数学北师大版 (2019)1.2 数列的函数特性精品课时作业

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1．设数列满足，且，则（ ）
A．-2B．C．D．3
【答案】A
【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.
【详解】因为，，
所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
2．数列中最大的项是（ ）
A．107B．108C．D．109
【答案】B
【分析】配方后，利用二次函数知识可求出结果.
【详解】因为
，
所以当时，取得最大值.
故选：B
3．已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案.
【详解】要想为递增数列，则恒成立，
故，
又时，取得最大值，最大值为，故，
故选：B
4．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【详解】选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：不符合题意；
而选项D中的通项公式满足数列，
故选：D
5．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性即可求解
【详解】当时，则，所以，
所以能推出数列为严格增数列；
当数列为严格增数列时，则能推出，
故“”是“数列为严格增数列”的充要条件
故选：.
6．下列说法正确的是（ ）
A．数列与数列是相同的数列
B．数列0，2，4，6，8，…，可记为，
C．数列的第项为
D．数列既是递增数列又是无穷数列
【答案】C
【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断.
【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误；
对于B：当时，，不符合，故B错误；
对于C：数列的第项为，故C正确；
对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误；
故选：C.
7．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）．
A．1，，，，…，，…
B．，，，，…，，…
C．，，，…，，…
D．1，，，…，，…
【答案】BD
【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.
【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；
对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；
对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；
对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.
故选：BD.
8．（多选）已知函数，设数列的通项公式为，则此数列（ ）
A．图象是二次函数的图象
B．是递减数列
C．从第3项往后各项均为负数
D．有两项为1
【答案】BC
【分析】根据题意作出数列的图象，利用图象分析判断即可
【详解】由题意得，由数列与函数的关系可知，数列的图象是分布在二次函数图象上的离散的点，如图所示，故A错，
从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数项，所BC正确，D错误，
故选：BC
9．已知数列的通项公式为：，则的最小值为 ，此时的值为 .
【答案】
【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.
【详解】，已知先减后增，且.
故的最小值为，此时的值为3.
故答案为：；3.
10．，，，，，的一个通项公式是 ．
【答案】
【分析】根据各项分数分母和分子的特征进行求解即可.
【详解】解：经观察得出：数列为：，，，，，
数列的一个通项公式为，
故答案为：
11．已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】对于任意正整数n，恒成立，再由,可以构造出一个关于λ的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】∵恒成立，又由，∴恒成立，
即对于任意正整数n恒成立，∴，所以的取值范围是.
故答案为：.
12．已知数列的通项公式为，若满足，且当时，始终满足，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】求出二次函数对称轴，开口向下，再由题意得出对称轴的范围，解出即可．
【详解】解：的对称轴为，开口向下，
又当时，，，
，，
故答案为：．
13．已知数列的通项公式为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求该数列的最大项．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据、即可求出p和q，从而求出；
(2)根据指数函数单调性即可判断.
【详解】（1）将、代入通项公式得，，解得，，
∴；
（2）∵在R上单调递减，
∴为递减数列，
∴数列的最大项为其第一项.
14．已知数列的通项公式是．
(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；
(2)这个数列中有没有最小的项？
【答案】(1)，，，，，图象如下：
(2)有，为最小项.
【分析】（1）代入求出数列的前5项，画出图象；（2）配方求最值.
【详解】（1），，，，，图象如下：
（2），当时，取得最小值，为最小项
1．已知的通项公式为（），若数列为递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单调数列的定义，，即可求的取值范围.
【详解】
，
由数列为递减数列，则，
即恒成立，即，
当时，的最小值为，
即.
故选：C
2．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.
【详解】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.
故选：B
3．已知数列的通项公式，记，通过计算，归纳出的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的值，归纳它们的值与序号的关系，即可得答案.
【详解】由题意数列的通项公式，
则，，
，
可看出分子上的值为相应项的序号加2，分母为相应序号加1后的2倍，
故归纳出的表达式是，
故选：C
4．数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据为递增数列，得到，进而求出，得到答案.
【详解】，为递增数列，
故，
故，
由于，故，
因为，，
故“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由于，故数列是递增数列；
对于B，由于，故数列是递增数列；
对于C，由于，，故数列不是递增数列；
对于D，由于，
当时，，，即，
又，所以数列是递增数列．
故选：ABD.
6．已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】BC
【分析】运用数列的单调性列式求解即可.
【详解】因为，，是递增数列，
所以必有，
即：，
解得：.
故选：BC.
7．已知数列的通项，则 .
【答案】
【分析】根据数列的通项公式求得，即得答案.
【详解】由于数列的通项，
故，，
所以，
故答案为：
8．已知数列中，，，则 ， ．
【答案】 11
【分析】应用累加法求通项公式，进而求第5项即可.
【详解】依题意，，，，而，
则
，也满足该式，
所以，．
故答案为：11；
9．在数列中，，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】(1)共有项为负
(2)从第项开始数列递增
(3)有，最小值为
【分析】（1）由求得正确答案.
（2）利用差比较法进行判断.
（3）根据二次函数的性质确定正确答案.
【详解】（1）由，
解得，，所以数列前项为负数，
也即共有项为负数.
（2）因为，
当，即从第项开始数列开始递增.
（3），
根据二次函数的性质知，当时，取得最小值，
即数列中有最小值，最小值为.
1．（多选）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列是周期数列且周期为3B．该数列不是周期数列
C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数的解析式，求出数列的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出，即可判断C，D.
【详解】由题意知，故；；
；；；
；……
∴数列从开始每3项，即重复出现，
但前2项和后面项并不重复，故数列并不是周期数列，A错误，B正确．
，
，C正确，D错误．
故选：BC．
2．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项.
【答案】
【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案.
【详解】依题意，，
则，
当时，，
所以当时，，
所以数列的最大项为第项.
故答案为：
3．已知数列中，（且）．若对任意的，都有成立，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由数列对应函数的单调性，结合最值问题，即可求解.
【详解】，已知对任意的，都有成立，
，函数在区间和单调递减，
结合函数的单调性可得，得，
因此实数的取值范围为.
故答案为：