人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念达标测试，共30页。

知识点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。
知识点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2．向量的表示方法：
(1)字母表示法：如等．
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
知识点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
知识点诠释：
（1）向量的模。
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式1．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C．若，则
D．对任一非零向量是一个单位向量
类型二：向量的表示方法
例3．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
例4．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
变式3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
变式4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
变式5．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形．
变式6．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例6．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
例7．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
变式7．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
变式8．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
同步练习：
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
3．（2023·全国·高一课时练习）下图中与向量相等的向量是（ ）
A．，，，B．，C．D．
4．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=||B．与共线
C．与共线D．与共线
5．（2023·全国·高一课时练习）在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
6．（2023·全国·高一课时练习）若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④B．③C．①②③D．②③
7．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
8．（2023·天津市新华中学高一月考）下列命题正确的是（ ）
A．若，则、、、四点构成平行四边形
B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
C．若、都是单位向量，则
D．向量与是两平行向量
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）（多选）已知向量，，在下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）下列说法错误的是（ ）
A．∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
11．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
12．（2023·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一月考）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
三、填空题
13．（2023·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
14．（2023·全国·高一课时练习）已知平面内不同的四点A，B，C，D，且，则“直线”是“”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“ 既不充分也不必要”或“充要”）
15．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，则__________.
16．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在的相反向量？
18．（2023·全国·高一课时练习）已知四边形中，.求证：.
19．（2023·上海·高一课时练习）如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？
20．（2023·全国·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
6.1平面向量的概念
【知识点梳理】
知识点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。
知识点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2．向量的表示方法：
(1)字母表示法：如等．
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
知识点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
知识点诠释：
（1）向量的模。
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
知识点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：A
【解析】
①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
变式1．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若，则向量方向相同，故③正确；
当时，向量的方向不能确定，故④错误.
所以正确命题的个数是2个.
故选：C.
变式2．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
C．若，则
D．对任一非零向量是一个单位向量
答案：AC
【解析】
对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；
对于B：因为与是非零向量，若，则与的方向相同或相反，故选项B正确；
对于C：当时，若，与是任意向量；故选项C不正确；
对于D：对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，所以是的一个单位向量，故选项D正确；所以叙述中错误的是AC，故选：AC.
类型二：向量的表示方法
例3．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【解析】
（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
例4．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．
（1）试以B为起点画一个向量，使；
（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．
【解析】
（1）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
变式3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【解析】
由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
变式4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【解析】
（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】
因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．即证.
变式5．在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形．
【解析】
证明：在四边形ABCD中， ，
所以，且
所以四边形为平行四边形．
变式6．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证:.
【解析】
（1）根据题意，与向量共线的向量为：，，.
（2）∵ABCD是平行四边形，，，且E，F分别为边CD，AB的中点，
∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例6．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
例7．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【解析】
（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
变式7．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
【解析】
由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则.
所以为飞机从A地到C地的位移.
在中，，且，
故为等边三角形，所以，.
所以C地在A地北偏东方向上，距A地.
变式8．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】
以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
同步练习:
一、单选题
1．（2023·全国·高一课时练习）下列物理量：①质量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能称为向量的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】
根据物理量的定义、性质知：质量、路程是标量，位移、重力、加速度为矢量即向量，
∴③④⑤是向量，①②是标量.
故选：C
2．（2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
答案：C
【解析】
解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．
故选：C.
3．（2023·全国·高一课时练习）下图中与向量相等的向量是（ ）
A．，，，B．，C．D．
答案：D
【解析】
由相等向量的定义可知：
两个向量的长度要相等，方向要相同，
结合图形可知满足条件，
故选：D
4．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=||B．与共线
C．与共线D．与共线
答案：C
【解析】
因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；
故选：C.
5．（2023·全国·高一课时练习）在四边形中，，且，那么四边形为（ ）
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
答案：B
【解析】
解：，，四边形为平行四边形，
又，平行四边形为菱形.
故选：B.
6．（2023·全国·高一课时练习）若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④B．③C．①②③D．②③
答案：B
【解析】
①中，的大小不能确定，故①错误；
②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；
③中，为任一非零向量，则，故③正确；
④中，由题，故④错误.
故选：B．
7．（2023·全国·高一课时练习）给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
答案：B
【解析】
①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
8．（2023·天津市新华中学高一月考）下列命题正确的是（ ）
A．若，则、、、四点构成平行四边形
B．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
C．若、都是单位向量，则
D．向量与是两平行向量
答案：D
【解析】
对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错；
对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错；
对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错；
对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高一课时练习）（多选）已知向量，，在下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：CD
【解析】
解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；
向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；
两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；
模值为零的向量为零向量，故D正确
故选：CD
10．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）下列说法错误的是（ ）
A．∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
答案：ABD
【解析】
对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；
对于C：按定义，零向量的长度等于0，C正确；
对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；
故选：ABD．
11．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
答案：BC
【解析】
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选：BC
12．（2023·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一月考）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
答案：ABD
【解析】
对于A，向量不能比较大小，A错误；
对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；
对于D，当时，无意义，故D错误.
故选：ABD
三、填空题
13．（2023·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．
答案：②③
【解析】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则，显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，
对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.
故答案为：②③
14．（2023·全国·高一课时练习）已知平面内不同的四点A，B，C，D，且，则“直线”是“”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“ 既不充分也不必要”或“充要”）
答案：既不充分也不必要
【解析】
解：根据题意如图所示：先证明充分性

平行四边形ABCD中，且，但是，故由“直线”不能得出“”；
再证明必要性：
当平面内不同的四点A、B、C、D在同一直线上，当时，有，但是不能得出“直线”.
故“直线”是“”的既不充分又不必要条件.
故答案为：既不充分又不必要条件
15．（2023·全国·高一课时练习）如图，已知，则__________.
答案：1
【解析】
且
根据三角形全等判断可知△△
即
故答案为：1
16．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
答案：①②④⑤
【解析】
①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.
故答案为：①②④⑤
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在的相反向量？
【解析】
（1）与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个
（2）存在，是的相反向量
18．（2023·全国·高一课时练习）已知四边形中，.求证：.
【解析】
证明：因为
所以四边形为平行四边形.
所以，且.
所以.
19．（2023·上海·高一课时练习）如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？
【解析】
由图可知，模等于圆半径的向量为，，，，共16个；
图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径倍的向量，共16个.
20．（2023·全国·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【解析】
（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以米.