第13：几何体中的表面积与体积（A卷基础卷）-2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷

第14章：几何体中的表面积与体积（A卷基础卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（山东日照一中期中）棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：

，则：，

该长方体的外接球的表面积为.

本题选择B选项.

2、（2020·山东德州市·高一期末）若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,

所以，所以圆锥的侧面积为.

故选：C.

3、（山东师大附中期中）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是（　　）  

A.96             B.16          C.24           D.48

【答案】D

【解析】由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝πr3＝π，得r＝2.由S柱底＝a×r×3＝a2，得a＝2r＝4，所以V柱＝S柱底·2r＝48.

4、（2021·江苏南京市）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（      ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形

等腰梯形的高为：

等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：

本题正确选项：

5、（2020·长春市第二实验中学高一期末）正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.

6、（2020·威海市教育教学研究中心高一期末）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（    ）

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

【答案】B

【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），

所以它的体积为

所以(立方丈).故选：B.

7、（2020·甘肃省兰州一中高一期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如下图所示，在正四棱锥中，设底面正方形的中心为点，

可知该正四棱锥的外接球球心在直线上，

由于正方形的边长为，，

易知平面，且平面，，

且，设正四棱锥的外接球半径为，且，

由勾股定理得，即，解得，

因此，该正四棱锥的外接球的表面积为.故选：C.

8、（2020·河北沧州市一中高一期末）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为

.

故选：A.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020·江苏省海安高级中学高一月考）下列说法中正确的有（    ）

A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为

B．用斜二测法作△ABC的直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为

C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分

D．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

【答案】ACD

【解析】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积＝6•1×1×sin60°；

又侧棱长为,则棱锥的高h2,

所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；

对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为S′a2×sin60°,则原△ABC的面积为S＝2S′＝2a2a2,所以B错误；

对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；

所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；

对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；

综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.

10、（2020·莆田第二十五中学高一期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等

【答案】AD

【解析】A．由题意及图形知，当点F与点重合时，故选项A错误；

B．平面ABCD，由正方体的两个底面平行，

平面，故有平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；

C．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；

D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．故选：AD

11、（2020·蒙阴县实验中学高二期末）已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

12、（2020·山东高二期中）已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（    ）．

A．该四棱台的高为 B．

C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台外接球的表面积为

【答案】AD

【解析】

由棱台性质，画出切割前的四棱锥，

由于，，可知△ 与相似比为；

则，，则，则，该四棱台的高为，对；

因为，则与夹角为，不垂直，错；

该四棱台的表面积为，错；

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，

在平面上中，由于，，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对，

故选：AD．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积是______.

【答案】

【解析】设圆锥母线长为，则

侧面积为，故.

故圆锥的高，圆锥体积为.

故答案为：.

14、【2020届江苏省七市第二次调研考试】如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

【答案】

【解析】由题得，，得.

故答案为：

15、【江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末】在正三棱柱ABC  A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，则三枝锥A1  BB1C1 的体积为______.

【答案】

【解析】因为正三棱柱,则底面,是等边三角形

又因为,则三棱柱各棱长均为2,

则,

故答案为：

16、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试】如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则四棱锥的体积为___________.

【答案】9

【解析】连接，

  
∵正四棱柱的体积为27，
点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，
，
，
∴四棱锥的体积．
故答案为：9．

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020·南京航空航天大学附属高级中学高二月考）如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

【解析】

（1）∵，平面平面，平面平面，

∴平面，∴，

取的中点记为，连接，

∵，，∴四边形为平行四边形，

，

在三角形中，，，，

，.

，∴平面，

平面，∴；

（2）设到的距离为，则到的距离也为，

由（1）可知，，解得，

平面，且，

.

18、（2020江苏金陵中学期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为中点．

（1）求证：平面

（2）求四棱锥的体积．

解：（1）证明：取与的交点为，连接，

底面是边长为2的正方形，是中点，

为中点，，

平面，平面，

平面．

（2），，，、平面，

平面，

，，为等边三角形，

．

19、（2020·湖南省常德市一中高一期末）如图四棱锥中，底面是边长为的正方形，其它四个侧面是侧棱长为的等腰三角形，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积

【解析】（1）∵取的中点为，连、，

∵为的中点，∴．

∵为正方形，为的中点，

∴，∴．

∴四边形是，∴．

又 ∵，故平面．

（2）∵为的中点，，∴，

∵为正四棱锥，∴在平面的射影为的中点，

∵，，∴，∴，∴．

20、 （2020年徐州期中）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．[来源:学科网ZXXK]

(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；

(2)当x为何值时，S最大？

【解析】画出圆柱和圆锥的轴截面，

如图所示，

设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得

＝，解得r＝2－.

(1)圆柱的轴截面面积

S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．

(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)

＝－(x－3)2＋6，

∴当x＝3时，S最大，最大值为6.

21、 （苏州中学高一月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（2）若BD＝1，求三棱锥D­ABC的表面积.

【解析】（1）证明：因为折起前AD是BC边上的高，所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，

因为AD⊂平面ABD，[来源:学科网]

所以平面ABD⊥平面BDC.

（2）由（1）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

因为DB＝DA＝DC＝1，所以AB＝BC＝CA＝，

从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，

S△ABC＝×× ＝，

故三棱锥D­ABC的表面积S＝×3＋＝.

22、（2020秋•吉安期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为正三角形，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若点在棱上，且平面，求三棱锥的体积．

（Ⅰ）证明：为正三角形，为的中点，．

，，为的中点．四边形为平行四边形，．

又，，即．

又，平面，平面，

平面．

（Ⅱ）解：连接，交于，连接．

平面，平面，平面平面，．

，，为的中点．四边形为平行四边形，

为的中点，为的中点．

平面平面，平面平面，，

平面．

，则．

．