2021学年1.2 数列的函数特性巩固练习

1.1.2　数列的函数特性、递推公式

1.下列说法不正确的是(　　)

A.数列可以用图象来表示

B.数列的通项公式不唯一

C.数列中的项可以相等

D.数列可分为递增数列、递减数列、常数列三类

【答案】D

2.数列{an}中，a2=1，an+an+1=2n，n∈N+，则a1+a3的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.8

【答案】A

【解析】由a2=1，an+an+1=2n，n∈N+，可得a1+a2=2，a2+a3=4，解得a1=1，a3=3，a1+a3=4.

3.在数列{an}中，a1=2，an=an+1-3，则14是{an}的第　　　　项. 

【答案】5

【解析】a1=2，a2=a1+3=5，a3=a2+3=8，a4=a3+3=11，a5=a4+3=14.

4.已知数列{an}中，a1a2·…·an=n2(n∈N+)，则a9=　　　　. 

【答案】

【解析】a1a2·…·a8=82， ①

a1a2·…·a9=92， ②

②÷①，得a9=.

5.已知数列2a-1，a-3，3a-5为递减数列，则a的取值范围为　　　　. 

【答案】(-2，1)

【解析】∵数列2a-1，a-3，3a-5为递减数列，

∴解得-2<a<1.

6.在数列{an}中，an=n(n-8)-20，n∈N+，请回答下列问题:

(1)这个数列共有几项为负?

(2)这个数列从第几项开始递增?

(3)这个数列中有无最小值?若有，求出最小值;若无，请说明理由.

解(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10)，

所以当0<n<10，n∈N+时，an<0，

所以数列{an}共有9项为负.

(2)因为an+1-an=2n-7，

所以当an+1-an>0时，n>，

故数列{an}从第4项开始递增.

(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36，根据二次函数的性质知，当n=4时，an取得最小值-36，即这个数列有最小值，最小值为-36.

7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.

(1)a1=0，an+1=an+2n-1(n∈N+);

(2)a1=1，an+1=an+(n∈N+);

(3)a1=-1，an+1=an+(n∈N+).

解(1)a1=0，a2=1，a3=4，a4=9.

猜想an=(n-1)2(n∈N+).

(2)a1=1，a2=，a3=2，a4=.

猜想an=(n∈N+).

(3)a1=-1，a2=-，a3=-，a4=-.

猜想an=-(n∈N+).

8.已知an=，则数列{an}中相等的连续两项是(　　)

A.第9项，第10项 B.第10项，第11项

C.第11项，第12项 D.第12项，第13项

【答案】B

【解析】假设an=an+1，则有，解得n=10，所以相等的连续两项是第10项和第11项.

9.已知数列{an}满足a1=a，an+1=(n∈N+).若数列{an}是常数列，则a=(　　)

A.-2 B.-1

C.0 D.(-1)n

【答案】A

【解析】∵数列{an}满足a1=a，an+1=(n∈N+)，∴a2=.∵数列{an}是常数列，∴a=，解得a=-2.故选A.

10.已知数列{xn}满足x1=a，x2=b，xn+1=xn-xn-1(n≥2)，则下列结论不正确的是(　　)

A.x2 020=a

B.x2 022=a-b

C.x11=x2 021

D.x1+x2+…+x2 020=2b-a

【答案】A

【解析】x1=a，x2=b，x3=x2-x1=b-a，x4=x3-x2=-a，x5=x4-x3=-b，x6=x5-x4=a-b，x7=x6-x5=a=x1，x8=x7-x6=b=x2，∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x2 020=x4=-a，A不正确;x2 022=x6=a-b，B正确;x2 021=x5=x11，C正确;x1+x2+…+x2 020=x1+x2+x3+x4=2b-a，D正确.

11.(多选题)数列{an}的通项公式为an=n+，则下列说法正确的是(　　)

A.当a=2时，数列{an}的最小值是a1=a2=3

B.当a=-1时，数列{an}的最小值是a1=0

C.当0<a<4时，a不是数列{an}中的项

D.当a<2时，{an}为递增数列

【答案】ABCD

【解析】当a=2时，an=n+，由f(x)=x+的单调性及a1=3，a2=3，可知A正确;当a=-1时，an=n-，数列{an}显然是递增数列，故最小值为a1=0，B正确;令an=n+=a，得n2-na+a=0，当0<a<4时，Δ=a2-4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确;若{an}是递增数列，则an+1>an，即n+1+>n+，得a<n2+n，又n2+n≥2，所以a<2，D正确.

12.(多选题)由下列数列{an}的通项公式可知是递增数列的为(　　)

A.an= B.an=n2+n

C.an=1-2n D.an=2n+1

【答案】BD

【解析】对于A，an=，a1=1，a2=，不是递增数列，不符合题意，对于B，an=n2+n，an-an-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n>0，是递增数列，符合题意，对于C，an=1-2n，an-an-1=(1-2n)-[1-2(n-1)]=-2，不是递增数列，不符合题意，对于D，an=2n+1，函数y=2x+1为递增函数，则an=2n+1是递增数列，符合题意，故选BD.

13.由1，3，5，…，2n-1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，bn=，则b6的值是(　　)

A.9 B.17 C.33 D.65

【答案】C

【解析】∵an=2n-1，∴bn==2bn-1-1.又b1=2，∴b2=3，b3=5，b4=9，b5=17，b6=33.

14.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则an等于(　　)

A.2+ln n B.2+(n-1)ln n

C.2+nln n D.1+n+ln n

【答案】A

【解析】∵an+1-an=ln ，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=ln +ln +…+ln +ln 2+2

=ln+2=2+ln n.

15.已知在数列{an}中，an+1=对任意正自然数n都成立，且a7=，则a5=　　　　　. 

【答案】1

【解析】由已知a7=，解得a6=.

又因为a6=，解得a5=1.

16.数列中的最大项为　　　. 

【答案】

【解析】设an=，则an+1-an=，

∴当n≥3时，an+1<an，

当n<3时，an+1>an，∴数列中的最大项为a3=.

17.设an=-n2+10n+11，则数列{an}中第　　　　项的值最大. 

【答案】5

【解析】根据题意，an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36，当n=5时，an取得最大值.

18.已知各项不为0的数列{an}满足a1=，anan-1=an-1-an(n≥2，n∈N+)，求数列{an}的通项公式.

解∵anan-1=an-1-an，且各项均不为0，

∴=1.

∴当n≥2时，+++…+=2+1×(n-1)=n+1.

∴=n+1，∴当n≥2时，an=.

当n=1时，a1=，

即a1=也符合an=，

∴an=(n∈N+).

19.在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　　　　. 

【答案】28

【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1=1，a2=2，a3=4，因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.

20.已知函数f(x)=x2-5x，数列{an}的通项公式为an=n+(n∈N+).当|f(an)-14|取得最小值时，n的所有可能取值组成的集合为　　　　. 

【答案】{1，6}

【解析】令g(n)=|f(an)-14|=|-5an-14|=an-2-，

∵an=n+(n∈N+)，∴an=n+≥2，

要使g(n)最小，n+2要尽量接近，∴令n+2=，

∴n+=±，∵an>2，

∴n+=7，解得n=1或6，

∴n的所有可能取值组成的集合为{1，6}.