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人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形同步训练题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形同步训练题，共47页。
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【经典例题】
类型一：简单几何体的结构特征
例1．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
解题技巧（判断结构特点的注意事项）
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
例2．(2023·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
例3.（多选题）（2023·全国·高一课时练习）下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
例4．（2023·全国·高一课时练习）判断如图所示的多面体是不是棱台？
例5．（2023·浙江·高一单元测试）下列几何体中旋转体__________个，台体（棱台和圆台）__________个．
类型二：几何体中的基本计算
例6．（2023·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2B．C．4D．
解题技巧（解决侧面展开图相关问题的解题策略）
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
例7．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
类型三、简单几何体的组合体
例9．（2023·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A．B．3C．2D．
解题技巧： (判断几何体的注意事项)
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
例10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
例11．（2023·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题
例12．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
解题技巧
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
例13．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
例14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
例15．（2023·山西·岢岚县中学校高一阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
2．（2023·北京·龙门育才学校高三阶段练习）如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半经为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30°B．45°C．18°D．63°
3．（2023·全国全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（ ）
A．16节B．20节C．32节D．37节
4．(2023·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．不规则几何体
5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．斜棱柱的侧面中可能有矩形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
6．（2023·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（ ）.
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高一课时练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若该圆锥的母线长尺，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12πB．8πC．6πD．4π
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形
10．（2023·福建省福州第一中学高三期中）若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）
A．五面体B．七面体C．斜三棱柱D．正三棱柱
11．（2023·全国·高一课时练习）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．轴截面为等腰梯形
12．（2023·河北沧州·高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为6
C．若点P到直线的距离为1，则点P的轨迹长度为4
D．若点P到直线，，CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个
三、填空题
13．(2023·广东惠州·高三阶段练习）请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
14．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
15．（2023·上海·格致中学高二期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为______．
16．（2023·广东顺德·高二阶段练习）如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.
四、解答题
17．(2023·全国·高一）指出图中三个空间图形的构成.
18．(2023·全国·高一）如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.
19．（2023·全国·高二课时练习）圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离.
20．（2023·全国·高二课时练习）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
21．（2023·全国·高二课时练习）如图，已知长方体的长、宽、高依次为5，4，3，求从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离.
22．（2023·全国·高二课时练习）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
8.1 基本立体图形
【知识点梳理】
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【经典例题】
类型一：简单几何体的结构特征
例1．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
答案：C
【详解】
有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.
故选：C.
解题技巧（判断结构特点的注意事项）
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
例2．(2023·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
答案：D
【详解】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
例3.（多选题）（2023·全国·高一课时练习）下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
答案：ABC
【详解】
A.棱柱的侧面是平行四边形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正确；
B.在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，不是直棱柱，侧棱的长不叫做棱柱的高，故错误；
C.棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故错误；
D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故正确.
故选：ABC
例4．（2023·全国·高一课时练习）判断如图所示的多面体是不是棱台？
答案：图（1）不是棱台；图（2）不是棱台；图（3）不是棱台.
【详解】
判断棱台的标准：一是共点，即各侧棱延长线要交于一点；二是平行，即上、下两个底面要平行.据此可知，图（1）中多面体的侧被延长线不相交于一点，故不是棱台；图（2）中多面体不是由棱锥截得的，侧棱延长线不相交于一点，故不是棱台；图（3）中多面体截面与底面不平行，故不是棱台.
例5．（2023·浙江·高一单元测试）下列几何体中旋转体__________个，台体（棱台和圆台）__________个．
答案：
【详解】
由图可知，（6）（7）（8）为旋转体，（5）（7）为台体．
故答案为：；.
类型二：几何体中的基本计算
例6．（2023·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2B．C．4D．
答案：A
【详解】
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故选：A
解题技巧（解决侧面展开图相关问题的解题策略）
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
例7．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】
因为圆锥的高和母线长分别为和，
则圆锥的底面半径为，
过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：
此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则
作垂直地面于，则
因为，所以，
即即，所以.
故选：D.
例8．（2023·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
答案：，.
【详解】
解：设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为.
因为轴截面的面积等于，所以.
因为母线与轴的夹角是，所以，.
解得，.
类型三、简单几何体的组合体
例9．（2023·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A．B．3C．2D．
答案：B
【详解】
作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面，它是半圆O及其内接矩形ACC1A1，如图所示，
其中，矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面，点O是半球底面圆圆心，
正方体的棱长，面对角线，
显然点O是AC中点，则该半球的半径，
所以球的半径为3.
故选：B
解题技巧： (判断几何体的注意事项)
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
例10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
答案：①⑤
【详解】
由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
故答案为：①⑤
例11．（2023·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
答案：
【详解】
设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，
则，解得.
设所求的小正方体的棱长为a，
则，
所以，
所以小正方体体积的最大值为.
故答案为:
类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题
例12．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：B
【详解】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
解题技巧
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
例13．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
答案：
【详解】
由正方体的对称性知从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点的最短距离有6条，距离相等．
把其中一条所在的两个面摊平，如图，
，
故答案为：．
例14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
【详解】
作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中与相似，得，可求得．
设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，
扇形所在圆的周长为．
所以的长度为所在圆周长的，所以．
所以在中，，
所以，即所求绳长的最小值为．
例15．（2023·山西·岢岚县中学校高一阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【详解】
（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，
所以最长路程是．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
答案：C
分析：
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
2．（2023·北京·龙门育才学校高三阶段练习）如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半经为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30°B．45°C．18°D．63°
答案：C
分析：
求出圆锥侧面展开扇形所对的圆心角，即可得解；
【详解】
解：依题意圆锥的母线，底面半径，所以底面周长，则圆锥沿母线展开得到扇形，扇形的圆心角，所以剪去部分扇形纸片的圆心角为；
故选：C
3．（2023·全国全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（ ）
A．16节B．20节C．32节D．37节
答案：B
分析：
首先算出的长度，然后可算出的长度，然后可得答案.
【详解】
千米，
的长度为千米，航速约为≈千米/时≈20节，
故选：B．
4．(2023·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．不规则几何体
答案：C
分析：
根据图形特点进行判断.
【详解】
根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.
故选：C.
5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．斜棱柱的侧面中可能有矩形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
答案：A
分析：
由棱柱的概念可判断A；由棱锥的概念可判断B；由圆锥的概念可判断C；由棱台的概念可判断D
【详解】
对于A：斜棱柱的侧面中是平行四边形，有可能是矩形，故A正确；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果三角形没有公共点，该的几何体不是棱锥，故B错误；
对于C：如果绕直角三角形斜边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体不是圆锥，故C错误；
对于D：棱台各侧棱的延长线一定交于一点，故D错误；
故选：A
6．（2023·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（ ）.
A．B．C．D．
答案：B
分析：
展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.
【详解】
展开圆柱的侧面如图所示，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.
故选：B
7．（2023·全国·高一课时练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若该圆锥的母线长尺，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据圆锥的底面周长求出底面半径，从而利用勾股定理即可求出该圆锥的母线长.
【详解】
易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，
设圆锥的底面半径为，则，所以，
所以.
故选：C.
8．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12πB．8πC．6πD．4π
答案：C
分析：
由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.
【详解】
如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形
答案：AD
分析：
根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果.
【详解】
根据圆柱的结构特征，
用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，
故选：AD
10．（2023·福建省福州第一中学高三期中）若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）
A．五面体B．七面体C．斜三棱柱D．正三棱柱
答案：AC
分析：
根据正三棱锥与正四棱锥的结构特征即可得出答案.
【详解】
由题意作出正三棱锥与正四棱锥按对应顶点粘合成新的组合体，
如图，
所以新的组合体是五面体或斜三棱柱.
故选：AC
11．（2023·全国·高一课时练习）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．轴截面为等腰梯形
答案：ABD
分析：
根据圆台的性质计算判断．
【详解】
圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；
设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即，
所以，A正确；
表面积为，B正确；
高，C错误．
故选：ABD．
12．（2023·河北沧州·高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为6
C．若点P到直线的距离为1，则点P的轨迹长度为4
D．若点P到直线，，CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个
答案：AD
分析：
根据题意分别分析可判断出轨迹，进而计算出结果.
【详解】
对A，如图，点在以为球心，2为半径的球面上，该球面与正方体表面的交线为三段半径为2的四分之一圆，故轨迹长度为，故A正确；
对B，如图，点在过线段中点且与垂直的平面内，该平面与正方体表面的交线是边长为的正六边形，轨迹长度为，故B错误；
对C，如图，点在以线段为轴，底面半径为1的圆柱面内，该圆柱面与正方体表面的交线为两段圆弧和两条线段，故轨迹长度为，故C错误；
对D，如图，因为点到的距离相等，故点在过线段中点，且与垂直的平面内，在平面ABCD和平面内个存在一点满足要求，即满足条件的点有2个，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．(2023·广东惠州·高三阶段练习）请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
答案：（答案不唯一）
分析：
根据题意写出一组符合题意的点即可.
【详解】
如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
14．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
答案：侧棱相等或侧棱与底面所成角相等
分析：
根据正三棱锥的定义即可得到答案.
【详解】
根据正三棱锥的定义可知.
①若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面的射影是底面的外心，因为底面为正三角形，所以外心也是底面三角形的中心，所以此时三棱锥是正三棱锥.
②若三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，所以顶点在底面的射影是底面三角形的外心，因为底面为正三角形，所以外心也是底面三角形的中心，此时三棱锥是正三棱锥.
故答案为：侧棱相等或侧棱与底面所成角相等.
15．（2023·上海·格致中学高二期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为______．
答案：##
分析：
由题意可得圆锥的母线长和底面半径长的关系，可知轴截面是等边三角形，即可求解.
【详解】
设圆锥的母线长为，底面半径长为，则，解得，所以圆锥的轴截面是等边三角形.
任取圆锥的两条母线，，
如图：当，为轴截面的两条母线时，，所成角最大为.
故答案为：.
16．（2023·广东顺德·高二阶段练习）如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.
答案：
分析：
将正三棱锥侧面展开，由图可知，当四点共线时，周长最小，由题意计算角的值，再利用余弦定理代入计算，即可得周长的最小值.
【详解】
将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得，所以的周长的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一）指出图中三个空间图形的构成.
答案：答案见解析.
分析：
根据几何体的结构特征依次分析说明即可.
【详解】
解：图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.
18．(2023·全国·高一）如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.
答案：详见解析.
分析：
结合条件及旋转体的概念即得.
【详解】
形成的空间图形如图所示，该空间图形自上而下依次由圆柱、圆台、圆柱、圆台构成.
19．（2023·全国·高二课时练习）圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离.
答案：
分析：
沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离．
【详解】
解：如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则.
因为为圆锥底面圆的周长，即，
所以.
所以.
故答案为：．
20．（2023·全国·高二课时练习）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
答案：高为，斜高为.
分析：
在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高.
【详解】
如图，在正四棱椎中，作底面于点，
取中点，连接、、，
由正四棱锥的底面面积为可得，所以，.
因为，都是直角三角形，侧棱，
所以高为，斜高.
21．（2023·全国·高二课时练习）如图，已知长方体的长、宽、高依次为5，4，3，求从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离.
答案：最短距离是.
分析：
将顶点A与所在两个平面展开，共有以下三种不同的展开方式，分别计算即得.
【详解】
设，，.
将顶点A与所在两个平面展开，使它们在同一平面内，共有以下三种不同的展开方式，连接，可以计算出：
图①中，，
图②中，，
图③中，.
所以从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离是.
22．（2023·全国·高二课时练习）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
答案：
分析：
利用正三棱柱的性质及勾股定理可证明，根据直角三角形面积公式转化为求最值即可.
【详解】
正三棱柱中，为正三角形，
∵，，都是直角三角形，点D为棱的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
∴当点P与点重合时，的面积最大，最大值为.
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【经典例题】
类型一：简单几何体的结构特征
例1．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
解题技巧（判断结构特点的注意事项）
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
例2．(2023·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
例3.（多选题）（2023·全国·高一课时练习）下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
例4．（2023·全国·高一课时练习）判断如图所示的多面体是不是棱台？
例5．（2023·浙江·高一单元测试）下列几何体中旋转体__________个，台体（棱台和圆台）__________个．
类型二：几何体中的基本计算
例6．（2023·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2B．C．4D．
解题技巧（解决侧面展开图相关问题的解题策略）
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
例7．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
类型三、简单几何体的组合体
例9．（2023·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A．B．3C．2D．
解题技巧： (判断几何体的注意事项)
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
例10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
例11．（2023·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题
例12．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
解题技巧
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
例13．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
例14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
例15．（2023·山西·岢岚县中学校高一阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
2．（2023·北京·龙门育才学校高三阶段练习）如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半经为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30°B．45°C．18°D．63°
3．（2023·全国全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（ ）
A．16节B．20节C．32节D．37节
4．(2023·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．不规则几何体
5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．斜棱柱的侧面中可能有矩形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
6．（2023·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（ ）.
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高一课时练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若该圆锥的母线长尺，则（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12πB．8πC．6πD．4π
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形
10．（2023·福建省福州第一中学高三期中）若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）
A．五面体B．七面体C．斜三棱柱D．正三棱柱
11．（2023·全国·高一课时练习）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．轴截面为等腰梯形
12．（2023·河北沧州·高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为6
C．若点P到直线的距离为1，则点P的轨迹长度为4
D．若点P到直线，，CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个
三、填空题
13．(2023·广东惠州·高三阶段练习）请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
14．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
15．（2023·上海·格致中学高二期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为______．
16．（2023·广东顺德·高二阶段练习）如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.
四、解答题
17．(2023·全国·高一）指出图中三个空间图形的构成.
18．(2023·全国·高一）如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.
19．（2023·全国·高二课时练习）圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离.
20．（2023·全国·高二课时练习）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
21．（2023·全国·高二课时练习）如图，已知长方体的长、宽、高依次为5，4，3，求从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离.
22．（2023·全国·高二课时练习）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
8.1 基本立体图形
【知识点梳理】
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【经典例题】
类型一：简单几何体的结构特征
例1．（2023·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
答案：C
【详解】
有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.
故选：C.
解题技巧（判断结构特点的注意事项）
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
例2．(2023·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
答案：D
【详解】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
例3.（多选题）（2023·全国·高一课时练习）下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
答案：ABC
【详解】
A.棱柱的侧面是平行四边形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正确；
B.在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，不是直棱柱，侧棱的长不叫做棱柱的高，故错误；
C.棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故错误；
D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故正确.
故选：ABC
例4．（2023·全国·高一课时练习）判断如图所示的多面体是不是棱台？
答案：图（1）不是棱台；图（2）不是棱台；图（3）不是棱台.
【详解】
判断棱台的标准：一是共点，即各侧棱延长线要交于一点；二是平行，即上、下两个底面要平行.据此可知，图（1）中多面体的侧被延长线不相交于一点，故不是棱台；图（2）中多面体不是由棱锥截得的，侧棱延长线不相交于一点，故不是棱台；图（3）中多面体截面与底面不平行，故不是棱台.
例5．（2023·浙江·高一单元测试）下列几何体中旋转体__________个，台体（棱台和圆台）__________个．
答案：
【详解】
由图可知，（6）（7）（8）为旋转体，（5）（7）为台体．
故答案为：；.
类型二：几何体中的基本计算
例6．（2023·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2B．C．4D．
答案：A
【详解】
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故选：A
解题技巧（解决侧面展开图相关问题的解题策略）
解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：
例7．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】
因为圆锥的高和母线长分别为和，
则圆锥的底面半径为，
过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：
此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则
作垂直地面于，则
因为，所以，
即即，所以.
故选：D.
例8．（2023·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
答案：，.
【详解】
解：设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为.
因为轴截面的面积等于，所以.
因为母线与轴的夹角是，所以，.
解得，.
类型三、简单几何体的组合体
例9．（2023·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A．B．3C．2D．
答案：B
【详解】
作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面，它是半圆O及其内接矩形ACC1A1，如图所示，
其中，矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面，点O是半球底面圆圆心，
正方体的棱长，面对角线，
显然点O是AC中点，则该半球的半径，
所以球的半径为3.
故选：B
解题技巧： (判断几何体的注意事项)
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
例10．（2023·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
答案：①⑤
【详解】
由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
故答案为：①⑤
例11．（2023·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
答案：
【详解】
设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，
则，解得.
设所求的小正方体的棱长为a，
则，
所以，
所以小正方体体积的最大值为.
故答案为:
类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题
例12．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：B
【详解】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
解题技巧
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
例13．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
答案：
【详解】
由正方体的对称性知从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点的最短距离有6条，距离相等．
把其中一条所在的两个面摊平，如图，
，
故答案为：．
例14．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
【详解】
作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中与相似，得，可求得．
设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，
扇形所在圆的周长为．
所以的长度为所在圆周长的，所以．
所以在中，，
所以，即所求绳长的最小值为．
例15．（2023·山西·岢岚县中学校高一阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
【详解】
（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：
则的长就为最短路线．
若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，
则经过的最短路程为，
若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，
则经过的最短路程为，
，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是；
（2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，
由，
所以最长路程是．
【同步练习】
一、单选题
1．(2023·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
答案：C
分析：
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
2．（2023·北京·龙门育才学校高三阶段练习）如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半经为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30°B．45°C．18°D．63°
答案：C
分析：
求出圆锥侧面展开扇形所对的圆心角，即可得解；
【详解】
解：依题意圆锥的母线，底面半径，所以底面周长，则圆锥沿母线展开得到扇形，扇形的圆心角，所以剪去部分扇形纸片的圆心角为；
故选：C
3．（2023·全国全国·模拟预测）同纬度航行是指船在同一纬度航行，只向东或向西．如图所示，假设点D为地心，若一艘船用时8小时从A地同纬度航行至B地，其所在纬度为，A地与B地的经度差，取地球半径DA＝6400千米，1节≈千米/时，，，则该船的航行速度大约为（ ）
A．16节B．20节C．32节D．37节
答案：B
分析：
首先算出的长度，然后可算出的长度，然后可得答案.
【详解】
千米，
的长度为千米，航速约为≈千米/时≈20节，
故选：B．
4．(2023·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．不规则几何体
答案：C
分析：
根据图形特点进行判断.
【详解】
根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.
故选：C.
5．（2023·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．斜棱柱的侧面中可能有矩形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点
答案：A
分析：
由棱柱的概念可判断A；由棱锥的概念可判断B；由圆锥的概念可判断C；由棱台的概念可判断D
【详解】
对于A：斜棱柱的侧面中是平行四边形，有可能是矩形，故A正确；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果三角形没有公共点，该的几何体不是棱锥，故B错误；
对于C：如果绕直角三角形斜边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体不是圆锥，故C错误；
对于D：棱台各侧棱的延长线一定交于一点，故D错误；
故选：A
6．（2023·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（ ）.
A．B．C．D．
答案：B
分析：
展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.
【详解】
展开圆柱的侧面如图所示，
由图可知小虫爬行路线的最短长度是.
故选：B
7．（2023·全国·高一课时练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若该圆锥的母线长尺，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据圆锥的底面周长求出底面半径，从而利用勾股定理即可求出该圆锥的母线长.
【详解】
易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，
设圆锥的底面半径为，则，所以，
所以.
故选：C.
8．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体中，，，，点P在长方体的面上运动，且满足，则P的轨迹长度为（ ）
A．12πB．8πC．6πD．4π
答案：C
分析：
由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.
【详解】
如图，在左侧面的轨迹为弧，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧.
易知，，又，，
∴，则，
∴P的轨迹长度为6π，
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（ ）
A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形
答案：AD
分析：
根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果.
【详解】
根据圆柱的结构特征，
用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，
故选：AD
10．（2023·福建省福州第一中学高三期中）若正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为，将其中两个正三角形侧面与按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ）
A．五面体B．七面体C．斜三棱柱D．正三棱柱
答案：AC
分析：
根据正三棱锥与正四棱锥的结构特征即可得出答案.
【详解】
由题意作出正三棱锥与正四棱锥按对应顶点粘合成新的组合体，
如图，
所以新的组合体是五面体或斜三棱柱.
故选：AC
11．（2023·全国·高一课时练习）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ）
A．母线长是20B．表面积是
C．高是D．轴截面为等腰梯形
答案：ABD
分析：
根据圆台的性质计算判断．
【详解】
圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；
设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即，
所以，A正确；
表面积为，B正确；
高，C错误．
故选：ABD．
12．（2023·河北沧州·高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为6
C．若点P到直线的距离为1，则点P的轨迹长度为4
D．若点P到直线，，CD的距离相等，则满足条件的点P仅有2个
答案：AD
分析：
根据题意分别分析可判断出轨迹，进而计算出结果.
【详解】
对A，如图，点在以为球心，2为半径的球面上，该球面与正方体表面的交线为三段半径为2的四分之一圆，故轨迹长度为，故A正确；
对B，如图，点在过线段中点且与垂直的平面内，该平面与正方体表面的交线是边长为的正六边形，轨迹长度为，故B错误；
对C，如图，点在以线段为轴，底面半径为1的圆柱面内，该圆柱面与正方体表面的交线为两段圆弧和两条线段，故轨迹长度为，故C错误；
对D，如图，因为点到的距离相等，故点在过线段中点，且与垂直的平面内，在平面ABCD和平面内个存在一点满足要求，即满足条件的点有2个，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．(2023·广东惠州·高三阶段练习）请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
答案：（答案不唯一）
分析：
根据题意写出一组符合题意的点即可.
【详解】
如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
14．（2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且___________的三棱锥是正三棱锥.
答案：侧棱相等或侧棱与底面所成角相等
分析：
根据正三棱锥的定义即可得到答案.
【详解】
根据正三棱锥的定义可知.
①若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面的射影是底面的外心，因为底面为正三角形，所以外心也是底面三角形的中心，所以此时三棱锥是正三棱锥.
②若三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等，所以顶点在底面的射影是底面三角形的外心，因为底面为正三角形，所以外心也是底面三角形的中心，此时三棱锥是正三棱锥.
故答案为：侧棱相等或侧棱与底面所成角相等.
15．（2023·上海·格致中学高二期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为______．
答案：##
分析：
由题意可得圆锥的母线长和底面半径长的关系，可知轴截面是等边三角形，即可求解.
【详解】
设圆锥的母线长为，底面半径长为，则，解得，所以圆锥的轴截面是等边三角形.
任取圆锥的两条母线，，
如图：当，为轴截面的两条母线时，，所成角最大为.
故答案为：.
16．（2023·广东顺德·高二阶段练习）如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.
答案：
分析：
将正三棱锥侧面展开，由图可知，当四点共线时，周长最小，由题意计算角的值，再利用余弦定理代入计算，即可得周长的最小值.
【详解】
将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得，所以的周长的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·全国·高一）指出图中三个空间图形的构成.
答案：答案见解析.
分析：
根据几何体的结构特征依次分析说明即可.
【详解】
解：图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.
18．(2023·全国·高一）如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.
答案：详见解析.
分析：
结合条件及旋转体的概念即得.
【详解】
形成的空间图形如图所示，该空间图形自上而下依次由圆柱、圆台、圆柱、圆台构成.
19．（2023·全国·高二课时练习）圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离.
答案：
分析：
沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离．
【详解】
解：如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则.
因为为圆锥底面圆的周长，即，
所以.
所以.
故答案为：．
20．（2023·全国·高二课时练习）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
答案：高为，斜高为.
分析：
在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高.
【详解】
如图，在正四棱椎中，作底面于点，
取中点，连接、、，
由正四棱锥的底面面积为可得，所以，.
因为，都是直角三角形，侧棱，
所以高为，斜高.
21．（2023·全国·高二课时练习）如图，已知长方体的长、宽、高依次为5，4，3，求从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离.
答案：最短距离是.
分析：
将顶点A与所在两个平面展开，共有以下三种不同的展开方式，分别计算即得.
【详解】
设，，.
将顶点A与所在两个平面展开，使它们在同一平面内，共有以下三种不同的展开方式，连接，可以计算出：
图①中，，
图②中，，
图③中，.
所以从顶点A沿长方体表面到对角顶点的最短距离是.
22．（2023·全国·高二课时练习）如图，棱长均为2的正三棱柱中，点D为棱的中点，点P是侧棱上的动点，求面积的最大值.
答案：
分析：
利用正三棱柱的性质及勾股定理可证明，根据直角三角形面积公式转化为求最值即可.
【详解】
正三棱柱中，为正三角形，
∵，，都是直角三角形，点D为棱的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
∴当点P与点重合时，的面积最大，最大值为.
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