重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角 练习

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重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角 【题型归纳目录】题型一：利用中位线平移题型二：利用四边形平移题型三：补体法题型四：平移两次【方法技巧与总结】异面直线所成的角①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．②范围： = 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．【典型例题】题型一：利用中位线平移【典例1-1】（2024·高三·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（    ）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·高一·江苏连云港·期末）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．题型二：利用四边形平移【典例2-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·高一·江西南昌·期末）在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为 .题型三：补体法【典例3-1】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【典例3-2】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为（     ）A． B． C． D．【变式3-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .题型四：平移两次【典例4-1】（2024·高一·山西·期末）如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 ．  【典例4-2】（2024·高一·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有 条.【变式4-1】（2024·高一·湖南长沙·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .【过关测试】1．（2024·高三·浙江·开学考试）已知体积为6的四面体满足，，，则异面直线与所成的角的大小为 ．2．（2024·高二·上海宝山·期中）若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有 条.3．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，则异面直线与所成的角的大小为 .4．（2024·高二·上海静安·阶段练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝ ．5．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体中，点P在线段上运动，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 .6．（2024·高一·天津和平·期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 .7．（2024·高一·湖南·期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .