高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样练习，共31页。试卷主要包含了普查的定义，普查的主要特点等内容，欢迎下载使用。

1．普查的定义
普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全方位调查，目的是为了详细地了
解某项重要的国情、国力．
2．普查的主要特点
(1)所取得的资料更加全方位、系统；(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量；(3)
当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
思考我们国家常实行的普查有哪些？(举例)
答人口普查、工业普查、农业普查等．
抽样调查
1．抽样调查的定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，实行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
2．抽样调查最突出的优点
(1)迅速、即时；(2)节约人力、物力和财力
例1（1）．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（ ）
A．杨高的全校学生；
B．杨高的全校学生的平均每天自习时间；
C．所调查的60名学生；
D．所调查的60名学生的平均每天自习时间.
（2）．为了估计某甲鱼养殖基地池塘中甲鱼的数量，养殖人员随机捕捉20只甲鱼，做好标记，然后放回池塘中，一周后，再次随机捕捉100只甲鱼，其中有标记的甲鱼共4只，则估计池塘中甲鱼的总数为（ ）
A．400B．450C．500D．550
举一反三
1．下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
2．种植某种花的球根个，进行调查发芽天数的试验，样本是（ ）
A．个球根发芽天数的数值B．个球根
C．无数个球根发芽天数的数值集合D．无法确定
3．为了了解獬全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名学生 B．个体是每一个学生 C．样本是40名学生 D．样本量是40
二．简单随机抽样
1、简单随机抽样的概念：
一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.
2、简单随机抽样的特点：
(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；
(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；
(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；
(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.
3、实施抽样的方法：
(1)抽签法：
抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.
抽签法的一般步骤：
①将总体中的N个个体编号；
②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.
例2用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为( )
A．4.5 B．4.8 C．5.2 D．6
举一反三
1．抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以使用卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个_________的盒里，充分_________．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
2.抽签法确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取不放回
(2)随机数表法：
要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.
随机数表法的步骤：
①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；
②在随机数表中任选一个数字作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.
注意：
①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；
②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.
例3总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19B．25C．26D．27
举一反三
1.利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.
三．分层抽样
基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观察单位，合起来组成样本。
具体做法：
第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值；
第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数；
第三步：用简单随机抽样的方法产生样本；
优缺点分析：
优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法；
缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大；
4总体均值
一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y QUOTE = QUOTE ?1+?2+…+??? = 为总体均值,又称总体平均数 .
样本均值
如果从总体中抽取一个样本量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,称
y
QUOTE = QUOTE ?1+?2+…+??? QUOTE y1+y2+…+ynn = 为样本均值,又称样本平均数.
QUOTE
例4.(1)要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（ ）
A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样B．（1）（2）都用简单随机抽样
C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样D．（1）（2）都用分层随机抽样
(2)．第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行．为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度，从该校名学生中，利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，若小学、初中、高中的学生人数如下表：
则从高中生中应抽取的人数为（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.
2．某校高三年级有名学生，其中文科学生名．按文理科比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个样本容量为的样本，则应抽取理科学生人数为_______．
获取数据的途径
通过调查获取数据
对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率、高中生日平均上网时间等问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.
针对不同问题的特点，为了有效收集所需数据，除了我们已经学过的简单随机抽样和分层随机抽样，还有系统抽样、整群抽样、不等概率抽样、自适应抽样、两阶段抽样等很多其他的方法.在实际应用中，关键在于是否能充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误.
通过试验获取数据
试验是获取样本观测数据的另一种重要途径.例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.又如特种钢、轮胎的配方和产品质量等，也需要通过试验获取样本观测数据.
通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.在统计学中，这种安排试验的学问叫做“试验设计”.
通过观察获取数据
在现实生活中，很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等.自然现象会随着时间的变化而变化，不能用已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据.研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据.
对于各个不同的行业，往往需要专业测量设备获取观测数据.随着科技水平的提高，专业测量设备的自动化程度越来越高，通过观测获取和存储数据的成本越来越低，这成为大数据产生的根源.一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一.
通过查询获得数据
我们感兴趣的问题，可能有众多专家研究过，他们在研究中所收集的样本观测数据可能存储于学术论文、专著、新闻稿、公报或互联网上.这些数据是宝贵的财富，我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.我们往往把这样获得的数据叫做二手数据.国家统计局是我国最主要的统计数据收集和发布的部门，调查统计的数据涉及经济、社会、民生的方方面面.国家统计局的统计数据通过多种形式进行公布，例如定期发布新闻稿、举办新闻发布会、发布统计公报、出版各类统计资料等.统计公报有年度统计公报、经济普査公报、人口普查公报、农业普查公报等；统计资料出版物有《中国统计摘要》、以《中国统计年鉴》为代表的统计年鉴系列等.
例5.已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2月25日B．2月26日C．2月27日D．2月28日
举一反三
1．下列说法错误的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
2．（多选）下例命题正确的是（ ）
A．简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关；
B．统计报表是我国取得国民经济和社会发展情况基本统计资料的一种重要手段；
C．统计报表既可以越级汇总，也可以层层上报、逐级汇总，以便满足各级管理部门对主管系统和区域统计资料的需要；
D．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
课外阅读
系统抽样；
基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第k号观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本；
优缺点分析：
优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候；
易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小；
缺点：仍需对每个观察单位编号；
当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性；
系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)编号：先将总体的N个个体编号；
(2)分段：确定分段间隔k，对编号分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝N/n；
(3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取
例1．有20位同学编号，从1至20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽取的编号为（ ）
A．5，10，15，20B．2，6，10，14C．2，6，8，10D．5，8，11，14
2．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．8号学生B．200号学生
C．615号学生D．816号学生
举一反三
1．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（ ）
A．112B．37C．22D．9
2．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（ ）
A．6，2B．2，3C．2，60D．60，2
3．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A．076B．104C．390D．522
巩固提升
一、单选题
1．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（ ）
A．5B．10C．8D．9
2．某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出200人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理
B．若按专业类型进行分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取60人和40人
C．若按专业类型进行分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
D．该问题中的样本容量为200
3．某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样D．其他抽样方法
4．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08B．15C．16D．19
5．为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
6．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（ ）
A．10B．13C．17D．26
二、多选题
7．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6E．5
8．(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
三、填空题
9．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．
10．某校高一（1）班有30名男生和20名女生，采用分层随机抽样的方法从中抽取10名学生进行学习习惯调查，则抽取的男生人数为______.
四、解答题
11．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题，1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比？
12．在考察某高中的学生身高时，采用分层随机抽样的方法，得到了男生身高的平均数为172，女生身高的平均数为162．
(1)如果没有其他信息，怎样估计总体平均数？
(2)如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎样估计总体平均数？
小学生
初中生
高中生
9.1随机抽样（讲义+例题+小练）
一．普查与抽样调查
1．普查的定义
普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全方位调查，目的是为了详细地了
解某项重要的国情、国力．
2．普查的主要特点
(1)所取得的资料更加全方位、系统；(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量；(3)
当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．
思考我们国家常实行的普查有哪些？(举例)
答人口普查、工业普查、农业普查等．
抽样调查
1．抽样调查的定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，实行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
2．抽样调查最突出的优点
(1)迅速、即时；(2)节约人力、物力和财力
例1（1）．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（ ）
A．杨高的全校学生；
B．杨高的全校学生的平均每天自习时间；
C．所调查的60名学生；
D．所调查的60名学生的平均每天自习时间.
【答案】B
【解析】
【分析】
由总体的概念可得答案.
【详解】
某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，
发现他们每天的平均自习时间是3.5小时，
这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.
故选：B.
（2）．为了估计某甲鱼养殖基地池塘中甲鱼的数量，养殖人员随机捕捉20只甲鱼，做好标记，然后放回池塘中，一周后，再次随机捕捉100只甲鱼，其中有标记的甲鱼共4只，则估计池塘中甲鱼的总数为（ ）
A．400B．450C．500D．550
【答案】C
【解析】
【分析】
利用第二次随机捕捉100只甲鱼，其中有标记的甲鱼共4只，可估计出池塘里有标记的鱼的百分比，由此可列方程估计出池塘中甲鱼的总数
【详解】
设池塘中甲鱼的总数为，则由题意得，解得．
故选：C
举一反三
1．下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
A：采用普查的方式测试炮弹杀伤半径，成本较高，不适合，故错误；
B：采用普查的方式测试玉米的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故错误；
C：抽查了解河流水质，是正确的；
D：为了解个人的锻炼时间，适合采用普查，故错误；
故选：C.
2．种植某种花的球根个，进行调查发芽天数的试验，样本是（ ）
A．个球根发芽天数的数值B．个球根
C．无数个球根发芽天数的数值集合D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据样本的定义可得出合适的选项.
【详解】
在这个试验中，个球根发芽天数的数值是样本.
故选：A.
3．为了了解獬全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名学生 B．个体是每一个学生 C．样本是40名学生 D．样本量是40
【答案】D
【解析】
【详解】
总体是240名学生的身高情况，个体是每一个学生的身高情况，样本是40名学生身高情况，样本量是40，故选：D.
二．简单随机抽样
1、简单随机抽样的概念：
一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.
2、简单随机抽样的特点：
(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；
(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；
(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；
(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.
3、实施抽样的方法：
(1)抽签法：
抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.
抽签法的一般步骤：
①将总体中的N个个体编号；
②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；
⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.
例2用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为( )
A．4.5 B．4.8 C．5.2 D．6
【答案】C
【解析】
【详解】
计算样本平均数可得，故选：C.
举一反三
1．抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以使用卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个_________的盒里，充分_________．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
【答案】 不透明 搅拌
2.抽签法确保样本代表性的关键是( )
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取不放回
【答案】B
(2)随机数表法：
要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.
随机数表法的步骤：
①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；
②在随机数表中任选一个数字作为开始；
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.
注意：
①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；
②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.
例3总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19B．25C．26D．27
【答案】B
【解析】
【分析】
利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，由此可得出结论.
【详解】
由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，
因此，选出的第个个体的编号为.
故选：B
举一反三
1.利用随机数表法对一个容量为90，编号为00，01，02，…，89的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第2行第3列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第1行至第5行），根据下图，读出的第3个数是___________.
【答案】75
【解析】
【分析】
根据随机数表法进行抽样即可.
【详解】
从随机数表的第2行第3列的数开始向右读数，第一个编号为62，符合；第二个编号为38，符合；第三个编号为97，大于89，应舍去；下一个编号为75，符合.
所以读出的第3个数是：75.
故答案为：75.
三．分层抽样
基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观察单位，合起来组成样本。
具体做法：
第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值；
第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数；
第三步：用简单随机抽样的方法产生样本；
优缺点分析：
优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法；
缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大；
4总体均值
一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y QUOTE = QUOTE ?1+?2+…+??? = 为总体均值,又称总体平均数 .
样本均值
如果从总体中抽取一个样本量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,称
y
QUOTE = QUOTE ?1+?2+…+??? QUOTE y1+y2+…+ynn = 为样本均值,又称样本平均数.
QUOTE
例4.(1)要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（ ）
A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样B．（1）（2）都用简单随机抽样
C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样D．（1）（2）都用分层随机抽样
【答案】C
【解析】
【分析】
根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.
【详解】
因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；
从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.
故选：C
(2)．第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行．为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度，从该校名学生中，利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，若小学、初中、高中的学生人数如下表：
则从高中生中应抽取的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用分层抽样的特点求解即可.
【详解】
∵高中生人数为，
∴从高中生中应抽取的人数为．
故选:.
举一反三
1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据分层抽样原理求出抽取的人数．
【详解】
解：根据分层抽样原理知，，
所以在大一青年志愿者中应选派10人．
故答案为：10．
2．某校高三年级有名学生，其中文科学生名．按文理科比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个样本容量为的样本，则应抽取理科学生人数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分层抽样可计算出抽取理科学生人数.
【详解】
设应抽取理科学生人数为，则，解得．
故答案为：．
获取数据的途径
通过调查获取数据
对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率、高中生日平均上网时间等问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.
针对不同问题的特点，为了有效收集所需数据，除了我们已经学过的简单随机抽样和分层随机抽样，还有系统抽样、整群抽样、不等概率抽样、自适应抽样、两阶段抽样等很多其他的方法.在实际应用中，关键在于是否能充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误.
通过试验获取数据
试验是获取样本观测数据的另一种重要途径.例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.又如特种钢、轮胎的配方和产品质量等，也需要通过试验获取样本观测数据.
通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.在统计学中，这种安排试验的学问叫做“试验设计”.
通过观察获取数据
在现实生活中，很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等.自然现象会随着时间的变化而变化，不能用已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据.研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据.
对于各个不同的行业，往往需要专业测量设备获取观测数据.随着科技水平的提高，专业测量设备的自动化程度越来越高，通过观测获取和存储数据的成本越来越低，这成为大数据产生的根源.一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一.
通过查询获得数据
我们感兴趣的问题，可能有众多专家研究过，他们在研究中所收集的样本观测数据可能存储于学术论文、专著、新闻稿、公报或互联网上.这些数据是宝贵的财富，我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.我们往往把这样获得的数据叫做二手数据.国家统计局是我国最主要的统计数据收集和发布的部门，调查统计的数据涉及经济、社会、民生的方方面面.国家统计局的统计数据通过多种形式进行公布，例如定期发布新闻稿、举办新闻发布会、发布统计公报、出版各类统计资料等.统计公报有年度统计公报、经济普査公报、人口普查公报、农业普查公报等；统计资料出版物有《中国统计摘要》、以《中国统计年鉴》为代表的统计年鉴系列等.
例5.已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2月25日B．2月26日C．2月27日D．2月28日
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用列举法列出甲、乙、丙从2月14日开始的去锻炼的日期即可作答.
【详解】
甲去的时间：2月14日，2月16日，2月18日，2月20日，2月22日，2月24日，2月26日，2月28日，
乙去的时间：2月14日，2月17日，2月20日，2月23日，2月26日，
丙去的时间：2月14日，2月18日，2月22日，2月26日，
所以下一次共同去锻炼的日期是2月26日.
故选：B
举一反三
1．下列说法错误的是（ ）
A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查
B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法
C．简单随机抽样是等概率抽样
D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量
【答案】D
【解析】
【分析】
结合抽样方法的相关概念进行判断.
【详解】
对于选项A，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，得出的结论较为准确；
对于选项B，抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样方法；
对于选项C，简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样；
对于选项D，被抽取的200名学生是样本，不是样本量.
故选：D
2．（多选）下例命题正确的是（ ）
A．简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关；
B．统计报表是我国取得国民经济和社会发展情况基本统计资料的一种重要手段；
C．统计报表既可以越级汇总，也可以层层上报、逐级汇总，以便满足各级管理部门对主管系统和区域统计资料的需要；
D．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.
【答案】BC
【解析】
【详解】
根据统计报表及抽样方法的概念易得.
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系统抽样；
基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第k号观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本；
优缺点分析：
优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候；
易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小；
缺点：仍需对每个观察单位编号；
当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性；
系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)编号：先将总体的N个个体编号；
(2)分段：确定分段间隔k，对编号分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝N/n；
(3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
(4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取
例1．有20位同学编号，从1至20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽取的编号为（ ）
A．5，10，15，20B．2，6，10，14C．2，6，8，10D．5，8，11，14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义，样本数据应该是等距抽取的，即可得到结论．
【详解】
从20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人的作文卷调查，则组距为，
则4个号码差距为5，则满足条件的号码可以是5，10，15，20
故选：A
2．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．8号学生B．200号学生
C．615号学生D．816号学生
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，建立第组与所抽取编号之间的对应关系，即可对每个选项逐一分析和判断.
【详解】
因为总共有名学生，需要抽取名，故需要分为组，组距为，
不妨设第组抽到的学生编号是，则由系统抽样可知，为公差的等差数列，
则可设，又号学生在第组，即，，则；
故，当或或时，都不是整数，故不可能抽到；
当时，即，解得，即第组抽取的编号是.
故选：.
举一反三
1．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号没有被抽到的是（ ）
A．112B．37C．22D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据系统抽样的定义求解即可.
【详解】
由系统抽样的特点知抽样间隔为120÷8=15，
故所抽样本编号符合（为第一段的抽取样本编号，），
由抽取样本中有编号67，则，选项中不符合的是9．
故选：D．
2．为调查学生的课外阅读情况，学校从高二年级四个班的182人中随机抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（ ）
A．6，2B．2，3C．2，60D．60，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据系统抽样的方法即可求解.
【详解】
从人中抽取人，除以,商余，故抽样的间隔为，需要随机剔除人.
故选：A.
3．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A．076B．104C．390D．522
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.
【详解】
从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，
故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，
设，由题可知：，故可得，
故可得.
当时，.
故选：.
巩固提升
一、单选题
1．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（ ）
A．5B．10C．8D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义即可求解.
【详解】
从甲车间抽取的人数为人．
故选：B
2．某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出200人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理
B．若按专业类型进行分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取60人和40人
C．若按专业类型进行分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
D．该问题中的样本容量为200
【答案】C
【解析】
【分析】
由分层抽样的定义以及分层抽样的特点判断选项、 、,利用样本容量的定义判断选项.
【详解】
对于选项A，采用分层随机抽样更合理，故A正确；
对于选项B，理学专业应抽取的人数为，工学专业应抽取的人数为，故B正确；
对于选项C，张三与李四被抽到的可能性一样大，故C错误；
对于选项D，该问题中的样本容量为200，故D正确.
故选：.
3．某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样D．其他抽样方法
【答案】C
【解析】
【分析】
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.
【详解】
因为某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，男、女生视力情况差异不大，然而学段的视力情况有较大差异，则应按学段分层抽样，
故选：.
4．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08B．15C．16D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据随机数表依次选取，遇到超出范围或重复的数据要丢弃
【详解】
随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，08，02，16，19
故选出来的第5个个体的编号为19
故选：D
5．为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【解析】
【分析】
根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】
根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
6．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（ ）
A．10B．13C．17D．26
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出抽样比可得答案.
【详解】
该校高中学生共有名，
所以高二年级抽取的人数名.
故选：B.
二、多选题
7．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样法抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A．9B．8C．7D．6E．5
【答案】ADE
【解析】
【分析】
先求出50岁以上的人数，再根据分层抽样的方法求出各年龄段分别抽取的人数.
【详解】
由题意得：50岁以上的人有100-45-25=30人，故不到35岁的抽取人数为，35岁到49岁的抽取人数为，50岁以上的抽取人数为，
故选：ADE
8．(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据简单随机抽样的定义和特点，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于选项A：简单随机抽样中总体的个数是有限的，题中是无限的，不是简单随机抽样，故选项A不是简单随机抽样；
对于选项B：满足简单随机抽的定义，从个个体中逐个不放回的抽取个个体，故选项B是简单随机抽样；
对于选项C：不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；
对于选项D：不是简单随机抽样，原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
故选：ACD.
三、填空题
9．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分层抽样的方法，即可求解.
【详解】
由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，
用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，
则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.
故答案为：.
10．某校高一（1）班有30名男生和20名女生，采用分层随机抽样的方法从中抽取10名学生进行学习习惯调查，则抽取的男生人数为______.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意，求得抽样比，即可求得男生应抽取的人数.
【详解】
根据题意，分层抽样的抽样比为，故抽取的男生人数为人.
故答案为：.
四、解答题
11．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题，1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比？
【答案】67.5%
【解析】
【分析】
根据随机抽样的知识计算出百分比.
【详解】
要调查80名居民，在准备的两个问题中，第一个问题可能被询问40次，在被询问的40人中有20人手机号是奇数，而有47人回答了“是”，估计有27个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”，在40人中有27个人满意服务， 估计本小区对物业服务满意的百分比.
12．在考察某高中的学生身高时，采用分层随机抽样的方法，得到了男生身高的平均数为172，女生身高的平均数为162．
(1)如果没有其他信息，怎样估计总体平均数？
(2)如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎样估计总体平均数？
【答案】(1)估计总体平均数为，详解见解析；
(2)估计总体平均数为，详解见解析
【解析】
【分析】
（1）可以选择男生（或女生）样本的平均数估计总体，但这样数据利用不充分，也可以选择男生与女生样本平均数作为总体的估计；（2）根据加权平均数的计算公式代入求解即可.
(1)
作为估计来说，我们可以选择男生（或女生）样本的平均数作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已有的数据，显然不够好，另外一种估计的方法是取每一层样本平均数作为总体的估计，即估计总体平均数为.
(2)
由加权平均数公式代入，得样本的平均数为，因此估计总体平均数为.
小学生
初中生
高中生