人教版新课标A必修52.2 等差数列教案设计

  2.3   等差数列的前项和（二）

教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.

如果An，Bn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，则．

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.

教学难点：灵活应用求和公式解决问题.

教学过程：

一、             复习准备：

1、等差数列求和公式：，

2、在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;          (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;          (4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.

二、讲授新课：

1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.

例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

【结论】数列的前项和与的关系：

由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.

练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？

 探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

（是，，）.

由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.

2. 教学等差数列前项和的最值问题：

① 例题讲解：

例2、数列是等差数列，. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值.

结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：

当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值；

当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值.

（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.

练习：在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.

例3、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。

 归纳：（1）当等差数列{an}首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过

          求得n

（2）当等差数列{an}首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过

          求得n

三、课堂小结：

求＂等差数列前n项和的最值问题＂常用的方法有：

（1）满足的n值；

（2）由利用二次函数的性质求n的值；

（3）利用等差数列的性质求．

四、课外作业：

 作业：《习案》作业十四。

补充题：（依情况而定）

1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？

(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?

解：(1)由an＝24－3n知当时，，当时，，前8项或前7项的和取最大值.

(2)由bn＝2n－17n知当时，，当时，，  前8项的和取最小值.

2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9= S17.问数列的前几项和最大?

解:由S9= S17得9a5=17 a9,

说明:．

3．首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?

解法一:由S3=S11         得:    解之得

故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.

解法二:由 

解得:，所以n=7,即前7项之和最大.

解法三:由知: {an}是递减的等差数列.

又S3=S11,

   必有，前7项之和最大．

4．已知等差数列{an},满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?

解法一:由

解法二:

令

．

5．已知等差数列{an}，3 a5 =8 a12， a1<0，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．

[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由完成.

解法一:

点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数的图象上,其对称轴距离x=15.7最近的整数点(16,S16),     

解法二: