第2章 轴对称图形知识梳理+热考题型-2023-2024学年八年级数学上册（苏科版）

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第2章 轴对称图形 本章知识综合运用内容预览有关概念●●1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.◆轴对称的性质：1.成轴对称的两个图形全等；2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.●●2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.◆轴对称图形与轴对称的区别与联系：●●3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.◆线段的垂直平分线必须满足两个条件：1.经过线段的中点；2.垂直于这条线段.注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.●●4、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.简单的轴对称图形●●1、线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.◆线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.◆线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.●●2、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线是它的对称轴.◆角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.◆角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.●●3、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）所在的直线是它的对称轴.◆等腰三角形性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；2.等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.◆等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).◆直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.●●4、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所在的直线是它的对称轴◆等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°．拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.◆等边三角形判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．尺规作图●●1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：一找——找已知图形的关键点；二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；三连——按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.●●2、用尺规作线段的垂直平分线●●3、已知底边及底边上的高作等腰三角形轴对称图形的识别题型一【例题】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ）A． B． C． D．【变式1】（2023·江苏扬州·二模）垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（     ）A． B． C． D．【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　） A． B． C． D．【变式4】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．  (1)若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有 　 种．(2)请在备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴．轴对称的性质与应用题型二【例题1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，若△ABC与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（    ）A． B． C． D．【变式1-1】（2023秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（    ）A． B． C． D．【变式1-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（   ）  A． B． C． D．无法确定【变式1-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．（2）在直线上找一点，使得的周长最小．【例题2】（（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．【变式2-1】（（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（    ）A． B． C． D．【变式2-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为 ．线段的轴对称性题型三【例题1】 (2023·全国·单元测试)如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(    ) A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 17.5cm【变式1-1】 (2023·湖南省·单元测试)如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值(    )A. 10 B. 6 C. 4 D. 2【变式1-2】（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG=30°，则∠BAC= °．【变式1-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）三个村庄A、B、C（其位置如图所示）准备修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？（写出作法，并保留作图痕迹） 【变式1-4】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE=AC．(1)求证：AD⊥BC；(2)若∠C=70°，求∠BAC的度数．【例题2】 (2023·陕西省渭南市·模拟题)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：AD垂直平分EF．【变式2-1】（2022·广西梧州·梧州市第一中学校考三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（　　）A．AC=BE B．AC⊥BE且AC=BE C．AC⊥BE D．AC⊥BE且AC平分【变式2-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周长； （2） 设直线DM、EN交于点O①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数【例题3】（2023·甘肃陇南·统考二模）今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹．【变式3-1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知△ABC AB