人教版新课标A必修52.2 等差数列教案

第2章   2.2   第1课时

等差数列的概念及通项公式

一、选择题

1．(2010·重庆文)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)

A．5   B．6

C．8   D．10

[答案]　A

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a9＝a1＋a1＋8d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2a5＝10，∴a5＝5.

2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为(　　)

A．49   B．50

C．51   D．52

[答案]　D

[解析]　由2an＋1＝2an＋1得an＋1－an＝，∴{an}是等差数列首项a1＝2，公差d＝，

∴an＝2＋(n－1)＝

∴a101＝＝52.

3．等差数列相邻四项是a＋1，a＋3，b，a＋b，那么a，b的值分别为(　　)

A．2,7　　　B．1,6　　　C．0,5　　　D．无法确定

[答案]　A

[解析]　由题设2(a＋3)＝a＋1＋b，

∴a－b＋5＝0又2b＝(a＋3)＋(a＋b)，

∴2a－b＋3＝0，

由得

4．设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．3

[答案]　B

[解析]　由题设，

∴a2＝4，∴，

∴a1，a3是一元二次方程x2－8x＋12＝0的两根，

又a3＞a1，∴a1＝2.

5．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序列号n等于(　　)

A．667　　　B．668　　　C．669　　　D．670

[答案]　C

[解析]　由等差数列通项公式得2005＝1＋(n－1)×3解得n＝669.

6．等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，an＝13，则n的值为(　　)

A．10　　　B．11　　　C．12　　　D．13

[答案]　C

[解析]　设公差为d，∵a3＋a5＝10，a1＝2，

∴2a1＋6d＝10，∴d＝1.

∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1，

又an＝13，∴n＋1＝13，n＝12.

二、填空题

7．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.

[答案]　42

[解析]　a1＋a2＋a3＝15，a2＝5，d＝3，

∴a5＝a2＋3d＝14，a4＋a5＋a6＝3a5＝42.

8．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．

[答案]　4

[解析]　2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，∴a5＝a1＋4d＝4.

三、解答题

9．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a5＋a6＋a8＝450，求a1＋a9.

[解析]　∵a2＋a8＝a4＋a6＝2a5，

∴a2＋a8＋a4＋a6＋a5＝5a5，

∴5a5＝450，∴a5＝90.

又∵a1＋a9＝2a5，∴a1＋a9＝180.

10．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n.

[解析]　∵a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝2×＋5d，

又a2＋a5＝4，∴2×＋5d＝4，解得d＝.

∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，

解得n＝50.

能力提升

一、选择题

1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中顶为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

[答案]　A

[解析]　＝＝＝.

2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{}是等差数列，则a11等于(　　)

A．0　　　B.　　　C.　　　D．－1

[答案]　B

[解析]　令bn＝，由题设b3＝＝，

b7＝＝且{bn}为等差数列，

∴b7＝b3＋4d，∴d＝.∴b11＝b7＋4d＝＋＝，

又b11＝，∴a11＝.

二、填空题

3．在a和b(a≠b)两数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为__________．

[答案]　

[解析]　设插入的n个数为b1、b2……bn则由a、b1、b2……bn、b成等差数列．

∴b＝a＋(n＋1)d，∴d＝.

4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为________．

[答案]　48

[解析]　∵a1＋3a8＋a15＝a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5a1＋35d＝5(a1＋7d)＝120，∴a1＋7d＝24.

3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)

＝3a1＋24d－a1－10d

＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝48.

三、解答题

5．设a1＝kc，a2＝kc2，a3＝kc3(k>0，c>0)，求证：lga1，lga2，lga3成等差数列．

[解析]　∵a1＝kc，a2＝kc2，a3＝kc3(k>0，c>0)，

∴lga1＋lga3＝lg(a1a3)＝lg(k2c4)

＝lg(kc2)2＝2lg(kc2)＝2lga2，

即lga1＋lga3＝2lga2.

∴lga1，lga2，lga3成等差数列．

6．已知等差数列{an}，设bn＝()an，又已知b1＋b2＋b3＝，b·b2·b3＝，求{an}的通项公式．

[解析]　∵b1＋b2＋b3＝()a1＋()a2＋()a3＝，b1b2b3＝()a1＋a2＋a3＝，

∴a1＋a2＋a3＝3，因为a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1.

由()1－d＋＋()1＋d＝，

得2d＋2－d＝.解得d＝2或d＝－2.

当d＝2时，a1＝1－d＝－1，

an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.

当d＝－2时，a1＝1－d＝3，

an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.

7．已知f(x)＝，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)．若x1＝，求x100的值．

[解析]　∵xn＝f(xn－1)，∴xn＝

即xnxn－1＋3xn＝3xn－1

得＝1，即－＝.

∴{}是以2为首项，为公差的等差数列．

∴＝＋(n－1)，∴x100＝.

8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

[解析]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，由题意可知，

即，解得或，

故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.