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苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形优秀练习题
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形优秀练习题，文件包含131基本立体图形十一大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、131基本立体图形十一大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
知识点01 棱柱、棱锥和棱台
棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行．
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
棱台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点．
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
多面体
【即学即练1】（22·23高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
【答案】C
【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误；
对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.
故选：C.
知识点02 圆柱、圆锥、圆台和球
圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；原圆锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴．
2、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．
【即学即练2】（2024·高一·广东广州·期末）在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 .
【答案】8
【解析】
如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴，
∴sin∠BAD最大值为1，
∵为定值，
故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故答案为：8
知识点03 直观图的斜二测画法
用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半．
知识点诠释：
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．
（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
【即学即练3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，所以，
又为正三角形，则，故，
所以.
故答案为：.
题型一：棱柱的结构特征
【典例1-1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体D．平行六面体是四棱柱
【答案】A
【解析】对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，
故A错误；
对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；
对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；
对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确；
故选：A.
【典例1-2】（2024·高一·湖南株洲·期中）“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足；
必要性：当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足.
故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A.
【变式1-2】（2024·高一·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱，
D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.
故选：D
【变式1-3】（2024·高一·江苏无锡·期中）如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和四棱柱B．三棱柱和五棱柱C．三棱台和五棱台D．三棱柱和六棱柱
【答案】B
【解析】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱，
故选：B
【方法技巧与总结】
棱柱结构的辨析方法
（1）扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
（2）举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
题型二：棱锥、棱台的结构特征
【典例2-1】（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【答案】D
【解析】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
故选：D
【典例2-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）给出下列说法：
①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块
其中正确说法的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确；
对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不正确；
对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，所以③不正确；
对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确.
故选：A.
【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形
B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
【答案】B
【解析】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误；
对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误；
对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.
故选：B.
【变式2-2】（22·23高一·全国·单元测试）下列命题中成立的是（ ）
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【答案】B
【解析】对A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起,
所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；
对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，
则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若，
满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；
对D，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体，
比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
判断棱锥、棱台的方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法．
（2）直接法
题型三：简单几何体的表面展开与折叠问题
【典例3-1】（2024·高三·云南昆明·阶段练习）正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为，
为等腰直角三角形，其直角边长为，
将下图中绕翻折至与共平面，
因为，，所以，，共线时，
最小，此时为中点，则最小值为．
故选：C
【典例3-2】（2024·高二·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，所以 ，
所以，所以，即的最小值为.
故选：D
【变式3-1】（2024·高二·四川南充·阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，
由勾股定理得；
②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，
此时.
③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，
在直角三角形中，由勾股定理得．
④若把面和面展开在同一个面内，
过作与行的直线，过作与平行的直线，
所作两直线交于点，则在直角三角形中，
由勾股定理得．
由于，
可得从到两点的最短路径的长度为,
故选：B
【变式3-2】（2024·高一·辽宁锦州·阶段练习）某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ）
A．最B．美C．逆D．敬
【答案】A
【解析】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”．
故选：A．
【变式3-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
因为，所以小虫爬行的最短路程为.
故选：A
【变式3-4】（2024·高一·辽宁·期末）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有，如图，
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：,
所以，即,
在中，，，
由勾股定理可得：,且.
同理可求：，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，,,
由余弦定理得：.
故选：B.
【变式3-5】（2024·高一·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ，
在圆柱中，因为，可得，
即矩形中，，，则最短路径的长度为．
故选：A.
【变式3-6】（2024·高一·河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】A
【解析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，
连接，交AB于点，此时最小，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，
解得，即的最小值为．
故选：A．
【变式3-7】（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，所以.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，
故选:D.
【方法技巧与总结】
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值．
题型四：旋转体的结构特征
【典例4-1】（2024·高二·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（ ）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】A
【解析】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；
对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；
对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
故选：A.
【典例4-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （ ）
A．由两个圆台组成B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成D．由两个棱台组成
【答案】C
【解析】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.
故选:C.
【变式4-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：A
【变式4-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．圆柱的上底面与下底面互相平行
C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥
D．圆旋转一周得到的几何体一定是球
【答案】B
【解析】对于A，通过圆台侧面上一点只能做出条母线，故A错误；
对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；
对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，
绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误；
对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误．
故选：B．
【变式4-3】（2024·高一·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台
B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C．该几何体为圆柱
D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【答案】B
【解析】由题意可知形成如图的几何体，
该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
（2）简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
题型五：复杂的空间图形的结构特征
【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
【典例5-2】（2024·高一·湖北孝感·阶段练习）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，
而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，
分析四个选项，A项，旋转后圆台；
C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；
故选：B
【变式5-1】（18·19高一·全国·单元测试）如图，将阴影部分图形（三角形关于直线l对称）绕直线l旋转一周所得的几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单几何体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体
【答案】D
【解析】根据三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，即可求解．由题意知，三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体，故选D．
【变式5-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为
A．一个圆台B．两个圆锥C．一个圆柱D．一个圆锥
【答案】B
【解析】由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B.
【变式5-3】（2024·高二·浙江温州·期中）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（ ）
A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体D．无法确定
【答案】C
【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体，
故选：C.
【变式5-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且，梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由 、 、 的几何体构成的组合体.
【答案】 圆锥 圆柱 圆锥
【解析】如图所示：作于，于，
绕所在的直线旋转一周得到圆锥；
矩形绕所在的直线旋转一周得到圆柱；
绕所在的直线旋转一周得到圆锥；
故答案为：圆锥；圆柱；圆锥；
【变式5-5】（2024·高一·全国·课时练习）等腰三角形绕底边上的高旋转180°，两腰与底边旋转形成的面所围成的几何体是 ．
【答案】圆锥
【解析】由圆锥的定义可知所得几何体为圆锥．
故答案为：圆锥
【方法技巧与总结】
判断复杂空间图形构成的方法
（1）判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形．
（2）复杂的空间图形是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的．要仔细观察空间图形的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
题型六：旋转体的有关计算
【典例6-1】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为，
因为与半圆相切于点，则，所以，①正确；
过作于，则1，
所以，即球的半径为，②正确；
因为，易得，则，③错误；
过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆．
作于，得，则，即，得，
所以，点的轨迹的长度是，④错误，
故选：B
【典例6-2】（2024·高一·云南·期中）在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A．B．4C．D．8
【答案】D
【解析】
如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB=AD=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故选：D．
【变式6-1】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（ ）
A．B．
C．D．与直角圆锥的母线长有关
【答案】B
【解析】
设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得，
.
故选：B
【变式6-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解．
（2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
题型七：几何体中的基本计算
【典例7-1】（2024·高一课时练习）用一个圆心角为，半径为4的扇形做一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为______.
【答案】
【解析】由题意，圆锥的底面周长为扇形的弧长，
，
则圆锥的底面周长为.
故答案为：.
【典例7-2】（2024·高一课时练习）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【答案】
【解析】当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
因为，所以大长方体对角线最长为.
故答案为：
【变式7-1】（2024·全国·高一专题练习）正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为______.
【答案】
【解析】因几何体为正六棱锥，则其底面为正六边形，则底面中心O到底面一顶点B的距离，六棱锥上顶点A与底面中心连线为六棱锥的高，又侧棱长 2，
则棱锥高.
故答案为：
【变式7-2】（2024·全国·高一专题练习）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
【答案】
【解析】如图所示作出轴截面，
圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，
设圆锥的截面圆的半径为，
因为，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故，
所以截面积.
故答案为：.
【变式7-3】（2024·高一课时练习）已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______.
【答案】5
【解析】如图正四棱柱中，底面是正方形，与底面垂直，则与底面上的直线垂直，
由已知，又，所以．
故答案为：5.
【方法技巧与总结】
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
题型八、简单几何体的组合体
【典例8-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图；
对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B；
对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D.
故选：C
【典例8-2】（2024·高一课前预习）如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
【答案】B
【解析】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．
故选：B．
【变式8-1】（2024·高一课前预习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【解析】设等腰梯形，较长的底边为，
则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，
轴截面如图，
故选：D
【变式8-2】（2024·全国·高一专题练习）请描述如图所示的几何体是如何形成的．
【解析】①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．
【变式8-3】（2024·全国·高一专题练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
【变式8-4】（2024·全国·高一专题练习）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球，
设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上，
由确定的平面交于，连接，得到截面，
截面就是经过侧棱与中点的截面，
平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示，
因为中，圆分别与相切于点，且，圆与相离，
所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意，故选B.
【方法技巧与总结】
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
题型九：水平放置的平面图形的直观图的画法
【典例9-1】（2024·高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
【解析】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴，
如图所示，
画出对应的轴，使，，，如图所示，
即四边形即为正方形的直观图.
（2）取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得等腰梯形的直观图为，
以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得平行四边形的直观图为.
【典例9-2】（22·23高一·全国·随堂练习）画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
【解析】作出坐标系，使得，
连接交轴为，在轴上作线段，
在轴上分别作线段，
过作线段，且，
连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.
如图（2）所示，在轴上作线段，
则轴上分别作出线段，
连接，即为菱形的直观图.
【变式9-1】（22·23高一·全国·课堂例题）画水平放置的正六边形的直观图．
【解析】（1）如图1，在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取与AD垂直的对称轴GH为y轴，x轴与y轴相交于点O．任取点，画出对应的轴，轴，使；
（2）以点为中点，在轴上取，在轴上取；以点为中点画轴，并使；再以为中点画轴，并使；
（3）顺次连接，，，，，，，所得到的六边形就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图，如图2；
（4）擦去辅助线，整理得图3．
【变式9-2】（2024·高一·全国·课后作业）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
【解析】分以下三步进行作图：
（1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的轴、轴，使，
在轴上取点，，使得，；
在轴上取一点，使得；
过作轴，使，连接，，如图②所示．
（3）擦去轴与轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形就是所求的直观图．
【变式9-3】（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
【解析】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示：
画出相应的轴、轴，使，
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
在轴上取，，
过点作轴，使，过点作轴，使，
连结，则四边形就是等腰梯形的直观图.
（2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示：
连接交于，画出相应的轴、轴，使，
在轴上取，，在轴上取，，
过点作轴，且，过点作轴，且，
连结，则五边形就是所求的直观图.
【方法技巧与总结】
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
题型十：空间图形的直观图的画法
【典例10-1】（22·23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；
第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；
第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：
【典例10-2】（22·23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
【解析】①取的中点，画，
用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；
②画平面，在上截取；
画出，；，，且与交于点，如图所示；
③连接、、，即得正三棱柱，
④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：
【变式10-1】（22·23高一·全国·课堂例题）在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．
【解析】画法 （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，．
（2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与．
（3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆．
（4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．
【变式10-2】（2024·高一·全国·课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．
【解析】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，．
（2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面．
（3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图．
（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．
【变式10-3】（2024·高一·全国·课时练习）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是．
【解析】依题意，先作出边长为的正五边形，
同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，
利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，
再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴，
按比例尺在轴作出，连接，如图，
最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.
【方法技巧与总结】
空间图形的直观图的画法
（1）对于一些常见空间图形（柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
（2）画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
（3）z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
题型十一：与直观图还原有关的计算问题
【典例11-1】（2024·高二·安徽宿州·期中）如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为 .
【答案】14
【解析】根据题意，平行四边形是四边形OABC的直观图.
若，，则原四边形OABC为矩形，
如图：其中OA＝3，OC＝4，
故原四边形OABC的周长.
故答案为：14.
【典例11-2】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知水平放置的正方形 的斜二测画法直观图 的面积为 ，则正方形 的边长为 ．
【答案】4
【解析】水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积为，
根据，所以正方形的面积为，
所以正方形的边长为，
故答案为：
【变式11-1】（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使,
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
【变式11-2】（2024·高一·辽宁阜新·期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.
【解析】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形，
所以，原图面积为，直观图的面积为.
【变式11-3】（2024·高一·全国·课时练习）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．
【解析】由题可知，，，∴．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：
则，，，
∴，
∴原平面图形的周长为．
【方法技巧与总结】（直观图还原注意事项）
由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．
（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．
（2）S直观图＝S原图．
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【解析】如图：正四棱锥的底面积为64，则，
又顶点在在底面上的射影是四边形的中心，
过点作于，连接，
则，又侧棱长为，
所以该四棱锥的高为.
故选：A.
2．（2024·高一·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
3．（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据斜二测画法可得
，所以是直角三角形.
故选：B.
4．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【答案】B
【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；
当棱锥的底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等时，棱锥的顶点在底面的投影是底面的中心，所以该棱锥是正棱锥，故B正确；
用一个平行于底面的平面截圆锥，可以得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误.
故选：B.
5．（2024·高三·江苏南通·期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A．每个面都是等边三角形
B．每个面都是直角三角形
C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
6．（2024·高一·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧.
分别为，则；
当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径，
在平面上以B为圆心，1为半径的，
在平面上以D为圆心，1为半径的，
则.所以．
故选：C．
7．（2024·高三·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，
显然弧的长为，弧的长为，设，则，，
则，即，得，于是是的中点，，
因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，
所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.
故选：B
8．（2024·高二·四川·期中）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，
由题意可得，
因为正四棱锥的底面边长为6，所以，，
的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，，
因为，所以，，
因为，所以，.
故选：C
二、多选题
9．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】CD
【解析】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；
对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
但是这样的多面体不是棱台，故B错误；
对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；
对于D，根据圆锥的定义可知D正确.
故选：CD
10．（2023高二·福建泉州·学业考试）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（ ）
A．是直角三角形B．长为
C．长为D．边上的中线长为
【答案】ACD
【解析】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示，
又因为，可得，，所以，
所以边上的中线长度为．
故选：ACD.
11．（2024·高三·安徽六安·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱上一点，满足（d为定值），记P点的个数为n，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．n的最大值为18
【答案】AD
【解析】当点P位于A或处时，d取到最小值.
当P在棱上由A到B移动时，d由增大到，
当P在，，，，等棱上移动时，d的变化也是由增大到.
当P在棱上由B到移动时，d由减少到，再由增大到；
当P在，，，，等棱上移动时，d也是由减少到，再由增大到.
故选：AD.
三、填空题
12．（2024·高一·湖南张家界·期中）数学中有很多公式都是数学家欧拉（Lenhard Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
【答案】12
【解析】因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，
所以棱数，面数，顶点数.
故答案为：12.
13．（2024·高二·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
【答案】 2
【解析】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.
故答案为：；；
14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 .
【答案】
【解析】
如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
综上所述，小虫走过的最短路线的长为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，．
（2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，
在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．
16．（2024·高二·上海·期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【解析】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
17．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.
【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，
如图所示，则的面积为.
18．（22·23高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．
【解析】
如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点，
则此时的周长最小为，
由题意易知，则，
且，
所以，
由，
故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时，
截面周长最小，最小值为.
19．（22·23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．
【解析】
设长方体中，，
则图②中的捆扎方式对应的包装绳的长度为.
如图，在平面中，过作，垂足为，
在平面中，过作，垂足为，
由题设中图①中的捆扎方法有，，，
故，
故，
同理，，
而，
所以
，
所以，
故图①的捆扎用的包装绳短，
故同意售货员这种说法.
课程标准
学习目标
（1）能借助典型的实物、模型或信息技术，抽象出空间几何体，能从多面体和旋转体的组成元素人手，归纳出它们的结构特征，并能用文字语言、图形语言和符号语言（简称“三种语言”）进行描述．
（2）借助实物、模型或信息技术，能说出某种简单组合体是由哪几种基本立体图形、通过怎样的方式组合而成的；能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（1）利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、雉、台、球及简单组合体的结构特征．
（2）能从结构特征的角度描述现实生活中简单物体的结构．
定义
由若干个平面多边形围成的空间图形
图形
相关概念
面：围成多面体的各个多边形，
棱：相邻两个面的公共边，
顶点：棱与棱的公共点
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
知识点01 棱柱、棱锥和棱台
棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行．
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
棱台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点．
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
多面体
【即学即练1】（22·23高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
【答案】C
【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误；
对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.
故选：C.
知识点02 圆柱、圆锥、圆台和球
圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；原圆锥的侧面被截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴．
2、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．
【即学即练2】（2024·高一·广东广州·期末）在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为 .
【答案】8
【解析】
如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴，
∴sin∠BAD最大值为1，
∵为定值，
故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故答案为：8
知识点03 直观图的斜二测画法
用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半．
知识点诠释：
用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．
（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
【即学即练3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，所以，
又为正三角形，则，故，
所以.
故答案为：.
题型一：棱柱的结构特征
【典例1-1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体D．平行六面体是四棱柱
【答案】A
【解析】对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，
故A错误；
对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；
对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；
对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确；
故选：A.
【典例1-2】（2024·高一·湖南株洲·期中）“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足；
必要性：当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足.
故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A.
【变式1-2】（2024·高一·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱，
D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱.
故选：D
【变式1-3】（2024·高一·江苏无锡·期中）如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（ ）
A．三棱柱和四棱柱B．三棱柱和五棱柱C．三棱台和五棱台D．三棱柱和六棱柱
【答案】B
【解析】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱，
故选：B
【方法技巧与总结】
棱柱结构的辨析方法
（1）扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
（2）举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
题型二：棱锥、棱台的结构特征
【典例2-1】（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【答案】D
【解析】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
故选：D
【典例2-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）给出下列说法：
①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块
其中正确说法的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确；
对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不正确；
对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，所以③不正确；
对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确.
故选：A.
【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形
B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
【答案】B
【解析】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误；
对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误；
对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.
故选：B.
【变式2-2】（22·23高一·全国·单元测试）下列命题中成立的是（ ）
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【答案】B
【解析】对A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起,
所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；
对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，
则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若，
满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；
对D，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体，
比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
判断棱锥、棱台的方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法．
（2）直接法
题型三：简单几何体的表面展开与折叠问题
【典例3-1】（2024·高三·云南昆明·阶段练习）正方体的棱长为2，是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为，
为等腰直角三角形，其直角边长为，
将下图中绕翻折至与共平面，
因为，，所以，，共线时，
最小，此时为中点，则最小值为．
故选：C
【典例3-2】（2024·高二·上海浦东新·期中）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，所以 ，
所以，所以，即的最小值为.
故选：D
【变式3-1】（2024·高二·四川南充·阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，
由勾股定理得；
②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，
此时.
③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，
在直角三角形中，由勾股定理得．
④若把面和面展开在同一个面内，
过作与行的直线，过作与平行的直线，
所作两直线交于点，则在直角三角形中，
由勾股定理得．
由于，
可得从到两点的最短路径的长度为,
故选：B
【变式3-2】（2024·高一·辽宁锦州·阶段练习）某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ）
A．最B．美C．逆D．敬
【答案】A
【解析】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”．
故选：A．
【变式3-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
因为，所以小虫爬行的最短路程为.
故选：A
【变式3-4】（2024·高一·辽宁·期末）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有，如图，
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：,
所以，即,
在中，，，
由勾股定理可得：,且.
同理可求：，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，,,
由余弦定理得：.
故选：B.
【变式3-5】（2024·高一·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ，
在圆柱中，因为，可得，
即矩形中，，，则最短路径的长度为．
故选：A.
【变式3-6】（2024·高一·河南南阳·期末）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD，点E在下底面圆周上，且，点F在母线AB上，点G是线段AC的靠近点A的四等分点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】A
【解析】将绕直线AB旋转到的位置，并且点在BC的反向延长线上，
连接，交AB于点，此时最小，如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，
解得，即的最小值为．
故选：A．
【变式3-7】（2024·高三·湖南衡阳·阶段练习）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，所以.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，
故选:D.
【方法技巧与总结】
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值．
题型四：旋转体的结构特征
【典例4-1】（2024·高二·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（ ）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】A
【解析】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；
对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；
对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
故选：A.
【典例4-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （ ）
A．由两个圆台组成B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成D．由两个棱台组成
【答案】C
【解析】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.
故选:C.
【变式4-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：A
【变式4-2】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．圆柱的上底面与下底面互相平行
C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥
D．圆旋转一周得到的几何体一定是球
【答案】B
【解析】对于A，通过圆台侧面上一点只能做出条母线，故A错误；
对于B，由圆柱的定义得圆柱的上底面、下底面互相平行，故B正确；
对于C，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，
绕其斜边旋转一周，得到的是两个圆锥的组合体，故C错误；
对于D，圆绕直径旋转一周得到的几何体是球，故D错误．
故选：B．
【变式4-3】（2024·高一·辽宁·期末）若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台
B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C．该几何体为圆柱
D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【答案】B
【解析】由题意可知形成如图的几何体，
该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
（2）简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
题型五：复杂的空间图形的结构特征
【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
【典例5-2】（2024·高一·湖北孝感·阶段练习）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，
而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，
分析四个选项，A项，旋转后圆台；
C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；
故选：B
【变式5-1】（18·19高一·全国·单元测试）如图，将阴影部分图形（三角形关于直线l对称）绕直线l旋转一周所得的几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单几何体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体
【答案】D
【解析】根据三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，即可求解．由题意知，三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体，故选D．
【变式5-2】（2024·高二·安徽宿州·期中）将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为
A．一个圆台B．两个圆锥C．一个圆柱D．一个圆锥
【答案】B
【解析】由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B.
【变式5-3】（2024·高二·浙江温州·期中）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（ ）
A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体D．无法确定
【答案】C
【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体，
故选：C.
【变式5-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且，梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是由 、 、 的几何体构成的组合体.
【答案】 圆锥 圆柱 圆锥
【解析】如图所示：作于，于，
绕所在的直线旋转一周得到圆锥；
矩形绕所在的直线旋转一周得到圆柱；
绕所在的直线旋转一周得到圆锥；
故答案为：圆锥；圆柱；圆锥；
【变式5-5】（2024·高一·全国·课时练习）等腰三角形绕底边上的高旋转180°，两腰与底边旋转形成的面所围成的几何体是 ．
【答案】圆锥
【解析】由圆锥的定义可知所得几何体为圆锥．
故答案为：圆锥
【方法技巧与总结】
判断复杂空间图形构成的方法
（1）判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形．
（2）复杂的空间图形是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的．要仔细观察空间图形的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．
题型六：旋转体的有关计算
【典例6-1】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为，
因为与半圆相切于点，则，所以，①正确；
过作于，则1，
所以，即球的半径为，②正确；
因为，易得，则，③错误；
过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆．
作于，得，则，即，得，
所以，点的轨迹的长度是，④错误，
故选：B
【典例6-2】（2024·高一·云南·期中）在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A．B．4C．D．8
【答案】D
【解析】
如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB=AD=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故选：D．
【变式6-1】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（ ）
A．B．
C．D．与直角圆锥的母线长有关
【答案】B
【解析】
设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得，
.
故选：B
【变式6-2】（2024·高一·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得圆柱的底面半径，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，
问题转化为在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是为．
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）用平行于底面的平面去截柱、锥、台等空间图形，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程（组）而得解．
（2）利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
题型七：几何体中的基本计算
【典例7-1】（2024·高一课时练习）用一个圆心角为，半径为4的扇形做一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为______.
【答案】
【解析】由题意，圆锥的底面周长为扇形的弧长，
，
则圆锥的底面周长为.
故答案为：.
【典例7-2】（2024·高一课时练习）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【答案】
【解析】当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
当大长方体的长、宽、高分别为、、时，
体对角线为.
因为，所以大长方体对角线最长为.
故答案为：
【变式7-1】（2024·全国·高一专题练习）正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为______.
【答案】
【解析】因几何体为正六棱锥，则其底面为正六边形，则底面中心O到底面一顶点B的距离，六棱锥上顶点A与底面中心连线为六棱锥的高，又侧棱长 2，
则棱锥高.
故答案为：
【变式7-2】（2024·全国·高一专题练习）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
【答案】
【解析】如图所示作出轴截面，
圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，
设圆锥的截面圆的半径为，
因为，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故，
所以截面积.
故答案为：.
【变式7-3】（2024·高一课时练习）已知正四棱柱的底面边长为，高为3，则此正四棱柱的对角线长为______.
【答案】5
【解析】如图正四棱柱中，底面是正方形，与底面垂直，则与底面上的直线垂直，
由已知，又，所以．
故答案为：5.
【方法技巧与总结】
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
题型八、简单几何体的组合体
【典例8-1】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图；
对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B；
对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D.
故选：C
【典例8-2】（2024·高一课前预习）如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
【答案】B
【解析】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱．
故选：B．
【变式8-1】（2024·高一课前预习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【解析】设等腰梯形，较长的底边为，
则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，
轴截面如图，
故选：D
【变式8-2】（2024·全国·高一专题练习）请描述如图所示的几何体是如何形成的．
【解析】①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体．
【变式8-3】（2024·全国·高一专题练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【解析】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
【变式8-4】（2024·全国·高一专题练习）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球，
设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上，
由确定的平面交于，连接，得到截面，
截面就是经过侧棱与中点的截面，
平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示，
因为中，圆分别与相切于点，且，圆与相离，
所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意，故选B.
【方法技巧与总结】
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
题型九：水平放置的平面图形的直观图的画法
【典例9-1】（2024·高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
【解析】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴，
如图所示，
画出对应的轴，使，，，如图所示，
即四边形即为正方形的直观图.
（2）取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得等腰梯形的直观图为，
以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示，
可得平行四边形的直观图为.
【典例9-2】（22·23高一·全国·随堂练习）画水平放置的正五边形和菱形的直观图．
【解析】作出坐标系，使得，
连接交轴为，在轴上作线段，
在轴上分别作线段，
过作线段，且，
连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.
如图（2）所示，在轴上作线段，
则轴上分别作出线段，
连接，即为菱形的直观图.
【变式9-1】（22·23高一·全国·课堂例题）画水平放置的正六边形的直观图．
【解析】（1）如图1，在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取与AD垂直的对称轴GH为y轴，x轴与y轴相交于点O．任取点，画出对应的轴，轴，使；
（2）以点为中点，在轴上取，在轴上取；以点为中点画轴，并使；再以为中点画轴，并使；
（3）顺次连接，，，，，，，所得到的六边形就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图，如图2；
（4）擦去辅助线，整理得图3．
【变式9-2】（2024·高一·全国·课后作业）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．
【解析】分以下三步进行作图：
（1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示．
（2）画出对应的轴、轴，使，
在轴上取点，，使得，；
在轴上取一点，使得；
过作轴，使，连接，，如图②所示．
（3）擦去轴与轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形就是所求的直观图．
【变式9-3】（2023高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.
【解析】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示：
画出相应的轴、轴，使，
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
在轴上取，，
过点作轴，使，过点作轴，使，
连结，则四边形就是等腰梯形的直观图.
（2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示：
连接交于，画出相应的轴、轴，使，
在轴上取，，在轴上取，，
过点作轴，且，过点作轴，且，
连结，则五边形就是所求的直观图.
【方法技巧与总结】
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
题型十：空间图形的直观图的画法
【典例10-1】（22·23高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.
【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；
第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；
第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；
第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：
【典例10-2】（22·23高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．
【解析】①取的中点，画，
用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；
②画平面，在上截取；
画出，；，，且与交于点，如图所示；
③连接、、，即得正三棱柱，
④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：
【变式10-1】（22·23高一·全国·课堂例题）在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．
【解析】画法 （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，．
（2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与．
（3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆．
（4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．
【变式10-2】（2024·高一·全国·课时练习）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．
【解析】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，．
（2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面．
（3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图．
（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．
【变式10-3】（2024·高一·全国·课时练习）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是．
【解析】依题意，先作出边长为的正五边形，
同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，
利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，
再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴，
按比例尺在轴作出，连接，如图，
最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.
【方法技巧与总结】
空间图形的直观图的画法
（1）对于一些常见空间图形（柱、锥、台、球）的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
（2）画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
（3）z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
题型十一：与直观图还原有关的计算问题
【典例11-1】（2024·高二·安徽宿州·期中）如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为 .
【答案】14
【解析】根据题意，平行四边形是四边形OABC的直观图.
若，，则原四边形OABC为矩形，
如图：其中OA＝3，OC＝4，
故原四边形OABC的周长.
故答案为：14.
【典例11-2】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知水平放置的正方形 的斜二测画法直观图 的面积为 ，则正方形 的边长为 ．
【答案】4
【解析】水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积为，
根据，所以正方形的面积为，
所以正方形的边长为，
故答案为：
【变式11-1】（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使,
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
【变式11-2】（2024·高一·辽宁阜新·期中）如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.
【解析】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形，
所以，原图面积为，直观图的面积为.
【变式11-3】（2024·高一·全国·课时练习）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．
【解析】由题可知，，，∴．
还原直观图可得原平面图形，如图所示：
则，，，
∴，
∴原平面图形的周长为．
【方法技巧与总结】（直观图还原注意事项）
由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．
（1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．
（2）S直观图＝S原图．
由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【解析】如图：正四棱锥的底面积为64，则，
又顶点在在底面上的射影是四边形的中心，
过点作于，连接，
则，又侧棱长为，
所以该四棱锥的高为.
故选：A.
2．（2024·高一·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
3．（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据斜二测画法可得
，所以是直角三角形.
故选：B.
4．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【答案】B
【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；
当棱锥的底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等时，棱锥的顶点在底面的投影是底面的中心，所以该棱锥是正棱锥，故B正确；
用一个平行于底面的平面截圆锥，可以得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误.
故选：B.
5．（2024·高三·江苏南通·期末）从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A．每个面都是等边三角形
B．每个面都是直角三角形
C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
6．（2024·高一·湖南长沙·期末）在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧.
分别为，则；
当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径，
在平面上以B为圆心，1为半径的，
在平面上以D为圆心，1为半径的，
则.所以．
故选：C．
7．（2024·高三·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，
显然弧的长为，弧的长为，设，则，，
则，即，得，于是是的中点，，
因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，
所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.
故选：B
8．（2024·高二·四川·期中）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，
由题意可得，
因为正四棱锥的底面边长为6，所以，，
的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，，
因为，所以，，
因为，所以，.
故选：C
二、多选题
9．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】CD
【解析】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；
对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
但是这样的多面体不是棱台，故B错误；
对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；
对于D，根据圆锥的定义可知D正确.
故选：CD
10．（2023高二·福建泉州·学业考试）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（ ）
A．是直角三角形B．长为
C．长为D．边上的中线长为
【答案】ACD
【解析】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示，
又因为，可得，，所以，
所以边上的中线长度为．
故选：ACD.
11．（2024·高三·安徽六安·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱上一点，满足（d为定值），记P点的个数为n，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．n的最大值为18
【答案】AD
【解析】当点P位于A或处时，d取到最小值.
当P在棱上由A到B移动时，d由增大到，
当P在，，，，等棱上移动时，d的变化也是由增大到.
当P在棱上由B到移动时，d由减少到，再由增大到；
当P在，，，，等棱上移动时，d也是由减少到，再由增大到.
故选：AD.
三、填空题
12．（2024·高一·湖南张家界·期中）数学中有很多公式都是数学家欧拉（Lenhard Euler）发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
【答案】12
【解析】因为二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，
所以棱数，面数，顶点数.
故答案为：12.
13．（2024·高二·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
【答案】 2
【解析】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.
故答案为：；；
14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 .
【答案】
【解析】
如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
综上所述，小虫走过的最短路线的长为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm）
【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，．
（2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
（3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，
在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线，
将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图．
16．（2024·高二·上海·期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，
(1)求该圆柱的体积和表面积
(2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积
【解析】（1）圆柱的底面半径，母线长，即高，
体积，
表面积.
（2）由题意，圆锥母线，
所得圆锥的侧面积为.
17．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.
【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，
如图所示，则的面积为.
18．（22·23高一·全国·随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．
【解析】
如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点，
则此时的周长最小为，
由题意易知，则，
且，
所以，
由，
故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时，
截面周长最小，最小值为.
19．（22·23高一·全国·随堂练习）过年了，佳怡去探望奶奶，到商店买了一盒点心，售货员为她做了一个如图①的捆扎，并在角上配了一个花结，使得点心匣很漂亮，佳怡非常高兴．售货员说，这种捆扎方式不仅显得漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）用的包装绳短．你同意这种说法吗?请说明理由．
【解析】
设长方体中，，
则图②中的捆扎方式对应的包装绳的长度为.
如图，在平面中，过作，垂足为，
在平面中，过作，垂足为，
由题设中图①中的捆扎方法有，，，
故，
故，
同理，，
而，
所以
，
所以，
故图①的捆扎用的包装绳短，
故同意售货员这种说法.
课程标准
学习目标
（1）能借助典型的实物、模型或信息技术，抽象出空间几何体，能从多面体和旋转体的组成元素人手，归纳出它们的结构特征，并能用文字语言、图形语言和符号语言（简称“三种语言”）进行描述．
（2）借助实物、模型或信息技术，能说出某种简单组合体是由哪几种基本立体图形、通过怎样的方式组合而成的；能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（1）利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、雉、台、球及简单组合体的结构特征．
（2）能从结构特征的角度描述现实生活中简单物体的结构．
定义
由若干个平面多边形围成的空间图形
图形
相关概念
面：围成多面体的各个多边形，
棱：相邻两个面的公共边，
顶点：棱与棱的公共点
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
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