数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题

这是一份数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题，共35页。试卷主要包含了根据下图，填入相应的符号，下列说法正确的是，下列推理错误的是，下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。

公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
平面与平面的位置关系有二种情况：
平面相交：
平面平行：
题型一：文字、图形、符号三种语言的转换
例1（1）．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
举一反三
1．根据下图，填入相应的符号：
A________平面，
A________平面，
________平面，
平面平面__________．
2．用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形：
(1)点A在直线a上，直线a在平面内；
(2)直线a经过平面外的一点A；
(3)直线a既在平面内，又在平面内．
题型二：平面的画法及表示
例2画“三个平面两两相交”的直观图．
举一反三
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周_________的．
平面的画法与表示
（1）平面的画法
（2）平面的表示方法
①用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等．
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面．
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面．
（3）点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
2.如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分画为虚线．
(1)AB被平面遮挡；
(2)AB没有被平面遮挡．
题型三：直线与直线的位置关系
例3:1.填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
2．判断正误．
（1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )
（3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )
（4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )
举一反三
1．在三棱锥中，与是异面直线的是( )
A． B． C． D．
2．空间中点与直线的位置关系
点在直线上和点在直线外．
异面直线的定义和画法
（1）定义：____________的两条直线叫做异面直线．
（2）画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个____________来衬托，如图①②．
空间中直线与直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种：
题型四：直线与平面的位置关系
例4.（1）空间中直线与平面的位置关系
（2）．对于平面外一直线，下列说法正确的是（ ）
A．内的所有直线都与异面B．内有无数条直线与垂直
C．内没有直线与相交D．内有无数条直线与平行
举一反三
1．（多选题）下列叙述正确的是（ ）
A．若直线与平面相交，则直线上所有点都在平面上
B．若直线与平面平行，则无公共点
C．若直线上两点在平面内，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行
E．若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交
2．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行．
题型五：平面与平面的位置关系
例5.已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
举一反三
1空间中平面与平面的位置关系
2．直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
题型六：多点共线
例6.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
举一反三
1,如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
题型七：多线共点
例7如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
举一反三
已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.
题型八：多线共面
例8如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
举一反三
1．已知a，b，c是空间三条直线，且，c与a，b都相交．求证：直线a，b，c在同一平面内．
巩固提升
一、单选题
1．以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
2．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
3．正方体中，分别是的中点.那么过三点的截面图形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
5．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
6．下列推理错误的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
二、多选题
7．下列叙述正确的是（ ）
A．若直线与平面相交，则直线上所有点都在平面上
B．若直线与平面平行，则无公共点
C．若直线上两点在平面内，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行
E．若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交
8．设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
三、填空题
9．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.
10．空间中两条直线的位置关系有___________.
解答题
1．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：
(1)，O，M三点共线；
(2)E，C，，F四点共面．
2．在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2）三条直线相交于同一点.
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成______________
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成____________
图示
文字语言
符号语言
点A在直线l上
_______________
点A在直线l外
_______________
点A在平面内
_______________
点A在平面外
_______________
直线l在平面内
_______________
直线l在平面外
_______________
平面，相交于l
_______________
位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线在平面内
___________
有__________个公共点
直线与平面相交
___________
有__________个公共点
直线与平面平行
___________
没有公共点
位置关系
图形表示
符号语言
公共点
两个平面平行
__________
没有公共点
两个平面相交
__________
有一条公共直线
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
一. 平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α
相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A
平行——没有公共点 符号 a∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
平面与平面的位置关系有二种情况：
平面相交：
平面平行：
题型一：文字、图形、符号三种语言的转换
例1（1）．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】
【分析】
由图可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案
【详解】
由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，
故选：A
举一反三
1．根据下图，填入相应的符号：
A________平面，
A________平面，
________平面，
平面平面__________．
【答案】
2．用集合符号表示下列语句，并画出相应的图形：
(1)点A在直线a上，直线a在平面内；
(2)直线a经过平面外的一点A；
(3)直线a既在平面内，又在平面内．
【答案】(1)集合符合表示为：，图形见解析；
(2)集合符合表示为：，图形见解析；
(3)集合符合表示为：，图形见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可
（2）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可
（3）根据题意，写出集合表示，结合空间中点线面的位置关系，作出图象即可
(1)
集合符合表示为：，
(2)
集合符合表示为：，
(3)
集合符合表示为：
题型二：平面的画法及表示
例2画“三个平面两两相交”的直观图．
【答案】图形见解析
【解析】
【分析】
取正方体中两两相交的三个平面即可．
【详解】
解：解：如下图中的平面、、，这三个平面两两相交．
举一反三
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周_________的．
平面的画法与表示
（1）平面的画法
（2）平面的表示方法
①用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等．
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面．
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面．
（3）点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
【答案】 无限延展 横向 竖向
2.如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分画为虚线．
(1)AB被平面遮挡；
(2)AB没有被平面遮挡．
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
【解析】
【分析】
（1）平面遮挡的部分画成虚线；
（2）平面没有遮挡的部分画成实线，但被平面遮挡的部分画成虚线；
(1)
(2)
题型三：直线与直线的位置关系
例3:1.填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
【答案】 直线平行于平面或直线在平面内 或与相交
【解析】
【分析】
（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；
（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；
（3）利用图形可判断与的位置关系.
【详解】
（1）因为、是异面直线，直线与、都相交，则与、与可分别确定一个平面，
故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：
已知，，则（如图1），（如图2）.
（3）已知两条相交直线、，且平面，如下图所示：
如图3所示，可知，如图4所示，与相交.
故答案为：（1）；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）或与相交.
2．判断正误．
（1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )
（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )
（3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )
（4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )
【答案】 × √ × ×
【解析】
【详解】
（1）可以平行、异面，故错误；
（2）空间直线位置关系有三种：平行、相交、异面，故正确；
（3）可以是异面、相交，故错误；
（4）可以是异面、相交，故错误.
举一反三
1．在三棱锥中，与是异面直线的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
根据异面直线的定义可知：在三棱锥中，与是异面直线的是
故选：C
2．空间中点与直线的位置关系
点在直线上和点在直线外．
异面直线的定义和画法
（1）定义：____________的两条直线叫做异面直线．
（2）画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个____________来衬托，如图①②．
空间中直线与直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种：
[微提醒]异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
【答案】 不同在任何一个平面 平面，一个，没有，任何一个平面，公共点
题型四：直线与平面的位置关系
例4.（1）空间中直线与平面的位置关系
【答案】 无数个 一个 //
（2）．对于平面外一直线，下列说法正确的是（ ）
A．内的所有直线都与异面B．内有无数条直线与垂直
C．内没有直线与相交D．内有无数条直线与平行
【答案】B
【解析】
【分析】
对于ACD，由直线与平面相交的性质进行判断，对于B，分直线与平面相交和平行两种情况分析判断即可
【详解】
对于A，当直线与平面相交时，在平面内过交点的直线与直线相交，所以A错误，
对于B，当直线与平面相交时，则在平面内与直线的射影垂直的直线，与直线垂直，这样的直线有无数条，当直线与平面平行时，则在内有无数条直线与垂直，所以B正确，
对于C，当直线与平面相交时，在平面内过交点的直线与直线相交，所以C错误，
对于D，当直线与平面相交时，在平面内没有直线与平行，所以D错误，
故选：B
举一反三
1．（多选题）下列叙述正确的是（ ）
A．若直线与平面相交，则直线上所有点都在平面上
B．若直线与平面平行，则无公共点
C．若直线上两点在平面内，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行
E．若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交
【答案】BCE
【解析】
【分析】
依据直线与平面位置关系的定义去判断直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行的相关说法的正确性即可.
【详解】
选项A：若直线与平面相交，则直线与平面有且只有一个公共点.说法错误；
选项B：若直线与平面平行，则直线与平面无公共点.说法正确；
选项C：若直线上两点在平面内，则直线在平面内.说法正确；
选项D：若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行或相交. 说法错误；
选项E：若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交. 说法正确；
故选：BCE
2．如图，在长方体的六个表面中，指出在哪些平面内，与哪些平面相交，与哪些平面平行．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据长方体的图像直接可判断.
【详解】
由图可知平面，平面，
与平面、平面相交，
平面，平面
题型五：平面与平面的位置关系
例5.已知是两个不同的平面，直线，则“中任意一条直线均不与l相交”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分性和必要性的定义判断即可.
【详解】
中任意一条直线均不与l相交不能推出；
可以推出中任意一条直线均不与l相交，
故“中任意一条直线均不与l相交”是的必要不充分条件.
故选：B.
举一反三
1空间中平面与平面的位置关系
【答案】 //
2．直线a和两条异面直线b，c都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母．
【答案】图形见解析.
【解析】
【分析】
直接根据题意，即可画出图形.
【详解】
根据题意，画出图形，如图所示：
题型六：多点共线
例6.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题；
（2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.
(1)
连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
举一反三
1,如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）连接，交于点，连接，交于点，从而可得到过点，，的平面为平面；
（2）根据基本性质三：若两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出平面与正方体表面的交线；
(1)
连接，交于点，连接，交于点，连接，则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，.
(2)
延长，交的延长线于点Q，延长，交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，
则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，，.
题型七：多线共点
例7如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明出即可；（2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明.
(1)
∵，
∴.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴，且
∴，
∴E，F，G，H四点共面.
(2)
∵G，H不是BC，CD的中点，
∴
∴由（1）知，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE与HF的交点在直线AC上.
举一反三
已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由题意易得G，H，B，D四点共面，延长，后必交于点P，利用点线、点面关系，结合平面的基本性质判断P与的位置关系，即可证结论.
【详解】
∵，，
∴，又，
∴.
∴G，H，B，D四点共面，且四边形为梯形.
延长，后必交于点P，如图.
由，平面，
∴平面，同理平面.
∴P在面和面的交线上，又面面，
∴.
∴，，延长后相交于一点.
题型八：多线共面
例8如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
【答案】证明过程见解析.
【解析】
【分析】
运用平面基本事实进行证明即可.
【详解】
因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为，
所以，因为，所以，因为，
所以，即直线AD，BD，CD在同一平面内．
举一反三
1．已知a，b，c是空间三条直线，且，c与a，b都相交．求证：直线a，b，c在同一平面内．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据，可确定一个平面，再证明即可.
【详解】
，确定一个平面.
设，
∴，
，
，即，
∴直线在同一平面内.
巩固提升
一、单选题
1．以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面的基本性质知①中若有三点共线则必四点共面，②中只能得到两个平面有交线，不能得到两面重合③可由空间四边形知结论错误.
【详解】
①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；
②不正确，共面不具有传递性；
③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内,
故选：B
2．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面的基本性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；
对于B，梯形是一组对边平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；
对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；
对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，
故选：B．
3．正方体中，分别是的中点.那么过三点的截面图形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【解析】
【分析】
过三个点，根据线面关系作出图像即可判断截面为正六边形.
【详解】
如图所示，设正方体棱长为2a，取BC中点为F，
延长PR、DA交于E，则AE＝a，连接EF交AB与G，则G为AB中点，
延长GF、DC交于H，则CH＝a，连接HQ交与I，则I是中点，
由此得到了截面PRGFIQ为正六边形.
故选：D.
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面的基本性质判断各选项的正误.
【详解】
A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B：如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
D：两条相交直线确定一个平面，正确.
故选：D.
5．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．
【详解】
已知，为不同的平面，，，为不同的直线，
对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；
对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．
故选：D
6．下列推理错误的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公理1，判断A，C，D，根据公理2，判断B，
【详解】
由 ，，，根据公理1可得，A对，
由，根据公理1可得，D对，
由，可得或，C错，
由，，，根据公理2可得，B对，
故选：C
二、多选题
7．下列叙述正确的是（ ）
A．若直线与平面相交，则直线上所有点都在平面上
B．若直线与平面平行，则无公共点
C．若直线上两点在平面内，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行
E．若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交
【答案】BCE
【解析】
【分析】
依据直线与平面位置关系的定义去判断直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行的相关说法的正确性即可.
【详解】
选项A：若直线与平面相交，则直线与平面有且只有一个公共点.说法错误；
选项B：若直线与平面平行，则直线与平面无公共点.说法正确；
选项C：若直线上两点在平面内，则直线在平面内.说法正确；
选项D：若直线与平面平行，则过直线的平面与这个平面相互平行或相交. 说法错误；
选项E：若直线与平面有且只有一个公共点，则直线与平面相交. 说法正确；
故选：BCE
8．设是给定的平面，，是不在内的任意两点，则（ ）
A．一定存在过直线的平面与平面垂直
B．在内一定存在直线与直线平行
C．在内一定存在直线与直线相交
D．在内一定存在直线与直线垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.
【详解】
对于A，当直线AB与垂直时，过AB的所有平面都与垂直；
当直线AB与不垂直时（无论相交还是平行），设A，B在平面内的射影为点和，
则直线和平行，且它们都垂直于平面，直线和所在的平面与垂直，正确；
对于B，当与相交时，内不存在直线与平行，否则直线AB与平行，故B错误；
对于C，当与平行时，内所有直线与都没有交点，故C错误；
对于D，选项A中确定的平面与平面的交线记为m，则平面内所有与m垂直的直线都与平面垂直，于是也和直线AB垂直，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
9．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
连接、、，分析可知平面截正方体所得截面为梯形，计算出梯形的面积，即可得解.
【详解】
连接、、，如下图所示：
在正方体中，且，故四边形为平行四边形，
所以，，
、分别为、的中点，则且，，
因为平面平面，平面平面，设平面平面，则，
因为为平面与平面的一个公共点，且，，故直线与直线重合，
且，故梯形为截面截正方体所得截面，
过点、在平面内作，，垂足点分别为、，
因为，同理可得，则梯形为等腰梯形，
因为，，，则，
所以，，
在平面内，，，，则，故四边形为矩形，
所以，，则，，
因此，截面面积为.
故答案为：.
10．空间中两条直线的位置关系有___________.
【答案】平行、相交、异面
【解析】
【分析】
根据空间中两条直线的位置关系即可作答.
【详解】
空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.
故答案为：平行、相交、异面.
解答题
1．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：
(1)，O，M三点共线；
(2)E，C，，F四点共面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证
（2）根据平行的传递性，可证，根据基本事实的推论，即可得证.
(1)
由题意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，
所以三点共线
(2)
连接EF、、，
因为E、F分别为AB、的中点，
所以，
又正方体，
所以，
所以，
因为两平行直线可确定一个平面，
所以E，C，，F四点共面.
2．在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2）三条直线相交于同一点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由中位线性质和平行线分线段成比例可证得且，由此可得结论；
（2）设，可证得平面，平面，则，由此可得结论.
【详解】
（1）分别是边的中点，，，
由得：，且，
且，四边形是梯形.
（2）由（1）知：相交，设，
，平面，平面，同理可得：平面，
又平面平面，，和的交点在直线上，
三条直线相交于同一点.
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成______________
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成____________
图示
文字语言
符号语言
点A在直线l上
_______________
点A在直线l外
_______________
点A在平面内
_______________
点A在平面外
_______________
直线l在平面内
_______________
直线l在平面外
_______________
平面，相交于l
_______________
位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线在平面内
___________
有__________个公共点
直线与平面相交
___________
有__________个公共点
直线与平面平行
___________
没有公共点
位置关系
图形表示
符号语言
公共点
两个平面平行
__________
没有公共点
两个平面相交
__________
有一条公共直线