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高中7.1 复数的概念随堂练习题
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这是一份高中7.1 复数的概念随堂练习题，共34页。
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2.复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
5．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知识点三：复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
类型二、复数相等
例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
（1）；
（2）．
例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.
例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
类型三、复数的几何意义
例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．直线上
例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
类型四、复数的模
例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
类型五、复数的轨迹与最值问题
例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．
例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.
例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（ ）
A．iB．C．1D．-1
6．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）
A．2B．4C．D．
8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
12．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
三、双空题
13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．
四、填空题
14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
16．(2023·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
五、解答题
17．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
18．（2023·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
19．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形的面积.
20．（2023·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设， ，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
21．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
22．（2023·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
7.1复数的概念
【知识点梳理】
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2.复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
5．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知识点三：复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
由题意，，，，
所以．
故选：C．
例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．
例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】
解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，
所以，
所以，即
所以，其虚部为.
故选：D
例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
【解析】
（1）复数z是实数，则，
解得或；
（2）复数z是虚数，则，
解得且且；
（3）复数是纯虚数，则，
解得.
例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
【解析】
（1）若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
（2）若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
（3）若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
【详解】
4，－π，2－3i，0，，，6i的实部分别是4，－π，2，0，，－2，0；
虚部分别是0，0，－3，0，，，6.
4，－π，0是实数；2－3i，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数.
类型二、复数相等
例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
【详解】
根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得 ，， ， 所以或或或.
故答案为：或或或.
例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）由题意，解得．
（2）由题意，解得．
例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.
答案：
【详解】
解：因为
所以，解得
所以
故答案为：
例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
答案：
【详解】
设，由，可得，解得，
又是纯虚数，设且，则，则，解得，
所以或.
故答案为：
类型三、复数的几何意义
例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
不妨设复数，则有：
则有：
故有：
解得：
故选：B
例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为
所以，根据得，
计算得
所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.
故选：C.
例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．直线上
答案：D
【详解】
解：，
所以复数在复平面内对应的点为，
显然点在直线上.
故选:D
例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
解：设，则，，
依题意得，解得，
∴，.
故选：B.
例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【详解】
因为复数在第二象限，所以
故选：CD.
例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
【解析】
（1）因为为纯虚数,
所以
解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;
（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,
解得或，且
即,故的取值范围为.
类型四、复数的模
例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：D
【详解】
由题意，.
故选：D.
例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
答案：B
【详解】
由题可设，则，解得，
因为z对应的点位于复平面第二象限，所以，
则，
所以复数对应的点位于复平面内的第三象限.
故选：B.
例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
答案：
【详解】
设，则﹒
故答案为：
类型五、复数的轨迹与最值问题
例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．
【详解】
解 因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，所以∁UB＝{z||z|≥1， z∈C}．
因为z∈A∩(∁UB)等价于z∈A且z∈∁UB，所以成立，则有|z|＝1，
由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆．
例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.
答案：3
【详解】
设，则，
根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，
则最大值为，
故答案为：3
例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.
答案：0
【详解】
设复数，
由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，
所以，
又由，解得，所以.
故答案为：.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
答案：C
【解析】
分析：
根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；
【详解】
解：是纯虚数，则，解得，
故选：C.
2．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】
因为，所以，解得，故.
故选：A.
3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
答案：C
【解析】
分析：
利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．
【详解】
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设，则，
因为，可得，即，
所以，解得，
所以，所以的虚部为.
故选：C.
5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（ ）
A．iB．C．1D．-1
答案：C
【解析】
分析：
利用复数的的性质进行运算求解即可
【详解】
，所以虚部为1
故答案选：C
6．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】
分析：
根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.
【详解】
，
，
，
对应点在第四象限，
故选：D
7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）
A．2B．4C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用纯虚数的概念可得，再利用复数的模的概念即得.
【详解】
因为复数是纯虚数，
所以，
∴.
故选：C.
8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.
【详解】
∵，∴，化为，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，
∴，
∴的取值范围是，
故选：A.
二、多选题
9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
答案：AC
【解析】
分析：
由，得，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
答案：BC
【解析】
分析：
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
答案：BD
【解析】
分析：
通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.
【详解】
解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；
对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；
对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；
对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；
故选：BD.
12．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
答案：ABD
【解析】
分析：
根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.
【详解】
解：对于A选项，由于是方程的根，则，
而，故，选项A正确；
对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；
对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；
对于D，，而，代入方程得，，
是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.
故选：ABD.
三、双空题
13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．
答案： 二
【解析】
分析：
利用共轭复数的定义求出，然后根据复数相等求出参数的值，即得复数，，进而可得及复数在复平面内对应的点所在的象限．
【详解】
因为，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故答案为：；二．
【点睛】
本题主要考查共轭复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等，考查考生的运算求解能力．
四、填空题
14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
答案：或6
【解析】
分析：
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为，，
若点在虚轴上，
则，解得或．
故答案为：或6.
15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
答案：
【解析】
分析：
结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】
解：在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为，
将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为，
所以．
故答案为：．
16．(2023·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
答案：
【解析】
分析：
根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【详解】
不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
五、解答题
17．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
【解析】
(1)因为为纯虚数,
所以
解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;
(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,
解得或，且
即,故的取值范围为.
18．（2023·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
【解析】
解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
19．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形的面积.
【解析】
解：（1）依题意，点对应的复数为，对应的复数为，
所以，，可得．
又对应的复数，且，所以，所以，可得．
设点对应的复数为，，．
所以，．
为平行四边形，，即解得，
故点对应的复数为．
（2）由（1）可知，，
可得：，．
又，．
故平行四边形的面积．
20．（2023·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设， ，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【解析】
（1）解：由，
，解得，
所以.
（2）
若选①，由，则，解得
若选②，由题意，解得
若选③，由题意，解得.
21．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【解析】
解：（1）∵为方程的根，所以，
整理得到：，由可得.
（2）由方程可得，
若即或，则，
则，即，解得，
若即，则，即，解得，
综上所述，实数的值为或．
22．（2023·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【解析】
（1）证明：（其中、，存在实数，使，
则，可得，消去可得；
（2）解：
．
，．
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2.复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
5．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知识点三：复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
类型二、复数相等
例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
（1）；
（2）．
例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.
例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
类型三、复数的几何意义
例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．直线上
例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
类型四、复数的模
例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
类型五、复数的轨迹与最值问题
例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．
例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.
例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（ ）
A．iB．C．1D．-1
6．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）
A．2B．4C．D．
8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
12．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
三、双空题
13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．
四、填空题
14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
16．(2023·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
五、解答题
17．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
18．（2023·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
19．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形的面积.
20．（2023·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设， ，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
21．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
22．（2023·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
7.1复数的概念
【知识点梳理】
知识点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2.复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
5．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知识点三：复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义。
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。
【典型例题】
类型一、复数的基本概念
例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
由题意，，，，
所以．
故选：C．
例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．
例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】
解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，
所以，
所以，即
所以，其虚部为.
故选：D
例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）
（1）复数z是实数，求实数m的值；
（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；
（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.
【解析】
（1）复数z是实数，则，
解得或；
（2）复数z是虚数，则，
解得且且；
（3）复数是纯虚数，则，
解得.
例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
【解析】
（1）若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
（2）若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
（3）若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π， 2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
【详解】
4，－π，2－3i，0，，，6i的实部分别是4，－π，2，0，，－2，0；
虚部分别是0，0，－3，0，，，6.
4，－π，0是实数；2－3i，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数.
类型二、复数相等
例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
【详解】
根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得 ，， ， 所以或或或.
故答案为：或或或.
例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）由题意，解得．
（2）由题意，解得．
例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.
答案：
【详解】
解：因为
所以，解得
所以
故答案为：
例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
答案：
【详解】
设，由，可得，解得，
又是纯虚数，设且，则，则，解得，
所以或.
故答案为：
类型三、复数的几何意义
例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
不妨设复数，则有：
则有：
故有：
解得：
故选：B
例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为
所以，根据得，
计算得
所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.
故选：C.
例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．直线上B．直线上C．直线上D．直线上
答案：D
【详解】
解：，
所以复数在复平面内对应的点为，
显然点在直线上.
故选:D
例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
解：设，则，，
依题意得，解得，
∴，.
故选：B.
例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【详解】
因为复数在第二象限，所以
故选：CD.
例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
【解析】
（1）因为为纯虚数,
所以
解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;
（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,
解得或，且
即,故的取值范围为.
类型四、复数的模
例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：D
【详解】
由题意，.
故选：D.
例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
答案：B
【详解】
由题可设，则，解得，
因为z对应的点位于复平面第二象限，所以，
则，
所以复数对应的点位于复平面内的第三象限.
故选：B.
例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
答案：
【详解】
设，则﹒
故答案为：
类型五、复数的轨迹与最值问题
例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C， A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．
【详解】
解 因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，所以∁UB＝{z||z|≥1， z∈C}．
因为z∈A∩(∁UB)等价于z∈A且z∈∁UB，所以成立，则有|z|＝1，
由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆．
例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.
答案：3
【详解】
设，则，
根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，
则最大值为，
故答案为：3
例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.
答案：0
【详解】
设复数，
由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，
由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，
所以，
又由，解得，所以.
故答案为：.
【同步练习】
一、单选题
1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
答案：C
【解析】
分析：
根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；
【详解】
解：是纯虚数，则，解得，
故选：C.
2．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】
因为，所以，解得，故.
故选：A.
3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
答案：C
【解析】
分析：
利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．
【详解】
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
设，则，
因为，可得，即，
所以，解得，
所以，所以的虚部为.
故选：C.
5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（ ）
A．iB．C．1D．-1
答案：C
【解析】
分析：
利用复数的的性质进行运算求解即可
【详解】
，所以虚部为1
故答案选：C
6．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】
分析：
根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.
【详解】
，
，
，
对应点在第四象限，
故选：D
7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）
A．2B．4C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用纯虚数的概念可得，再利用复数的模的概念即得.
【详解】
因为复数是纯虚数，
所以，
∴.
故选：C.
8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.
【详解】
∵，∴，化为，
∴，
∵，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，
∴，
∴的取值范围是，
故选：A.
二、多选题
9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
答案：AC
【解析】
分析：
由，得，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
答案：BC
【解析】
分析：
利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.
【详解】
对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．任意两个复数都不能比大小
B．若，则当且仅当时，
C．若，且，则
D．若复数z满足，则的最大值为3
答案：BD
【解析】
分析：
通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.
【详解】
解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；
对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；
对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；
对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；
故选：BD.
12．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
答案：ABD
【解析】
分析：
根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.
【详解】
解：对于A选项，由于是方程的根，则，
而，故，选项A正确；
对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；
对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；
对于D，，而，代入方程得，，
是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.
故选：ABD.
三、双空题
13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．
答案： 二
【解析】
分析：
利用共轭复数的定义求出，然后根据复数相等求出参数的值，即得复数，，进而可得及复数在复平面内对应的点所在的象限．
【详解】
因为，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故答案为：；二．
【点睛】
本题主要考查共轭复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等，考查考生的运算求解能力．
四、填空题
14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
答案：或6
【解析】
分析：
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为，，
若点在虚轴上，
则，解得或．
故答案为：或6.
15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
答案：
【解析】
分析：
结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】
解：在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为，
将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为，
所以．
故答案为：．
16．(2023·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________
答案：
【解析】
分析：
根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.
【详解】
不妨设，，
因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，
所以也是的一个虚数根，
从而 ①，
又因为无实根，
所以 ②，
由①②可得，，
因为，所以，
由一元二次函数性质易知，
当时，有最小值5；当时，；当时，，
故当时，，即，
故向量的取值范围为：.
故答案为：.
五、解答题
17．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
【解析】
(1)因为为纯虚数,
所以
解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;
(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,
解得或，且
即,故的取值范围为.
18．（2023·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
【解析】
解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
19．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形的面积.
【解析】
解：（1）依题意，点对应的复数为，对应的复数为，
所以，，可得．
又对应的复数，且，所以，所以，可得．
设点对应的复数为，，．
所以，．
为平行四边形，，即解得，
故点对应的复数为．
（2）由（1）可知，，
可得：，．
又，．
故平行四边形的面积．
20．（2023·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设， ，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【解析】
（1）解：由，
，解得，
所以.
（2）
若选①，由，则，解得
若选②，由题意，解得
若选③，由题意，解得.
21．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【解析】
解：（1）∵为方程的根，所以，
整理得到：，由可得.
（2）由方程可得，
若即或，则，
则，即，解得，
若即，则，即，解得，
综上所述，实数的值为或．
22．（2023·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【解析】
（1）证明：（其中、，存在实数，使，
则，可得，消去可得；
（2）解：
．
，．
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