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    12.4 复数的三角形式(六大题型)练习 高中数学苏教版必修二
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    苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式精品课堂检测

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式精品课堂检测,文件包含124复数的三角形式六大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、124复数的三角形式六大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共37页, 欢迎下载使用。


    知识点01 复数的三角形式
    1、复数的辐角
    以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角,叫做复数的辐角.
    适合于的辐角的值,叫辐角的主值.记作:,即.
    2、复数的三角表达式
    一般地,任何一个复数都可以表示成的形式.其中,是复数的模;是复数的辐角.叫做复数的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
    注意:复数三角形式的特点
    模非负,角相同,余弦前,加号连
    3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件:
    两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等.
    【即学即练1】(2024·高一·全国·课时练习)的三角形式是 .
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】令且,
    所以,则满足,
    所以三角形式可写成.
    故答案为:(答案不唯一)
    知识点02 复数的三角形式乘、除运算
    1、复数三角形式的乘法及其几何意义
    设、的三角形式分别是:,.
    则.
    简记为:模数相乘,幅角相加
    几何意义:把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角,长度乘以的模,所得向量对应的复数就是.
    2、复数三角形式的除法及其几何意义
    设、的三角形式分别是:,.
    则.
    简记为:模数相除,幅角相减
    几何意义:把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角,长度除以的模,所得向量对应的复数就是.
    【即学即练2】复数的值是( )
    A.B.16C.D.
    【答案】A
    【解析】.
    故选:A
    题型一:复数的三角形式
    【典例1-1】(2024·高一课时练习)下列各式中已表示成三角形式的复数是( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】复数的三角表示为:,其中,B选项满足.
    故选:B.
    【典例1-2】(2024·高一课时练习)复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转所得点对应的复数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,将复数在复平面对应的点绕原点逆时针旋转,
    可得.
    故选:B
    【变式1-1】(2024·高一课时练习)复数改写成三角形式,正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】∵,
    ,,
    又,∴,

    故选:B.
    【变式1-2】(2024·高一·全国·随堂练习)判断下列复数是不是复数的三角形式,并说明理由.
    (1);
    (2).
    【解析】(1)括号内两项中间不是加号,故不是复数的三角形式,
    其三角形式为.
    (2)不满足复数的模大于等于0,故不是复数的三角形式,
    其三角形式为.
    【方法技巧与总结】
    解题总结(复数三角形式的判断依据和变形步骤)
    (1)判断依据:三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
    (2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.
    题型二:复数的代数形式表示成三角形式
    【典例2-1】(2024·高一·全国·课时练习)把复数(i为虚数单位)改写成三角形式为 .
    【答案】
    【解析】由题可得,且在第三象限,
    所以辐角的主值为,
    所以,
    故答案为:.
    【典例2-2】(2024·高一·全国·课时练习)将复数表示成三角形式是 .(用辐角主值)
    【答案】
    【解析】令且,
    则,故,
    所以.
    故答案为:
    【变式2-1】(2024·高一·全国·课时练习)()改写成三角形式为 .
    【答案】当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一);当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一);当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一).
    【解析】复数的模为,设复数的辐角为,
    当时,复数的模为,,,则,,
    此时复数的三角形式可以为,
    当时,复数的三角形式为,
    当时,复数的模为,,,则,,
    此时复数的三角形式可以为,
    故答案为:当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一);当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一);当时,复数的三角形式可以为(答案不唯一).
    【变式2-2】(2024·高一·上海闵行·期末)将复数化为三角形式: .
    【答案】
    【解析】复数中,,设为复数的辐角主值,

    所以.
    故答案为:.
    【方法技巧与总结】
    解题总结:(复数的代数形式化三角形式的步骤)
    (1)先求复数的模;
    (2)决定辐角所在的象限;
    (3)根据象限求出辐角(常取它的主值);
    (4)写出复数的三角形式.
    题型三:把复数表示成代数形式
    【典例3-1】(2024·高一·全国·课前预习)将复数z=化为代数形式为 .
    【答案】1-i
    【解析】z=.
    故答案为:1-i
    【典例3-2】(2024·高一·全国·课时练习)复数10表示成代数形式为 .
    【答案】-5-5i/-5i-5
    【解析】10=10=-5-5i.
    故答案为:
    【变式3-1】(2024·高一·全国·课时练习)设复数,那么的共轭复数的代数形式是 .
    【答案】/-i+
    【解析】,故.
    故答案为:.
    【变式3-2】(2024·高一·全国·课时练习)将复数z=3化成代数形式为 ;|z|= .
    【答案】 3
    【解析】,
    故答案为:
    【变式3-3】(2024·高一·全国·课时练习)将复数化为代数形式为
    【答案】
    【解析】由题得.
    故答案为:
    【方法技巧与总结】
    解题总结(把复数表示成代数形式的注意事项)
    (1)类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
    (2)由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.
    题型四:复数的三角形式乘法运算
    【典例4-1】(2024·高一·全国·课时练习)如果,那么复数的三角形式是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】A
    【解析】因为,,
    所以.
    故选:A.
    【典例4-2】(2024·高一·湖北武汉·期末)已知i为虚数单位,则( )
    A.B.1C.D.i
    【答案】D
    【解析】
    故选:D
    【变式4-1】(2024·高一·江苏盐城·期末)欧拉公式(为自然对数的底数,为虚数单位)由瑞士数学家(欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,被称为“数学中的天桥”,则下列运算一定正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】C
    【解析】.
    故选:C.
    【变式4-2】(2024·高三·北京·强基计划)已知复数z满足,则中不同的数有( )
    A.4个B.6个C.2019个D.以上答案都不正确
    【答案】B
    【解析】根据题意,有,
    于是中有6个不同的数.
    故选:B.
    【变式4-3】(2024·高一·全国·课时练习)计算的值是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】因为
    所以,
    所以,
    故选:B.
    【变式4-4】(2024·高一·全国·课时练习)已知为虚数单位,,,则等于( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】,
    .
    故选:D.
    【方法技巧与总结】
    解题总结(复数的三角形式乘法运算的注意事项)
    两个复数相乘,积还是一个复数,它的模等于各复数的模的积,它的幅角等于各复数的幅角的和.简单的说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,幅角相加.
    题型五:复数的三角形式除法运算
    【典例5-1】(2024·高一·全国·课时练习)设复数,则得一个辐角是 .
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】由题意得,

    所以得辐角是(答案不唯一)
    故答案为:(答案不唯一)
    【典例5-2】(2024·高一·全国·专题练习)计算: .(用代数形式表示)
    【答案】
    【解析】.
    故答案为:.
    【变式5-1】(2024·高一·全国·课时练习) .
    【答案】i/
    【解析】根据复数的三角形式的运算法则,可得:
    .
    故答案为:
    【变式5-2】(2024·高一·福建莆田·阶段练习),则 .
    【答案】400
    【解析】,
    若,则,
    ∴.
    故答案为:.
    【变式5-3】(2024·高一·上海·单元测试)若,则的辐角主值为 .
    【答案】
    【解析】,辐角.
    得的辐角主值.
    故答案为:.
    【变式5-4】(2024·高一·全国·课时练习)已知i为虚数单位,计算: .
    【答案】
    【解析】先把转化为,再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.原式
    .
    故答案为:.
    【方法技巧与总结】
    解题总结:(复数的三角形式除法运算的注意事项)
    两个复数相除,商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模,它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角.简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则:模数相除,幅角相减.
    题型六:复数的三角形式乘、除运算的几何意义
    【典例6-1】(2024·高一·全国·课时练习)在复平面内,把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°,所得向量对应的复数为,则复数是 .(用代数形式表示).
    【答案】
    【解析】由题意得.
    故答案为:
    【典例6-2】(2024·高一·全国·随堂练习)在复平面内,将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°,求与所得的向量对应的复数,写出你的思考过程.
    【解析】根据复数乘法的几何意义,所求的复数是,
    即.
    故与所得的向量对应的复数是.
    【变式6-1】(2024·高一·全国·随堂练习)图中四边形ABCD,DCEF,FEGH都是正方形,用复数方法证明:.

    【解析】以为坐标原点,以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系,如下图所示:
    令,可得点,
    所以对应的复数分别为,
    所以分别为的辐角,且;
    可得

    所以可得
    【变式6-2】(2024·高一·全国·随堂练习)在复平面内,复数,,,它们对应的向量分别为、、,如何直观地理解与、与之间的位置关系呢?
    【解析】因为,所以,,
    ,所以,,
    所以,先将沿原方向伸长倍,再逆时针旋转,可得到,
    将反向伸长为原来的倍,可得到.
    【变式6-3】(2024·高一·全国·随堂练习)将复数对应的向量旋转,求所得向量对应的复数.
    【解析】由题意,
    旋转后,变为,
    ∴旋转后所得向量对应的复数为.
    【变式6-4】(2024·高一·福建泉州·期中)已知复数已在复平面内对应的点在第一象限,是虚数单位.
    (1)求实数的取值范围
    (2)当时,求复数的三角表示
    (3)若复平面内,向量对应(2)中的复数,把绕点顺时针方向旋转得到,求向量对应的复数(结果用代数形式表示)
    【解析】(1)因为复数已在复平面内对应的点在第一象限,
    所以,解得,所以实数的取值范围为:
    (2)当时,,所以,,
    所以,所以
    (3)根据题意得,设其旋转后对应向量,
    所以,解得或,
    又因为绕点顺时针方向旋转得到,所以对应的点在第四象限,
    所以,所以.
    【变式6-5】(2024·高一·福建泉州·阶段练习)在复平面内,点A对应的复数是,向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量.
    (1)求点C对应的复数;
    (2)已知点B对应的复数z满足,且,求复数z.
    【解析】(1)因为点A对应的复数是,向量绕着点O按逆时针方向旋转120°,
    所以;
    (2)因为点B对应的复数z满足,且,
    所以向量对应的复数,
    或,
    ∴或,
    ∴或.
    【变式6-6】(2024·高一·全国·课时练习)如图,向量对应的复数为,把绕点O按逆时针方向旋转,得到,求向量对应的复数(用代数形式表示).
    【解析】向量对应的复数为

    故答案为:.
    【方法技巧与总结】
    解题总结(复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项)
    复数乘法几何意义是解题关键.把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角,长度乘以的模,所得向量对应的复数就是.
    复数除法几何意义是解题关键.把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角,长度除以的模,所得向量对应的复数就是.
    一、单选题
    1.(2024·高三·全国·专题练习)复数的三角形式是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】依题意,令,
    则,所以,
    因为,所以,
    所以的三角形式是.
    故选:D.
    2.(2024·高一·福建厦门·期中)已知复数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】因为,所以.
    故选:C
    3.(2024·高一·广东广州·期中)欧拉公式(其中为虚数单位,)将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,则( )
    A.B.为实数
    C.D.复数对应的点位于第三象限
    【答案】C
    【解析】对于A选项,,A错;
    对于B选项,为纯虚数,B错;
    对于C选项,因为,
    因此,,C对;
    对于D选项,,则,,
    所以,复数在复平面内对应的点位于第二象限,D错.
    故选:C.
    4.(2024·高一·全国·课时练习)如果,那么复数的三角形式是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】A
    【解析】因为,,
    所以.
    故选:A.
    5.(2024·高一·河北沧州·期中)已知(其中i为虚数单位),那么复数在复平面内所对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】B
    【解析】由,
    可得

    因为,,
    所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
    故选:B.
    6.(2024·湖北恩施·模拟预测)任意一个复数都可以表示成三角形式,即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)创立的,指的是:设两个复数,,则,已知复数,则( )
    A.B.C.D.1
    【答案】B
    【解析】由题意可得,
    故,
    所以
    .
    故选:B
    7.(2024·四川成都·模拟预测)欧拉公式(其中为虚数单位,)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
    A.为虚数B.函数不是周期函数
    C.若,则D.的共轭复数是
    【答案】D
    【解析】A选项,,为实数,A错误;
    B选项,,由于是最小正周期为的函数,所以是周期函数,B错误;
    C选项,由题意得,所以,
    又时,,故C错误;
    D选项,

    故共轭复数是,D正确.
    故选:D
    8.(2024·高一·江苏苏州·期中)欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧拉发现的,被誉为数学上优美的公式.已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】 ,


    ,,
    即,,
    .
    故选:A.
    二、多选题
    9.(2024·高一·江西南昌·期末)已知复数(为虚数单位),则下列说法中正确的有( )
    A.z的虚部为B.
    C.D.
    【答案】BD
    【解析】对于A,因为,所以z的虚部为,故A错误;
    对于B,,故B正确;
    对于C,因为一个复数的辐角有无数多个,故错误,故C错误;
    对于D,因为,所以,故D正确.
    故选:BD.
    10.(2024·高一·福建三明·期末)设复数,其中i是虚数单位,下列判断中正确的是( )
    A.B.
    C.z是方程的一个根D.满足最小正整数n为3
    【答案】ACD
    【解析】由题设,,则,,
    所以A正确,B错误;
    由的根为,故z是该方程的一个根,C正确;
    由,则,故最小正整数n为3时,,正确.
    故选:ACD
    11.(2024·高二·福建莆田·开学考试)已知复数,,,为坐标原点,,,对应的向量分别为,,,则以下结论正确的有( )
    A.
    B.若,则
    C.若,则与的夹角为
    D.若,则为正三角形
    【答案】ABD
    【解析】因为,,,
    所以,则,
    对于A,,



    所以,故A正确;
    对于B,若,则,故B正确;
    对于C,设与的夹角为,
    若,则,
    即,
    即,所以,
    所以,即与的夹角为,故C错误;
    对于D,若,则,
    则,
    即,由C选项可知与的夹角为,
    同理与的夹角为,与的夹角为,
    又,
    所以,故D正确.
    故选:ABD.
    三、填空题
    12.(2024·高一·上海浦东新·期末)将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量,那么对应的复数是 .
    【答案】
    【解析】复数的三角形式是,
    向量对应的复数是.
    故答案为:
    13.(2024·高一·全国·课时练习)设复数,则得一个辐角是 .
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】由题意得,

    所以得辐角是(答案不唯一)
    故答案为:(答案不唯一)
    14.(2024·高一·上海杨浦·期末)若是纯虚数(其中是虚数单位),则正整数的最小值为 .
    【答案】
    【解析】因为
    因为为纯虚数,则,可得,
    可得,又因为,当时,正整数取最小值.
    故答案为:.
    四、解答题
    15.(2024·高一·全国·随堂练习)在复平面内作出下列复数对应的向量,并用三角形式表示(辐角取主值):
    (1)6;
    (2);
    (3);
    (4).
    【解析】(1)6对应的向量如答图中,
    ,又,
    .
    (2)对应的向量如答图中,

    又,.
    (3)对应的向量如答图中

    又,.
    (4)对应的向量如答图中,

    又,.
    16.(2024·高一·全国·随堂练习)在复平面内,复数,,,它们对应的向量分别为、、,如何直观地理解与、与之间的位置关系呢?
    【解析】因为,所以,,
    ,所以,,
    所以,先将沿原方向伸长倍,再逆时针旋转,可得到,
    将反向伸长为原来的倍,可得到.
    17.(2024·高一·全国·课堂例题)求.
    【解析】先将化为三角形式,得,
    则原式.
    18.(2024·高一·全国·随堂练习)计算:
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5);
    (6).
    【解析】(1).
    (2).
    (3)
    .
    (4).
    (5).
    (6)
    .
    19.(2024·高一·河北衡水·期末)欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一,数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年,他提出公式:复数:(是虚数单位).已知复数,,.
    (1)当时,求的值;
    (2)当时,若且,求的值.
    【解析】(1)因为虚数不能比较大小,所以为实数,
    又因为,
    所以
    解得
    (2)当时,,.
    所以,
    所以,
    所以,,
    因为,所以.
    课程标准
    学习目标
    (1)培养转化,逻辑推理及数学运算能力;
    (2)通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习,培养学生直观想象、数学运算、数学建模等数学素养。
    (1)掌握复数的三角形式,能够进行两种形式的转化
    (2)会进行复数三角形式的乘除运算;
    (3)理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义.
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        12.4 复数的三角形式(六大题型)练习 高中数学苏教版必修二
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