B错误；在上，，故单调递增，故C正确；将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数，故D错误．故选：C．11．AB【解析】【分析】由已知条件可知为第四象限角，利用同角三角函数关系、二倍角公式对各个选项进行判断即可.【详解】因为，且，则为第四象限角，所以，，A正确；，B正确；，，，C不正确；，D不正确；故选：AB【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.12．BD【解析】利用三角函数的两角和差公式，以及二倍角公式，逐个选项验证，即可求解【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，，C错误；对于D，，D正确；故选：BD【点睛】方法点睛：本题主要考查三角函数的两角和差公式，以及二倍角公式，使用到的公式有：，， ，，本题难度属于中档题13．BCD【解析】【分析】A.化简得，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由得该选项正确；D.解方程得该选项正确.【详解】，把的图象向左平移个单位，得到，所以选项不正确;设，则在上单调增，,又在上单调递增，在上单调递增，所以选项B正确;由得对称中心为，所以选项C正确；由得或解得或，又时，，共个零点，所以选项D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：函数的零点问题的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得，再分析函数的图象得解）. 要根据已知条件灵活选择方程求解.14．BC【解析】先根据，判断角的范围，再根据求；根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.【详解】①因为，所以，又，故有，，解出，故A错误；②，由①知：，所以，所以，故B正确；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因为，，所以，有，故C正确；④由，由③知，，两式联立得：，故D错误．故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.15．【解析】【分析】利用角的关系，建立函数值的关系求解．【详解】已知，且，则，故．【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．16．1【解析】【详解】，.故答案为1点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.17．【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式和辅助角公式，将方程整理化简，利用三角函数的图象和性质，确定条件关系，进行求解即可.【详解】 ， ，即， ，即，，，设，则在上有两个不同的实数根， ，，的图像有两个不同的交点，如图由图象可知， ，即 故答案为：18．【解析】【分析】根据二倍角公式化简函数f（x），运用整体思想，当f（x）的最大值时，确定的取值，运用诱导公式计算进而得到，再利用二倍角的正切公式求a的取值即可.【详解】函数f（x）＝sinx (sinx+acosx)=(，cos),当时，函数f（x）取得最大值，此时∴cos，∴，∴a＝故答案为．【点睛】考查三角函数的化简变形，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式、二倍角公式，考查逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．19．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得；（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．【详解】解：（1），解得；（2）．【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．20．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角的三角函数关系，进行弦化切，代入即得结果；（2）先把所求的角写成，结合所给的角的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和与差的三角函数公式，即求得结果.【详解】解：（1）∵，∴，解得.∴；（2）∵，且∴∴，∴，∴.∴.∴，又∵，∴.21．（1）对称轴方程，；（2）.【解析】【分析】（1）先运用降幂公式、辅助角公式，将原函数的解析式化为或的形式，然后运用整体法求解对称轴；（2）根据题目条件，只需使成立即可，然后三角函数的图象及性质求解的最小值，然后解得的取值范围.【详解】解：（1），令，得，，所以图象的对称轴方程为，．（2）若存在，使，则，由得，根据余弦函数的性质可得，当，即时，函数取得最小值，所以，故.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用，解答的一般思路如下：（1）利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时，先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简，将原函数解析式化简为的形式，然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等；（2）解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时，要注意参数分离、整体思想的运用，将问题转化为处理函数最值问题来解决.22．（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）先通过切化弦进行化简整理，利用两角和的正弦公式的逆应用，再结合二倍角公式和诱导公式化简即得结果；（2）先拆分，结合两角和的正弦公式和余弦公式化简整理成，再拆分，结合两角差的正弦公式和余弦公式化简即得结果.【详解】解：（1）；（2）.23．（1）减区间；（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式将函数化为的形式，令处于的递减区间内，求出x的范围即可；（2）由三角函数图像平移变换法则，求出新函数的解析式，结合的图像求出值域.【详解】（1）∵,由,解出,所以的减区间为（2）因为将左移得到，横坐标缩短为原来的,得到∵,所以所求值域为【点睛】本题考查三角函数图像的平移及伸缩变换以及单调区间和给定区间上的值域，平移时注意将系数提公因式后对x进行加减，求值域时注意结合函数图像会使得解题更加简便.24．（1），．；（2）.【解析】（1）将函数转化为，根据最小正周期为，最大值为1，由，求得函数，再利用正弦函数的性质求单调区间.（2）根据三角函数的图象变换得到，再由求解.【详解】（1）由题意．∴，．解得，．∴，令，∴，所以函数的单调递增区间为．（2）由题意得，，∴，∴，又∵，∴，故的取值范围为．【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝sinx的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．25．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积，得到函数表达式，利用倍角公式、降幂公式，化简得，根据自变量x的范围，求的值域．（2）利用换元法，令 ，转化成关于t的一元二次不等式．通过分离参数，结合基本不等式，求参数的取值范围．【详解】（1）                                       当时，，，所以的值域为．          （2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，；             当时，，恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．【点睛】本题考查了利用降幂公式、倍角公式对三角函数式化简、求值，利用换元法、基本不等式等、分离参数法等解不等式，综合性强，属于中档题．26．（1）；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可；（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.【详解】解：（1），当时，，则；（2）∵，∴，则，令，则，则，对称轴，① 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，② 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得，③ 当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，综上若的最小值为，则实数；（3）令，得或，∴方程或在上有四个不同的实根，则，得，则，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.27．（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【解析】(Ⅰ)先用降幂公式,辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;(Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.28．（1）对称轴方程为x，k∈Z．（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．(2)由平移变化得的解析式，再利用整体换元法求值域【详解】（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2sin（x）cos（x）＝sin2xsin（2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x），∴令2xkπ，求得x，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．（2）令则，故的值域为29．（1），（2）.【解析】【分析】（1）将化为，然后可得答案；（2），由得，然后求出右边的最大值即可.【详解】（1）当时，所以当，即时，（2）由得令，所以当时取得最大值所以30．（1）；（2）存在，当时，；当时，.【详解】（1），当时，，，则，要使对任意恒成立，令，则，对任意恒成立，只需，解得，实数的取值范围为；（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有个零点，即函数与直线在上恰有个交点.当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：①当或时，函数与直线在上无交点；②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，此时要使函数与直线在上有个交点，则；③当或时，函数直线在上有两个交点，此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；④当时，函数与直线在上有个交点，此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.综上所述，存在实数和正整数满足条件：当时，；当时，.