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    数学人教版新课标A2.2 等差数列教案

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    这是一份数学人教版新课标A2.2 等差数列教案,共2页。教案主要包含了备用习题,阅读材料等内容,欢迎下载使用。

    1.已知{an}是等差数列,a5=10,d=3,求a10.
    解法一:设数列的首项为a1,由a5=a1+4d得a1=-2,故而a 10=a1+9d=25.
    解法二:a10=a5+5d =25.
    2.已知{an}是等差数列,a5=10,a 12=31,求a 20,an.
    解法一:设{a n}的首项为a1,公差为d,则
    因为a20=a1+19d=55,所以a n=a1+(n-1)d=3n-5.
    解法二:因为a 12=a 5+7d,所以d=3.所以得a20=a12+8d=55,a n=a12+(n-12)d=3n-5.
    注:根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式:an=am+(n-m)d.
    3.等差数列2,5,8,…,107共有多少项?
    解:由107=2+(n-1)×3得n=36.
    引申:设等差数列{an}的首项为a 1,末项为a n,公差为d,则其项数,
    这是等差数列通项公式的又一变形公式.
    4.在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c使这五个数成等差数列,试求出这个数列.
    解法一:因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是数-1与数7的等差中项.
    所以.a又是-1与3的等差中项,所以.
    又因为c是3与7的等差中项,.
    解法二:设a1=-1,a5=7,所以7=-1+(5-1)d d=2.
    则所求的数列为-1,1,3,5,7.
    5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中,广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着“2008相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为2 m,距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距离为20 m.若一个人从观礼台上距离地面8 m的高处能完整地看清这八块标语牌.问:最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米?(结果精确到1米)
    答案:最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米.
    二、阅读材料
    等差数列的子数列问题
    从等差数列a1,a2,a3,…,an,…中,选出一些项按原来的次序组成一个新的数列{bn},则称数列{bn}是数列{an}的子数列.例如,数列2,4,6,8,…,2n,…是数列1,2,3,…,n,…的一个子数列.
    子数列的概念虽然教材中没有讲,但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题,在解此类问题时,需注意两点:
    其一,这些项是按什么“标准”选取出来的,不同的标准,选出来的子数列具有不同的性质,因此要弄清这种“标准”的数学含义,并把它用数学式子表示出来.
    其二,无论按何标准选取出来的子数列的项,都是原数列的一项,在这意义之下,我们可以得出下面的结论:
    若原数列{an}的通项公式为an=f(n),子数列{bm}的通项公式为bm=g(m),则必存在n,m∈N*使得f(n)=g(m)成立.
    【例1】 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,取出这数列中所有项数为7的倍数的各项,组成一个新的数列,这个数列是否是等差数列?如果是,它的首项与公差各是多少?如果不是,请说明理由.
    分析:新数列{bn}是由原数列{an}中的项数为7的倍数的各项组成的,因此,有bn=a7n,再由等差数列的定义判定差bn+1-bn是否为与n无关的常数.
    解:设新数列为{bn},依题意可知bn=a7n=a1+(7n-1)d=7dn+a1-d.
    所以bn+1-bn=7d(n+1)+a1-d-7dn-a1+d=7d为常数.
    所以新数列是等差数列,其公差为7d,首项为a1+6d.
    点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”,即“项数为7的倍数”,于是得到了bn=a7n,进而得出新的数列{bn}的通项公式.
    【例2】 等差数列1 002,1 005,1 008,…,1 998中能被4整除的项共有多少项?并写出这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式.
    分析:原数列的通项公式为an=1 002+3(n-1),设数列中各数均为3的倍数,故数列中能被4整除的项必为12的倍数.
    解:设原等差数列为{an},则an=1 002+3(n-1)=3n+999,此数列中各项均为3的倍数.
    又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的,所以新数列中的各项为12的倍数.
    设12k是新数列中的项,则1 002≤12k≤1 998,解得83.5≤k≤166.5,故k取84,85,86,…,166,即原数列中能被4整除的项共有83项.
    这些项组成的新数列的通项公式为
    bn=12n+996(n∈N*,1≤n≤83).
    点评:本例还可以运用等差数列的性质,先判断出新数列是以12为公差的等差数列,再找出其首项为1 008,即可写出它的通项公式.
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