数学必修 第二册9.2 向量运算教案设计

第九章　平面向量

第9.2.1节　　向量的基本运算

向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．

1.教学重点：掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.

2.教学难点：理解向量加法、减法、数乘的几何意义.

多媒体调试、讲义分发。

2019年6月17日四川宜宾长宁县发生6.0级地震，地震发生后一架救援直升机从甲地飞往乙地， 再从乙地飞往丙地视察灾情.

问题　我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？

提示　从甲地经乙地到丙地两次位移与从甲地直接到丙地的位移相同，但距离不相同.

1.向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算.

(2)运算法则：

2.相反向量　利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法，向量的减法是向量加法的一种逆运算。

(1)定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.

a－b＝a＋(－b)，减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.

(2)几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

3.向量的数乘运算　

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.

③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；

(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

①λ(μa)＝(λμ)a；  ②(λ＋μ)a＝λa＋μa；  ③λ(a＋b)＝λa＋λb；

4.共线向量定理　 三点共线问题通常转化为向量共线问题

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

题型一　向量的加法

【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.

解　法一　如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求.

法二　如图②，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作▱CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.则即为所求.

规律方法　用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.

【例2】　化简：向量运算化简常有两种方法，一是代数法，借助于向量加法的交换律和结合律，二是几何法，通过作图求解

(1)＋；

(2)＋＋；

(3)＋＋＋＋.

解　(1)＋＝＋＝.

(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.

(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.

规律方法　向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.

解　作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，

||＝||＝|v水|＝10 m/min，

||＝|v船|＝20 m/min，

∴cos α＝＝＝，

∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.

故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.

题型二　向量的减法

用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”

【例4】　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

解　法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

图①　　　　　　　　　图②

法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

规律方法　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量.

【例5】　(1)向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.

其中正确的是________(填序号).

解析　①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝，故填①④.

答案　①④

(2)化简：①＋－－；

②(＋＋)－(－－).

解　①＋－－＝(－)＋(－)

＝＋＝.

②(＋＋)－(－－)＝＋－＋

＝＋＋＋＝＋＝0.

规律方法　1.向量减法运算的常用方法

2.向量加减法化简的两种形式

(1)首尾相连且为和.

(2)起点相同且为差.

解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.

【例6】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.

解　因为四边形ACDE是平行四边形，

所以＝＝c，＝－＝b－a，

故＝＋＝b－a＋c.

题型三　向量的线性运算

向量的线性运算类似于多项式的运算，主要是合并同类项，实数看作是向量的系数

【例7】　(1)3(6a＋b)－9＝________；

(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.

解析　(1)3(6a＋b)－9＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)将原等式变形为

2y－a－c－b＋y＋b＝0，

即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，

∴y＝＝a－b＋c.

答案　(1)9a　(2)a－b＋c

规律方法　向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.

【例8】　设a，b是不共线的两个非零向量.

(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；

(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.

(1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，

而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，

∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.

(2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，

∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，

即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，

∴

解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.

规律方法　1.证明或判断三点共线的方法

(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.

(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.

2.利用向量共线求参数的方法

已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.

【例9】　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形.又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.

解　因为＝＝＝(－)＝(a－b)，

所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.

因为＝＝，

所以＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b).

＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.

规律方法　用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

1.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)

A.＋＝  B.＋＝

C.＋＝  D.＋＝

解析　＋＝＋＝.

答案　C

2. 设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)

A.k＝0   B.k＝1   C.k＝2   D.k＝

解析　由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，

即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝λe2－2λe1，

又e1与e2是不共线向量，∴解得

答案　D

3. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)

A.a＋b和a－b  B.a＋b和b－a

C.a－b和b－a  D.b－a和b＋a

解析　由向量的加法、减法得，

＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.故选B.

答案　B

4. 如图所示，已知＝，用，表示.

解　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.

向量a＋b，a－b的几何意义有着重要的应用，它们分别对应着以向量a，向量b为邻边的平行四边形的两条对角线上的向量；向量共线的判定(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线.