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高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业
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这是一份高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业，共66页。
知识点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或.
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线.
知识点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
知识点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
例1．如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
例2．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
例3．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
例4．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，.
（1）若，求x，y的值：
（2）若，，求的值.
变式1．在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
变式2．如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
变式3．如图，在中，且，，交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，，求．
变式4．在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例5．在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
例6．已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
例7．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，当三点共线时，求实数的值.
变式5．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
变式6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
变式7．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
类型三：平面向量的坐标运算
例8．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．(3，2)D．(1，3)
例9．如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则___________.
变式8．在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
变式9．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
变式10．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
类型四：平面向量平行的坐标表示
例9. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
例10．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
例11．已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且､､三点共线，求的值？
例12．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
变式12．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
变式13．已知向量，，.
（1）若点，，不能构成三角形，求，满足的关系；
（2）若且为钝角，求的取值范围.
变式14．已知向量为坐标原点.若三点共线，求的最小值.
变式15.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．1．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
例14．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
例15．已知，当k为何值时，
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°。
与
与
变式16．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
变式17．已知向量，．
（）若与垂直，求实数的值；
（）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
变式18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
类型六：平面向量数量积的综合应用
例16. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cs∠AMB的值。
例17.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
例18．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
变式19.已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式20.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为___________．
变式21.如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________.
同步练习：
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个B．个C．个D．个
2．（2023·天津北京师范大学静海附属学校高一阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．4D．1
3．（2023·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
5．（2023·福建·福州四中高一期中）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
6．（2023·全国·高一课时练习）已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．2或D．2或
7．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2B．C．k＝1D．k＝－1
二、多选题
11．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·湖南·益阳市箴言中学高一阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河北·元氏县第四中学高一期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
14．（2023·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·浙江浙江·高一期末）己知向量，则（ ）
A．
B．
C．向量在向量方向上的投影是
D．与向量方向相同的单位向量是
16．（2023·湖北孝感·高一期中）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
17．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，若，则__________．
18．（2023·全国·高一课时练习）已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
19．（2023·江西·九江一中高一期中）平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，，设，，则___________．
20．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
21．（2023·上海·高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角θ为钝角，则x的取值范围是___________.
22．（2023·全国·高一课时练习）已知，则与平行且模为5的向量是______．
23．（2023·全国·高一课时练习）已知与不平行，且，，，若以、为一组基，则用、可表示为______．
四、解答题
24．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，与的夹角大小为120°，与的夹角大小为25°，，试用、表示．
25．（2023·江苏启东·高一期中）如图，在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，点在边上．设．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
26．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
27．（2023·全国·高一单元测试）已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
28．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
29．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值
30．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
31．（2023·广东广州·高一期末）已知点、、，点在线段上，且满足．
（1）求点的坐标；
（2）求的余弦值．
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=(，)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或.
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线.
知识点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
知识点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
例1．如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【解析】
因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.
故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.
例2．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解析】
设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
例3．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
【解析】
∵平行四边形OADB，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，
∴，
.
例4．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，.
（1）若，求x，y的值：
（2）若，，求的值.
【解析】
（1）解：在菱形中，，所以，
则，可得，
,
所以，.
（2）解：
变式1．在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
【解析】
（1）证明:设，
点Q为的中点，
，
.
，M，A三点共线，
，
解得，
点N为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，B，C三点共线，
，
解得，
，
，
，
，.
变式2．如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
【解析】
在中，令，因AD为三角形BC边上的中线，则，
而BE交AD于G，则，，
又点E在AC上，且AE=2EC，则有，显然有，且与不共线，
于是得，解得，即，，从而得，
，即有，则.
变式3．如图，在中，且，，交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，，求．
【解析】
(1)∵ ，又，
∴ ，
由 C，F，D三点共线，设，
∴ ，又，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，，
(2)由(1) ，
∴ ，
又，
∴，
又，，，
∴ ，
变式4．在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
【解析】
解：（1）设，
因为，，所以，，
因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，所以，解得，所以，
（2）由，可得，，
因为，所以，
因为M，E，F三点共线，所以，
根据基本不等式可，即，当且仅当，时，取得等号，
所以的最小值为.
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例5．在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
答案：
【解析】
，，，分别为边，，的中点，
,
，，三点共线，
，解得：.
故答案为：.
例6．已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
【解析】
∵，
∴根据共线向量基本定理得，与共线．又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线，得证．
例7．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，当三点共线时，求实数的值.
【解析】
（1）∵，∴，
则
.
（2），
∵，，
∴
，
若A，M，C三点共线时，有，
从而存在唯一的实数t，使得，
即，又由､不共线，
由平面向量基本定理，可得
消去t可得，
解得.
变式5．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
【解析】
（1）由题可知：＝，
（2），
共线，
且有一公共点，
∴E，G，F三点共线．
变式6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
【解析】
（1），．
（2）因为D，G，F三点共线，则，，
即．
因为B，G，E三点共线，则，
即，
由平面向量基本定理知，解得，
所以，
所以A，G，C三点共线．
变式7．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【解析】
(1)解
(2)证明 一方面，由(1)，得
；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，②
而不共线，∴由①②，得，解得
(定值)．
类型三：平面向量的坐标运算
例8．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．(3，2)D．(1，3)
答案：A
【解析】
设顶点的坐标为
，，
且，
故选：．
例9．如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则___________.
答案：3
【解析】
解：设等腰直角三角形的直角边长为是1，则斜边为，
以、分别为轴、轴建立如图所示直角坐标系，
可得，，，
，，，，
，，
，，，，
，
，，，
，解之得，，
所以.
故答案为：3.
变式8．在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
答案：
【解析】
因为，，所以，
又因为A(3，2)，所以.
故答案为：.
变式9．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
【解析】
点在线段的延长线上，且，
，
，，，．
所以点P的坐标为
变式10．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】
（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
类型四：平面向量平行的坐标表示
例9. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
【解析】
(1)
(2)
又且
例10．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
【解析】
由已知可得，，
所以，，
由，所以和共线.
例11．已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且､､三点共线，求的值？
【解析】
（1），
.
∵与共线，
∴，
即，得.
（2）法一：∵､､三点共线，
∴，
即，
∴，解得.
法二：，
.
∵､､三点共线，
∴.
∴，
即，
∴.
例12．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，
则．
，
由与共线得，解得，
所以．所以P点坐标为（3，3）．
方法二：设P（x，y），则，
因为，且与共线，所以，即x=y．
又，，且与共线，则得，解得，所以P点坐标为（3，3）．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【解析】
解：（1）设，则，
，
，
，
；
（2）证明：连接,
，，
，且，
又，，
,
四边形为等腰梯形.
变式12．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
【解析】
以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.
令，则，因为，，
所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为
.
（1）因为，，
所以，即.
（2）因为M为的中点，所以，
所以，，
所以，所以.
又与有公共点，所以D，M，B三点共线.
变式13．已知向量，，.
（1）若点，，不能构成三角形，求，满足的关系；
（2）若且为钝角，求的取值范围.
【解析】
解：（1）因为点，，不能构成三角形，
所以，，三点共线，即，
，，
所以，
即；
（2）因为为钝角，所以且不共线，
由（1）得：当，且时，，
因为不共线，所以，
，，
，
解得：，
所以且，
，
所以且，
所以.
故答案为：.
变式14．已知向量为坐标原点.若三点共线，求的最小值.
【解析】
若三点共线，则，
又因为，
所以，化简得，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
变式15.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
【解析】设．
∵，
∵．
又，而与共线，
解之，得．设点P的坐标为，
∴，
∴，即．
故点P的坐标为（6，4）．
类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．1．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
（1）因为，，所以.
（2）因为，，所以，
所以.
（3）因为，，所以，
所以.
例14．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
【解析】
（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
例15．已知，当k为何值时，
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°。
【解析】
（1）与共线，，。
（2）∵，，
，而与的夹角为，
，
即。
化简，整理得，解之得。
变式16．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
【解析】
（1）已知，，，，，
.
（2），，，
，，在上的投影为
上的单位向量为
在上的投影向量为.
变式17．已知向量，．
（）若与垂直，求实数的值；
（）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【解析】
（1）因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
即，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，
所以，
即，解得，
当与平行时，
，解得，此时与夹角为，
故实数的取值范围为.
变式18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】
解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
类型六：平面向量数量积的综合应用
例16. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cs∠AMB的值。
【解析】 （1）如图，设。则，
∵点M在直线OP上，∴向量与共线。
又，，即.
∴。
又，，∴。
同理。
于是，
由二次函数的知识，可知当时，有最小值-8，此时。
（2）当，即时，有，，，，
，
∴。
例17.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
【解析】
（1）以直径所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系。
因为P是弧靠近点B的三等分点，
连接OP，则，
点P坐标为。
又点A坐标是，点B坐标是，
所以，
所以。
（2）设则
所以
所以
=
=
=
当有最小值，
当有最大值。
例18．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【解析】
点在直线上，即与共线，
设，
则，
，
当时，取得最小值，
此时，
，
.
变式19.已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
变式20.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为___________．
答案：
【解析】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
设，，
因为，，
所以，
所以，解得：，
所以，
令，可知当时，函数单调递增，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
变式21.如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________.
答案：
【解析】
由，
则，，
建立如图所示坐标系，则，，
设，，
由知，
，
化简得：，，
则
，其中，
则当时，最大值为.
故答案为：.
同步练习：
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个B．个C．个D．个
答案：C
分析：
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【解析】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
2．（2023·天津北京师范大学静海附属学校高一阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．4D．1
答案：B
分析：
由题设条件先求出向量的模，再由数量积运算公式求出的值得解.
【解析】
解：，，
，
又平面向量与的夹角为，，
，
故选：B
3．（2023·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【解析】
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：A.
4．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
答案：D
分析：
根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【解析】
由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
5．（2023·福建·福州四中高一期中）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
答案：C
分析：
根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【解析】
由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为8
故选：C.
6．（2023·全国·高一课时练习）已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．2或D．2或
答案：D
分析：
把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可．
【解析】
解：向量，＝（m，1），，
可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1，
当m＝0时，＝（0，1），
向量在方向上的投影为＝2，
当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），
向量在方向上的投影为，
故选：D．
7．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解.
【解析】
在三角形中，，，
可得,
因为，所以，所以.
故选：C.
8．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题可知点A、B、C、D构成四边形即不存在三点共线就可构成四边形，利用坐标系及共线向量坐标表示即得.
【解析】
因为，，，显然三点不共线，
如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，
当时，，即此时A、C、D共线，不能使点A、B、C、D构成四边形.
故选：D
9．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
求出的坐标，利用坐标表示即可求解.
【解析】
因为，，则，
因为，所以，解得：，
故选：D.
10．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2B．C．k＝1D．k＝－1
答案：C
分析：
由题意可得A，B，C三点共线，然后求出与，再利用向量共线的坐标运算即可得解.
【解析】
解：由A，B，C三点不能构成三角形，
则A，B，C三点共线，
则与共线，
又向量，
所以，，
又与共线，
则，
解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量减法的坐标运算，重点考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
二、多选题
11．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由题设不等式恒成立，得出或，然后根据所在区域内点判断各选项．
【解析】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
则，，，
由得，，
对任意，恒成立，则，即或，
此时（当时取得），A正确；
若，则，，B错；
（时等号成立），C正确；
例如点坐标是时， ，，D错，
故选：AC．
12．（2023·湖南·益阳市箴言中学高一阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BCD
分析：
建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，求出的取值范围即可.
【解析】
以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，，
设，则，，，，
所以
，当，时，取得最小值为，
故选：BCD
13．（2023·河北·元氏县第四中学高一期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：AC
分析：
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行垂直的性质，求向量的模的方法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解析】
解：由，得，则A正确，B错误；
因为，，
所以，，
由，得，即，则C正确；
由，得，则，则D错误；
故选：AC．
14．（2023·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
分析：
以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果.
【解析】
依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的0，1，.
故选：ABC.
15．（2023·浙江浙江·高一期末）己知向量，则（ ）
A．
B．
C．向量在向量方向上的投影是
D．与向量方向相同的单位向量是
答案：ABCD
分析：
根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.
【解析】
，则，故A正确；
，故B正确；
向量在向量上的投影是，故C正确；
与方向相同的单位向量为，故D正确；
故选：ABCD
16．（2023·湖北孝感·高一期中）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：AC
分析：
判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.
【解析】
对A，∥，不能作为基底；
对B，，与不平行，可以作为基底；
对C，，∥，不能作为基底；
对D，，与不平行，可以作为基底.
故选：AC.
三、填空题
17．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，若，则__________．
答案：
分析：
利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【解析】
由得
，
所以，，因此，.
故答案为：.
18．（2023·全国·高一课时练习）已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
答案：
分析：
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【解析】
∵点P在延长线上，且，
∴，
∴即，又，，
∴.
故答案为：.
19．（2023·江西·九江一中高一期中）平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，，设，，则___________．
答案：
分析：
选作为基向量，则有，，用，表示出，结合，可求出的值即可.
【解析】
选作为基向量，则有， 可得
又，
解得，所以
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的线性运算，向量的运算有两种方法：
一是结合图形的几何性质：平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
20．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
答案：
分析：
由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求向量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量.
【解析】
由，则，即与向量方向相同的单位向量为，
又，则，
∴向量在向量方向上的投影向量为
故答案为：
21．（2023·上海·高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角θ为钝角，则x的取值范围是___________.
答案：且
分析：
根据与的夹角θ为钝角，可得且两向量不共线，列出不等式，从而可得答案.
【解析】
解：∵θ为钝角，∴且两向量不共线，
即，解得，
当时，，解得，
又因不共线，所以，
所以x的取值范围是且.
故答案为：且.
22．（2023·全国·高一课时练习）已知，则与平行且模为5的向量是______．
答案：
分析：
利用向量共线的坐标表示及向量模长公式即得.
【解析】
由题设所求向量为，
则，
解得，
故与平行且模为5的向量是.
故答案为：
23．（2023·全国·高一课时练习）已知与不平行，且，，，若以、为一组基，则用、可表示为______．
答案：
分析：
设，化简可得，再根据与不平行，可得，解方程组，即可求出结果.
【解析】
设，则
所以
又与不平行，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
24．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，与的夹角大小为120°，与的夹角大小为25°，，试用、表示．
【解析】
以为原点，建立平面直角坐标系，
∵，与的夹角为，与的夹角为，
所以， ，，
所以，，，
设，
所以
所以，
解得，
所以.
25．（2023·江苏启东·高一期中）如图，在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，点在边上．设．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）设，则
．
因为，所以，，所以．
（2）若，则，所以，
因为在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，
所以，，，
（方法一）所以，，
所以，
所以
．
（方法二）建立如图所示的直角坐标系．
则，，，
所以，，
所以．
26．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
【解析】
∵，
∴A、P、D三点共线
又∵，
∴在线段上.
∵为中点，设，则，，
∴====，
∴的最大值为2
（2）如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，
∵，，
∴，
设，则
∴=，
∵，∴
27．（2023·全国·高一单元测试）已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
【解析】
设.
因为与共线，所以，即.
由，，
得.
当时，点取最小值，此时.
28．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
【解析】
（1）由题意，，
故
（2）由题意，
故
，
故
29．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值
【解析】
（1）因为，，所以.
（2）因为，
所以.
（3）由，可得，
，
因为向量与互相垂直，
所以，
即，解得：.
30．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
【解析】
方法一：
．
方法二：
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
由得，所以
故，
所以，
所以
31．（2023·广东广州·高一期末）已知点、、，点在线段上，且满足．
（1）求点的坐标；
（2）求的余弦值．
【解析】
（1）解：设点，因为点在线段上，且满足，则，
即，即，解得，即点.
（2）解：由已知可得，，.
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=(，)
知识点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或.
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线.
知识点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
知识点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
例1．如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
例2．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
例3．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
例4．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，.
（1）若，求x，y的值：
（2）若，，求的值.
变式1．在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
变式2．如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
变式3．如图，在中，且，，交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，，求．
变式4．在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例5．在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
例6．已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
例7．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，当三点共线时，求实数的值.
变式5．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
变式6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
变式7．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
类型三：平面向量的坐标运算
例8．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．(3，2)D．(1，3)
例9．如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则___________.
变式8．在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
变式9．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
变式10．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
类型四：平面向量平行的坐标表示
例9. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
例10．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
例11．已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且､､三点共线，求的值？
例12．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
变式12．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
变式13．已知向量，，.
（1）若点，，不能构成三角形，求，满足的关系；
（2）若且为钝角，求的取值范围.
变式14．已知向量为坐标原点.若三点共线，求的最小值.
变式15.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．1．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
例14．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
例15．已知，当k为何值时，
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°。
与
与
变式16．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
变式17．已知向量，．
（）若与垂直，求实数的值；
（）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
变式18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
类型六：平面向量数量积的综合应用
例16. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cs∠AMB的值。
例17.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
例18．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
变式19.已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式20.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为___________．
变式21.如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________.
同步练习：
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个B．个C．个D．个
2．（2023·天津北京师范大学静海附属学校高一阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．4D．1
3．（2023·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
5．（2023·福建·福州四中高一期中）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
6．（2023·全国·高一课时练习）已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．2或D．2或
7．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2B．C．k＝1D．k＝－1
二、多选题
11．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·湖南·益阳市箴言中学高一阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河北·元氏县第四中学高一期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
14．（2023·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·浙江浙江·高一期末）己知向量，则（ ）
A．
B．
C．向量在向量方向上的投影是
D．与向量方向相同的单位向量是
16．（2023·湖北孝感·高一期中）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
17．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，若，则__________．
18．（2023·全国·高一课时练习）已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
19．（2023·江西·九江一中高一期中）平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，，设，，则___________．
20．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
21．（2023·上海·高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角θ为钝角，则x的取值范围是___________.
22．（2023·全国·高一课时练习）已知，则与平行且模为5的向量是______．
23．（2023·全国·高一课时练习）已知与不平行，且，，，若以、为一组基，则用、可表示为______．
四、解答题
24．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，与的夹角大小为120°，与的夹角大小为25°，，试用、表示．
25．（2023·江苏启东·高一期中）如图，在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，点在边上．设．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
26．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
27．（2023·全国·高一单元测试）已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
28．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
29．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值
30．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
31．（2023·广东广州·高一期末）已知点、、，点在线段上，且满足．
（1）求点的坐标；
（2）求的余弦值．
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=(，)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点梳理】
知识点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
知识点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
知识点二：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥，即，或.
知识点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线.
知识点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
知识点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
例1．如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
【解析】
因为三点共线，所以存在实数，使得
，
又三点共线，所以存在实数，使得,
由于不共线，所以,解得.
故.
因为三点共线，所以存在实数，使得,
消去,得＋＝1.
例2．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解析】
设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
例3．如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
【解析】
∵平行四边形OADB，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，
∴，
.
例4．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设，.
（1）若，求x，y的值：
（2）若，，求的值.
【解析】
（1）解：在菱形中，，所以，
则，可得，
,
所以，.
（2）解：
变式1．在中，，点Q为的中点，交于点N.
（1）证明：点N为的中点；
（2）若，求.
【解析】
（1）证明:设，
点Q为的中点，
，
.
，M，A三点共线，
，
解得，
点N为的中点.
（2）由（1）知，.
设，
，B，C三点共线，
，
解得，
，
，
，
，.
变式2．如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值．
【解析】
在中，令，因AD为三角形BC边上的中线，则，
而BE交AD于G，则，，
又点E在AC上，且AE=2EC，则有，显然有，且与不共线，
于是得，解得，即，，从而得，
，即有，则.
变式3．如图，在中，且，，交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，，求．
【解析】
(1)∵ ，又，
∴ ，
由 C，F，D三点共线，设，
∴ ，又，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，，
(2)由(1) ，
∴ ，
又，
∴，
又，，，
∴ ，
变式4．在中，，，与交于点M，设，
（1）用，表示；
（2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，，求的最小值.
【解析】
解：（1）设，
因为，，所以，，
因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，所以，解得，所以，
（2）由，可得，，
因为，所以，
因为M，E，F三点共线，所以，
根据基本不等式可，即，当且仅当，时，取得等号，
所以的最小值为.
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例5．在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
答案：
【解析】
，，，分别为边，，的中点，
,
，，三点共线，
，解得：.
故答案为：.
例6．已知两个非零向量与不共线，如果，，求证：A，B，D三点共线．
【解析】
∵，
∴根据共线向量基本定理得，与共线．又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线，得证．
例7．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，当三点共线时，求实数的值.
【解析】
（1）∵，∴，
则
.
（2），
∵，，
∴
，
若A，M，C三点共线时，有，
从而存在唯一的实数t，使得，
即，又由､不共线，
由平面向量基本定理，可得
消去t可得，
解得.
变式5．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
【解析】
（1）由题可知：＝，
（2），
共线，
且有一公共点，
∴E，G，F三点共线．
变式6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．
（1）试以，为基底表示，；
（2）求证：A，G，C三点共线．
【解析】
（1），．
（2）因为D，G，F三点共线，则，，
即．
因为B，G，E三点共线，则，
即，
由平面向量基本定理知，解得，
所以，
所以A，G，C三点共线．
变式7．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【解析】
(1)解
(2)证明 一方面，由(1)，得
；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，②
而不共线，∴由①②，得，解得
(定值)．
类型三：平面向量的坐标运算
例8．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．
C．(3，2)D．(1，3)
答案：A
【解析】
设顶点的坐标为
，，
且，
故选：．
例9．如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则___________.
答案：3
【解析】
解：设等腰直角三角形的直角边长为是1，则斜边为，
以、分别为轴、轴建立如图所示直角坐标系，
可得，，，
，，，，
，，
，，，，
，
，，，
，解之得，，
所以.
故答案为：3.
变式8．在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
答案：
【解析】
因为，，所以，
又因为A(3，2)，所以.
故答案为：.
变式9．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．
【解析】
点在线段的延长线上，且，
，
，，，．
所以点P的坐标为
变式10．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【解析】
（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，
若，如图(1)，那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
类型四：平面向量平行的坐标表示
例9. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
【解析】
(1)
(2)
又且
例10．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
【解析】
由已知可得，，
所以，，
由，所以和共线.
例11．已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，且､､三点共线，求的值？
【解析】
（1），
.
∵与共线，
∴，
即，得.
（2）法一：∵､､三点共线，
∴，
即，
∴，解得.
法二：，
.
∵､､三点共线，
∴.
∴，
即，
∴.
例12．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，
则．
，
由与共线得，解得，
所以．所以P点坐标为（3，3）．
方法二：设P（x，y），则，
因为，且与共线，所以，即x=y．
又，，且与共线，则得，解得，所以P点坐标为（3，3）．
变式11．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【解析】
解：（1）设，则，
，
，
，
；
（2）证明：连接,
，，
，且，
又，，
,
四边形为等腰梯形.
变式12．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
【解析】
以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.
令，则，因为，，
所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为
.
（1）因为，，
所以，即.
（2）因为M为的中点，所以，
所以，，
所以，所以.
又与有公共点，所以D，M，B三点共线.
变式13．已知向量，，.
（1）若点，，不能构成三角形，求，满足的关系；
（2）若且为钝角，求的取值范围.
【解析】
解：（1）因为点，，不能构成三角形，
所以，，三点共线，即，
，，
所以，
即；
（2）因为为钝角，所以且不共线，
由（1）得：当，且时，，
因为不共线，所以，
，，
，
解得：，
所以且，
，
所以且，
所以.
故答案为：.
变式14．已知向量为坐标原点.若三点共线，求的最小值.
【解析】
若三点共线，则，
又因为，
所以，化简得，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
变式15.如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
【解析】设．
∵，
∵．
又，而与共线，
解之，得．设点P的坐标为，
∴，
∴，即．
故点P的坐标为（6，4）．
类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例13．1．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
（1）因为，，所以.
（2）因为，，所以，
所以.
（3）因为，，所以，
所以.
例14．（1）已知点A､B､D的坐标分别是､､，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
【解析】
（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
例15．已知，当k为何值时，
（1）与共线；
（2）与的夹角为120°。
【解析】
（1）与共线，，。
（2）∵，，
，而与的夹角为，
，
即。
化简，整理得，解之得。
变式16．已知，，，．
（1）求证：；
（2）求在上的投影向量．
【解析】
（1）已知，，，，，
.
（2），，，
，，在上的投影为
上的单位向量为
在上的投影向量为.
变式17．已知向量，．
（）若与垂直，求实数的值；
（）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【解析】
（1）因为，，
所以，，
因为与垂直，所以，
即，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，
所以，
即，解得，
当与平行时，
，解得，此时与夹角为，
故实数的取值范围为.
变式18．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，用向量的方法证明：．
【解析】
解：如图所示，建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为2，则
，
，即
类型六：平面向量数量积的综合应用
例16. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cs∠AMB的值。
【解析】 （1）如图，设。则，
∵点M在直线OP上，∴向量与共线。
又，，即.
∴。
又，，∴。
同理。
于是，
由二次函数的知识，可知当时，有最小值-8，此时。
（2）当，即时，有，，，，
，
∴。
例17.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
【解析】
（1）以直径所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系。
因为P是弧靠近点B的三等分点，
连接OP，则，
点P坐标为。
又点A坐标是，点B坐标是，
所以，
所以。
（2）设则
所以
所以
=
=
=
当有最小值，
当有最大值。
例18．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【解析】
点在直线上，即与共线，
设，
则，
，
当时，取得最小值，
此时，
，
.
变式19.已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
变式20.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为___________．
答案：
【解析】
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，
设，，
因为，，
所以，
所以，解得：，
所以，
令，可知当时，函数单调递增，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
变式21.如图，点 C 是半径为 6 的扇形圆弧 AB 上的一点， 18，若 x y ，则 3x+2y 的最大值为____________.
答案：
【解析】
由，
则，，
建立如图所示坐标系，则，，
设，，
由知，
，
化简得：，，
则
，其中，
则当时，最大值为.
故答案为：.
同步练习：
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个B．个C．个D．个
答案：C
分析：
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【解析】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
2．（2023·天津北京师范大学静海附属学校高一阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．C．4D．1
答案：B
分析：
由题设条件先求出向量的模，再由数量积运算公式求出的值得解.
【解析】
解：，，
，
又平面向量与的夹角为，，
，
故选：B
3．（2023·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，易知为减函数，即可得出结果.
【解析】
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：A.
4．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
答案：D
分析：
根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【解析】
由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
5．（2023·福建·福州四中高一期中）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
答案：C
分析：
根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【解析】
由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为8
故选：C.
6．（2023·全国·高一课时练习）已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．2或D．2或
答案：D
分析：
把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可．
【解析】
解：向量，＝（m，1），，
可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1，
当m＝0时，＝（0，1），
向量在方向上的投影为＝2，
当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），
向量在方向上的投影为，
故选：D．
7．（2023·全国·高一课时练习）在中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解.
【解析】
在三角形中，，，
可得,
因为，所以，所以.
故选：C.
8．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由题可知点A、B、C、D构成四边形即不存在三点共线就可构成四边形，利用坐标系及共线向量坐标表示即得.
【解析】
因为，，，显然三点不共线，
如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，
当时，，即此时A、C、D共线，不能使点A、B、C、D构成四边形.
故选：D
9．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
求出的坐标，利用坐标表示即可求解.
【解析】
因为，，则，
因为，所以，解得：，
故选：D.
10．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2B．C．k＝1D．k＝－1
答案：C
分析：
由题意可得A，B，C三点共线，然后求出与，再利用向量共线的坐标运算即可得解.
【解析】
解：由A，B，C三点不能构成三角形，
则A，B，C三点共线，
则与共线，
又向量，
所以，，
又与共线，
则，
解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量减法的坐标运算，重点考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
二、多选题
11．（2023·浙江省兰溪市第三中学高一阶段练习）设，若平面上点满足对任意的，恒有，则下列一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
分析：
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由题设不等式恒成立，得出或，然后根据所在区域内点判断各选项．
【解析】
以直线为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，
则，，，
由得，，
对任意，恒成立，则，即或，
此时（当时取得），A正确；
若，则，，B错；
（时等号成立），C正确；
例如点坐标是时， ，，D错，
故选：AC．
12．（2023·湖南·益阳市箴言中学高一阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BCD
分析：
建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，求出的取值范围即可.
【解析】
以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，，，
设，则，，，，
所以
，当，时，取得最小值为，
故选：BCD
13．（2023·河北·元氏县第四中学高一期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：AC
分析：
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行垂直的性质，求向量的模的方法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解析】
解：由，得，则A正确，B错误；
因为，，
所以，，
由，得，即，则C正确；
由，得，则，则D错误；
故选：AC．
14．（2023·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
分析：
以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果.
【解析】
依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的0，1，.
故选：ABC.
15．（2023·浙江浙江·高一期末）己知向量，则（ ）
A．
B．
C．向量在向量方向上的投影是
D．与向量方向相同的单位向量是
答案：ABCD
分析：
根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可.
【解析】
，则，故A正确；
，故B正确；
向量在向量上的投影是，故C正确；
与方向相同的单位向量为，故D正确；
故选：ABCD
16．（2023·湖北孝感·高一期中）在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：AC
分析：
判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.
【解析】
对A，∥，不能作为基底；
对B，，与不平行，可以作为基底；
对C，，∥，不能作为基底；
对D，，与不平行，可以作为基底.
故选：AC.
三、填空题
17．（2023·广东高州·高一期末）已知向量，，若，则__________．
答案：
分析：
利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【解析】
由得
，
所以，，因此，.
故答案为：.
18．（2023·全国·高一课时练习）已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
答案：
分析：
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【解析】
∵点P在延长线上，且，
∴，
∴即，又，，
∴.
故答案为：.
19．（2023·江西·九江一中高一期中）平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，，设，，则___________．
答案：
分析：
选作为基向量，则有，，用，表示出，结合，可求出的值即可.
【解析】
选作为基向量，则有， 可得
又，
解得，所以
故答案为：
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的线性运算，向量的运算有两种方法：
一是结合图形的几何性质：平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
20．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示）
答案：
分析：
由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求向量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量.
【解析】
由，则，即与向量方向相同的单位向量为，
又，则，
∴向量在向量方向上的投影向量为
故答案为：
21．（2023·上海·高一课时练习）设=（2，x）， =（-4，5），若与的夹角θ为钝角，则x的取值范围是___________.
答案：且
分析：
根据与的夹角θ为钝角，可得且两向量不共线，列出不等式，从而可得答案.
【解析】
解：∵θ为钝角，∴且两向量不共线，
即，解得，
当时，，解得，
又因不共线，所以，
所以x的取值范围是且.
故答案为：且.
22．（2023·全国·高一课时练习）已知，则与平行且模为5的向量是______．
答案：
分析：
利用向量共线的坐标表示及向量模长公式即得.
【解析】
由题设所求向量为，
则，
解得，
故与平行且模为5的向量是.
故答案为：
23．（2023·全国·高一课时练习）已知与不平行，且，，，若以、为一组基，则用、可表示为______．
答案：
分析：
设，化简可得，再根据与不平行，可得，解方程组，即可求出结果.
【解析】
设，则
所以
又与不平行，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
24．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，与的夹角大小为120°，与的夹角大小为25°，，试用、表示．
【解析】
以为原点，建立平面直角坐标系，
∵，与的夹角为，与的夹角为，
所以， ，，
所以，，，
设，
所以
所以，
解得，
所以.
25．（2023·江苏启东·高一期中）如图，在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，点在边上．设．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）设，则
．
因为，所以，，所以．
（2）若，则，所以，
因为在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，
所以，，，
（方法一）所以，，
所以，
所以
．
（方法二）建立如图所示的直角坐标系．
则，，，
所以，，
所以．
26．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
【解析】
∵，
∴A、P、D三点共线
又∵，
∴在线段上.
∵为中点，设，则，，
∴====，
∴的最大值为2
（2）如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，
∵，，
∴，
设，则
∴=，
∵，∴
27．（2023·全国·高一单元测试）已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
【解析】
设.
因为与共线，所以，即.
由，，
得.
当时，点取最小值，此时.
28．（2023·全国·高一课时练习）已知向量，，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值．
【解析】
（1）由题意，，
故
（2）由题意，
故
，
故
29．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）已知，
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值
【解析】
（1）因为，，所以.
（2）因为，
所以.
（3）由，可得，
，
因为向量与互相垂直，
所以，
即，解得：.
30．（2023·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
【解析】
方法一：
．
方法二：
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
由得，所以
故，
所以，
所以
31．（2023·广东广州·高一期末）已知点、、，点在线段上，且满足．
（1）求点的坐标；
（2）求的余弦值．
【解析】
（1）解：设点，因为点在线段上，且满足，则，
即，即，解得，即点.
（2）解：由已知可得，，.
运 算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则=(，)
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