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苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用精品同步练习题
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用精品同步练习题，文件包含苏教版数学高一必修第二册94向量应用分层练习原卷版docx、苏教版数学高一必修第二册94向量应用分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
2．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·湖北·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．6B．-6C．3D．-3
4．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
5．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．12B．24C．36D．48
6．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏宿迁·高一统考期中）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）
A．55B．61C．66D．71
8．（2022春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210B．210C．-270D．270
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
10．（2022春·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为60°D．向量在上的投影向量为2
11．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
12．（2021春·江苏盐城·高一校考期中）已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
14．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
15．（2021春·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______
16．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考阶段练习）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为___________.
四、解答题
17．如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
18．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
19．（2022春·山东枣庄·高一统考期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
20．（2022春·河南南阳·高一统考期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
提升篇
一、单选题
1．（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知是的边上一点，且，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·山东济宁·高一统考期中）等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．0
3．（2022春·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
5．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心
B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心
D．若，则I是△ABC的垂心
10．（2022春·福建龙岩·高一校联考期中）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
11．（2022春·福建厦门·高一福建省厦门第六中学校考阶段练习）对于，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．向量与共线D．
12．（2022春·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
三、填空题
13．已知为内一点，且满足，则为的________心．
14．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________
15．（2022春·广东清远·高一统考期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则的最小值为______．
16．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
四、解答题
17．（2022·高一单元测试）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
18．（2022春·北京·高一期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
19．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
20．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）
（3）若，，求的最小值．
分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
2．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·湖北·高一统考期末）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（ ）
A．6B．-6C．3D．-3
4．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
5．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆，后轮圆的半径均为，，，均为边长为4的正三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．12B．24C．36D．48
6．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，则游船正好到达处时，等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏宿迁·高一统考期中）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）
A．55B．61C．66D．71
8．（2022春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（ ）
A．-210B．210C．-270D．270
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
10．（2022春·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为60°D．向量在上的投影向量为2
11．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
12．（2021春·江苏盐城·高一校考期中）已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
14．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________
15．（2021春·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______
16．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考阶段练习）一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时， 与夹角的余弦值为___________.
四、解答题
17．如图，设分别是梯形的对角线的中点.
(1)试用向量的方法证明：；
(2)若，求的值.
18．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.
19．（2022春·山东枣庄·高一统考期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
20．（2022春·河南南阳·高一统考期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．
提升篇
一、单选题
1．（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知是的边上一点，且，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·山东济宁·高一统考期中）等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．0
3．（2022春·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．已知P是等边三角形ABC所在平面内一点，且，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
5．已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·辽宁鞍山·高一鞍山一中校考期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心
B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心
D．若，则I是△ABC的垂心
10．（2022春·福建龙岩·高一校联考期中）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，，则有（ ）
A．与共线
B．
C．
D．在方向上的投影向量的长度为
11．（2022春·福建厦门·高一福建省厦门第六中学校考阶段练习）对于，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．向量与共线D．
12．（2022春·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
三、填空题
13．已知为内一点，且满足，则为的________心．
14．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是________
15．（2022春·广东清远·高一统考期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则的最小值为______．
16．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
四、解答题
17．（2022·高一单元测试）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.
18．（2022春·北京·高一期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
19．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
20．（2022春·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）
（3）若，，求的最小值．
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