高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图习题，共22页。

①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
重点：横同竖半平行性不改变
直观图与原图形的面积关系：
题型一：水平放置平面图形的直观图
例11．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
则四边形的直观图即为四边形．
举一反三
1．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.
题型二：空间几何体的直观图
例2画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
举一反三
1．用斜二测画法画长、宽、高分别为、、的长方体的直观图．
题型二：平面直观图与原图形的关系
例3如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
举一反三
1．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中轴，求原平面图形的面积．
2．如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点
（1）画出梯形水平放置的直观图
（2）求这个直观图的面积.
巩固提升
一、单选题
1．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．8
2．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（ ）
A．2B．C．4D．
3．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
5．下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
6．若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
8．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
三、填空题
9．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原中的大小是_________．
10．如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
四、解答题
11．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
12．如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
8.2立体图形的直观图（讲义+例题+小练）
斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
重点：横同竖半平行性不改变
直观图与原图形的面积关系：
题型一：水平放置平面图形的直观图
例11．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图．
【详解】
解：（1）
画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．
过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，
则四边形的直观图即为四边形；
（2）
画，轴，使，在轴上截取，
在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．
则四边形的直观图即为四边形．
举一反三
1．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
在原平面直角坐标系中分别找出两个图形顶点的坐标，画，轴，使，按照在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度不变，在轴上或平行于轴的线段仍然在轴上或平行于轴，长度为原来的一半，找出对应顶点的坐标，连接顶点，即可得到（1）（2）两个平面图形的直观图．
【详解】
解：（1）已知中，取边所在直线为轴，取高所在直线为轴，画对应的轴、轴，使，在轴上取，在轴上取，连接，擦去辅助线，即可得为原三角形的直观图.
（2）在正五边形中，以BC边所在直线为轴，线段BC的中垂线为轴，作轴于，作轴于，画对应的轴、轴，使，在轴上取，在轴上取，分别过和作轴的平行线，并在相应的平行线上截取，连接，擦去辅助线，即可得水平放置的正五边形的直观图为.
题型二：空间几何体的直观图
例2画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法求解.
【详解】
如图所示：
举一反三
1．用斜二测画法画长、宽、高分别为、、的长方体的直观图．
【答案】图见解析.
【解析】
【分析】
根据斜二测画法先做底面ABCD，再做底面,由此可得长方体的直观图.
【详解】
画法步骤：
（1）画轴．如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，．
（2）画底面．以点为中点，在轴上取段，使；在轴上取线段，使．
分别过点和作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，四边形就是长方体的底面的直观图．
（3）画侧棱．过，，，各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，．
（4）成图．顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图．
题型二：平面直观图与原图形的关系
例3如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】
首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.
【详解】
由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
举一反三
1．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中轴，求原平面图形的面积．
【答案】．
【解析】
【分析】
计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为，计算即可．
【详解】
解：平面直观图是矩形，且，，
所以矩形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
故答案为：．
2．如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点
（1）画出梯形水平放置的直观图
（2）求这个直观图的面积.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用斜二测画法，画出梯形的直观图；
（2）过点作于点，利用梯形的面积公式求解.
【详解】
（1）在梯形中， ，画出梯形的直观图，如图中梯形所示，
（2）过点作于点.易得，
所以梯形的高，
所以梯形的面积为，
即梯形水平放置的直观图的面积为.
巩固提升
一、单选题
1．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
由斜二测还原图形计算即可求得结果.
【详解】
在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，.
还原原图形如图：则，则
.
故选：C
2．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.
【详解】
由题意可知是等腰直角三角形，，
其原图形是，，，，
则，
故选：D.
3．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由斜二侧画法的规则分析判断即可
【详解】
先作出一个正三角形，
然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
4．如图，是水平放置的的直观图，则中边上的高等于（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直观图的作图方法即可求得答案.
【详解】
由题意可知，，且，即OA边上的高为4.
故选：A.
5．下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可
【详解】
由题可知，在中，，
因为的面积为16，，
所以，，，
因为， 轴于点，
所以，
故选：A.
6．若一个平面图形的直观图是边长为2的正三角形，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据斜二测画法确定直观图与平面图形的面积关系，即可求出平面图形的面积
【详解】
由题意，结合斜二测画法可知，直观图面积是平面图形面积的，
因为直观图是边长为2的正三角形，
所以平面图形的面积为，
故选：B
二、多选题
7．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可得到..
【详解】
由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.
故选：ACD
8．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
【答案】AB
【解析】
【分析】
正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.
【详解】
根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
三、填空题
9．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原中的大小是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据斜二测画法，画出原几何图形，判断出原为等边三角形，从而可求的大小.
【详解】
根据斜二测画法，画出原几何体，如图，
易知,，所以，
所以原为等边三角形，所以.
故答案为：.
10．如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
【答案】20
【解析】
【分析】
利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；
与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如上图所示，其中cm，cm
cm
所以原图形的周长为cm
四、解答题
11．用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法即得.
【详解】
（1）如图所示，
画出坐标系，使，在轴作线段，
过作轴，且，连接，则即为的直观图；
（2）如图所示，
画出坐标系，使，
在轴作线段，在轴作线段，
再作出点，连接，即可得出该平面图形的直观图.
12．如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
【详解】
（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即；
（2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点 作轴，并使．
（3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示．