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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀课时作业
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀课时作业，文件包含92向量运算十二大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、92向量运算十二大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
知识点01 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
3、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
4、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
5、向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．
知识点02 向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简： ； ； .
知识点03 数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则 .
知识点04 向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
【即学即练4】（2024·湖北·高三统考学业考试）已知，是不共线的两个向量，若，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
知识点05 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
（2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
（3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
3、平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
4、向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
（1）
（2）
（3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或
（4）
（5）
5、向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
知识点诠释：
（1）已知实数、、（），则．但是；
（2）在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【即学即练5】（2024·北京大兴·高三统考）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
题型一：向量加法法则
例1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1)
(2)
(3)
例2．（2024·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
例3．（2024·高一课时练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧与总结】
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
题型二：向量加法运算律的应用
例4．（2024·高一单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：.
例5．（2024·新疆·高一校考）化简下列各式:
(1)
(2)
例6．（2024·高一课前预习）化简
(1)；
(2) .
变式1．（2024·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
题型三：向量加法的实际应用
例7．（2024·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
例8．（2024·高一课时练习）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
例9．（2024·高一课时练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
变式2．（2024·高一课时练习）如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？
变式3．（2024·高一课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【方法技巧与总结】
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
题型四：向量的减法运算
例10．（2024·全国·高一假期作业）化简
(1)；
(2)．
例11．（2024·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2)
例12．（2024·高一单元测试）如图，已知向量，，，，作出向量.
变式4．（2024·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【方法技巧与总结】
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
题型五：向量减法法则的应用
例13．（2024·全国·高一专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
例14．（2024·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：
① ② ③ ④
其中正确的题号是 ．
例15．（2024·陕西西安·高三西安一中校考）在平行四边形中，若，则四边形的形状为 .
变式5．（2024·高一课时练习）已知，，则的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
题型六：向量的线性运算
例16．（2024·广西·高一校考）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图
（2）求下列未知向量；
（3）化简下列式子
例17．（2024·全国·高一随堂练习）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
例18．（2024·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
变式6．（2024·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
变式7．（2024·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
题型七：用已知向量表示其他向量
例19．（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2024·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2024·福建龙岩·高三校联考）在中，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2024·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2024·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型八：向量共线的判定及应用
例22．（2024·福建厦门·高二厦门外国语学校校考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．2C．4D．
例23．（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
例24．（2024·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
变式11．（2024·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可．
（2）利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
例25．（2024·陕西西安·高一西安市铁一中学校考）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
例26．（2024·高一课时练习）用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
例27．（2024·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.
变式12．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知为直线外一点，点在直线上，且．求证：．
变式13．（2024·高一课时练习）如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示，并求出和的值.
【方法技巧与总结】
应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且．
题型十：求两向量的数量积
例28．（2024·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ．
例29．（2024·上海·统考模拟预测）在中，，点是的中点，则 .
例30．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 .
变式14．（2024·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，，，则在方向上的投影向量是 .
变式15．（2024·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
变式16．（2024·海南·校联考模拟预测）已知向量满足，则 .
【方法技巧与总结】
求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
例31．（2024·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
例32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）设向量，满足，且.
(1)求与的夹角；
(2)求的大小.
例33．（2024·广东广州·高三统考阶段练习）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.
(1)求、的长；
(2)求的余弦值.
变式17．（2024·陕西渭南·高二统考）若，且，求与的夹角.
变式18．（2024·上海嘉定·高三校考）设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值;
变式19．（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
【方法技巧与总结】
（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方．
（2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解．
题型十二：与垂直有关的问题
例34．（2024·新疆·高三学业考试）已知．
(1)若θ为与的夹角，求θ的值；
(2)若与垂直，求k的值．
例35．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
例36．（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
变式20．（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.
变式21．（2024·全国·高一）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．
(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【方法技巧与总结】
解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）．
一、单选题
1．（2024·河北衡水·高三校考阶段练习）若给定一向量组和向量，如果存在一组实数，使得，则称向量能由向量组A线性表示，或称向量是向量组A的线性组合，若为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（ ）
A．-16B．16C．-20D．20
3．（2024·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（ ）
A．49B．19C．7D．
4．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北石家庄·高三校联考）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2024·四川雅安·高三校联考）在中，，，，点是的重心，则（ ）
A．7B．8C．D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则下列说法正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为0°
C．若与的夹角为60°，则在上的投影向量为
D．的取值范围为
10．（2024·江苏扬州·高三仪征中学校联考阶段练习）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．
C．在方向上的投影向量不可能为D．与的夹角的最大值为
三、填空题
13．（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知向量满足，，则 ．
14．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）在梯形中，，则 ．
15．（2024·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知向量满足，则 .
16．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高三校考）已知平面向量，，，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值
18．（2024·河南洛阳·高二统考）在棱长为2的正四面体中，.
(1)设用，，表示；
(2)若求.
19．（2024·天津河西·高三统考）如图，中，是的中点，与交于点.
(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
20．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
21．（2024·全国·高一随堂练习）已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
课程标准
学习目标
（1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件．
（2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题．
（3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式．
（1）理解并掌握向量加法的概念．
（2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．
（3）掌握向量减法的几何意义．
（4）掌握向量数量积的定义及投影向量．3．会计算平面向量的数量积．
（5）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
区别
联系
三角形法则
（1）首尾相接
（2）适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则
（1）共起点
（2）仅适用于不共线的两个向量求和
知识点01 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1、向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2、向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
知识点诠释：
两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．
3、向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
4、向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
5、向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
（1）当不共线时，；
（2）当同向且共线时，同向，则；
（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．
知识点02 向量的减法
1、向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
知识点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2、向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简： ； ； .
知识点03 数乘向量
1、向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）；
（2）①当时，的方向与的方向相同；
②当时．的方向与的方向相反；
③当时，．
2、向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3、向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则 .
知识点04 向量共线的条件
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
知识点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．
【即学即练4】（2024·湖北·高三统考学业考试）已知，是不共线的两个向量，若，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
知识点05 平面向量的数量积
1、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．
2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．
知识点诠释：
（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．
②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
（2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．
（3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．
3、平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．
4、向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
（1）
（2）
（3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或
（4）
（5）
5、向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
知识点诠释：
（1）已知实数、、（），则．但是；
（2）在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
【即学即练5】（2024·北京大兴·高三统考）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
题型一：向量加法法则
例1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．
(1)
(2)
(3)
例2．（2024·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．
(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若图表中小正方形边长为1，求、．
例3．（2024·高一课时练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧与总结】
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
题型二：向量加法运算律的应用
例4．（2024·高一单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：.
例5．（2024·新疆·高一校考）化简下列各式:
(1)
(2)
例6．（2024·高一课前预习）化简
(1)；
(2) .
变式1．（2024·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
题型三：向量加法的实际应用
例7．（2024·高一课时练习）在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
例8．（2024·高一课时练习）有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
例9．（2024·高一课时练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
变式2．（2024·高一课时练习）如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？
变式3．（2024·高一课时练习）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及．
【方法技巧与总结】
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
题型四：向量的减法运算
例10．（2024·全国·高一假期作业）化简
(1)；
(2)．
例11．（2024·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式：
(1)；
(2)
例12．（2024·高一单元测试）如图，已知向量，，，，作出向量.
变式4．（2024·高一课前预习）化简下列式子：
(1)；
(2)；
【方法技巧与总结】
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
题型五：向量减法法则的应用
例13．（2024·全国·高一专题练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5)；
(6)．
例14．（2024·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：
① ② ③ ④
其中正确的题号是 ．
例15．（2024·陕西西安·高三西安一中校考）在平行四边形中，若，则四边形的形状为 .
变式5．（2024·高一课时练习）已知，，则的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和．
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
题型六：向量的线性运算
例16．（2024·广西·高一校考）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图
（2）求下列未知向量；
（3）化简下列式子
例17．（2024·全国·高一随堂练习）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
例18．（2024·高一课时练习）计算：
(1)；
(2)．
变式6．（2024·高一课时练习）计算：
(1)；
(2).
变式7．（2024·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【方法技巧与总结】
向量线性运算的基本方法
（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
题型七：用已知向量表示其他向量
例19．（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2024·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2024·福建龙岩·高三校联考）在中，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2024·河北保定·高三河北易县中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2024·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型八：向量共线的判定及应用
例22．（2024·福建厦门·高二厦门外国语学校校考）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．2C．4D．
例23．（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）已知，为不共线向量，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
例24．（2024·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
变式11．（2024·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可．
（2）利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．
题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理）
例25．（2024·陕西西安·高一西安市铁一中学校考）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
例26．（2024·高一课时练习）用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
例27．（2024·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.
变式12．（2024·全国·高一课堂例题）如图，已知为直线外一点，点在直线上，且．求证：．
变式13．（2024·高一课时练习）如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F.
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示，并求出和的值.
【方法技巧与总结】
应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且．
题型十：求两向量的数量积
例28．（2024·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）已知向量与的夹角为，，，则 ．
例29．（2024·上海·统考模拟预测）在中，，点是的中点，则 .
例30．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为 .
变式14．（2024·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，，，则在方向上的投影向量是 .
变式15．（2024·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 .
变式16．（2024·海南·校联考模拟预测）已知向量满足，则 .
【方法技巧与总结】
求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
题型十一：向量的模和夹角的计算问题
例31．（2024·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
例32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）设向量，满足，且.
(1)求与的夹角；
(2)求的大小.
例33．（2024·广东广州·高三统考阶段练习）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.
(1)求、的长；
(2)求的余弦值.
变式17．（2024·陕西渭南·高二统考）若，且，求与的夹角.
变式18．（2024·上海嘉定·高三校考）设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值;
变式19．（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
【方法技巧与总结】
（1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方．
（2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解．
题型十二：与垂直有关的问题
例34．（2024·新疆·高三学业考试）已知．
(1)若θ为与的夹角，求θ的值；
(2)若与垂直，求k的值．
例35．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
例36．（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
变式20．（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，已知中，分别为边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D.求证：.
变式21．（2024·全国·高一）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．
(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【方法技巧与总结】
解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）．
一、单选题
1．（2024·河北衡水·高三校考阶段练习）若给定一向量组和向量，如果存在一组实数，使得，则称向量能由向量组A线性表示，或称向量是向量组A的线性组合，若为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（ ）
A．-16B．16C．-20D．20
3．（2024·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为，则＝（ ）
A．49B．19C．7D．
4．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北石家庄·高三校联考）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2024·四川雅安·高三校联考）在中，，，，点是的重心，则（ ）
A．7B．8C．D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则下列说法正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为0°
C．若与的夹角为60°，则在上的投影向量为
D．的取值范围为
10．（2024·江苏扬州·高三仪征中学校联考阶段练习）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．
C．在方向上的投影向量不可能为D．与的夹角的最大值为
三、填空题
13．（2024·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知向量满足，，则 ．
14．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳市外国语学校校考阶段练习）在梯形中，，则 ．
15．（2024·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知向量满足，则 .
16．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
四、解答题
17．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高三校考）已知平面向量，，，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与垂直，求的值
18．（2024·河南洛阳·高二统考）在棱长为2的正四面体中，.
(1)设用，，表示；
(2)若求.
19．（2024·天津河西·高三统考）如图，中，是的中点，与交于点.
(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
20．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
21．（2024·全国·高一随堂练习）已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
课程标准
学习目标
（1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件．
（2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题．
（3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式．
（1）理解并掌握向量加法的概念．
（2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．
（3）掌握向量减法的几何意义．
（4）掌握向量数量积的定义及投影向量．3．会计算平面向量的数量积．
（5）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
区别
联系
三角形法则
（1）首尾相接
（2）适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则
（1）共起点
（2）仅适用于不共线的两个向量求和
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