人教版八年级上册14.1.3 积的乘方教案

这是一份人教版八年级上册14.1.3 积的乘方教案，共4页。

解题大招一 综合利用幂的运算性质进行混合运算
幂的混合运算的要点：(1)在幂的混合运算中，先算积的乘方，再算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减，有括号的先算括号里面的；(2)当底数不同的幂相乘时，可先化为同底数幂的形式，再进行计算；(3)当底数为多项式时，应使用整体法进行运算；(4)有同类项的要合并同类项．
例1 下列运算正确的是（ A ）
A．a2·a3＝a5 B．(a2)3＝a5 C．(ab)2＝ab2 D．a2＋a3＝a5
解析：A.a2·a3＝a5，故选项A计算正确，符合题意；B.(a2)3＝a6≠a5，故选项B计算错误，不符合题意；C.(ab)2＝a2b2≠ab2，故选项C计算错误，不符合题意；D.不是同类项，不能合并，故选项D计算错误，不符合题意．
例2 计算：
(1)(－a3b6)2＋(－a2b4)3； (2)x·x5＋(－2x3)2＋(x2)3； (3)[(m＋n)2]3[－2(m＋n)3]2.
解：(1)原式＝a6b12－a6b12＝0；(2)原式＝x6＋4x6＋x6＝6x6；
(3)原式＝(m＋n)6·(－2)2·[(m＋n)3]2＝4·(m＋n)6·(m＋n)6＝4(m＋n)12.
解题大招二 积的乘方性质的逆用
积的乘方的性质的逆用：anbn＝(ab)n(n为正整数)．
拓展：积的乘方的性质的逆用也可以推广到三个或三个以上的幂相乘：anbncn＝(abc)n(n为正整数)．
例3 已知xy＝－3，求x3y3的值．
解：x3y3＝(xy)3＝(－3)3＝－27.
解题大招三 逆用积的乘方的性质进行简便运算
当底数的绝对值互为倒数时，可巧做整合，使得它们的指数相同，底数的乘积为±1，进而逆用积的乘方的性质简便计算．
例4 计算：(1)(eq \f(2,3))201×(eq \f(3,2))202； (2)0.04201×(5202)2.
解：(1)原式＝(eq \f(2,3))201×(eq \f(3,2))201×eq \f(3,2)＝(eq \f(2,3)×eq \f(3,2))201×eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)；
(2)原式＝0.04201×(52)202＝0.04201×25201×25＝(0.04×25)201×25＝25.
培优点 利用方程思想与积的乘方的性质求值
遇到求指数的问题时，可以将已知条件变形，使等号两边幂的底数对应相等，再根据指数相等列方程(组)求解．
例1 (正用)如果(an·bm·b)3＝a9b15，求m，n的值．
解：因为(an·bm·b)3＝a9b15，所以(an)3·(bm)3·b3＝a9b15.所以a3n·b3m＋3＝a9b15.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3n＝9，,3m＋3＝15.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝3，,m＝4.))
例2 (逆用)已知2x＋3·3x＋3＝62x－4，求x的值．
解：因为2x＋3·3x＋3＝62x－4，所以(2×3)x＋3＝62x－4，6x＋3＝62x－4，所以x＋3＝2x－4，解得x＝7.
教学目标
课题
14.1.3 积的乘方
授课人
素养目标
1.经历积的乘方的性质的探索过程，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，进一步体会幂的意义.
2.理解积的乘方的运算性质，会利用积的乘方的运算性质解决简单问题.
3.在探究积的乘方的运算性质的过程中，培养学生用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力.
教学重点
积的乘方的性质及应用．
教学难点
积的乘方的性质的灵活应用及幂的性质的综合应用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：回顾导入，引出新知
设计意图
通过复习，承上启下，为新课做好铺垫.
【复习导入】
前面两节课我们学习了同底数幂的乘法的性质和幂的乘方的性质，下面让我们一起回忆一下：
1.同底数幂的乘法的性质：
am·an＝am＋n (m，n都是正整数)．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方的性质：
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
课堂练习
计算：
(1)43×45＝48； (2)a4·a3＝a7； (3)x4·x2·x＝x7；
(4)(x5)3＝x15; (5)－(x4)3＝－x12; (6)a2·(a4)2＝a10.
思考
下面请大家思考一下如何计算：(1)(2×3)2与22×32；(2)(2×5)3与23×53？
【教学建议】
教师可依次请三名学生上台板书答案，其他同学在下面做，教师巡视时关注学生对同底数幂的乘法和幂的乘方的掌握情况，为学习新课做准备.
活动二：实践探究，获取新知
设计意图
通过学生自己观察、概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们的归纳及口头表达能力．并通过追问形式，深入探究，拓展学生的思维，提高学生分析问题及解决问题的能力.
探究点 积的乘方的性质
对于活动一中思考的问题，我们试着填一填下面的空.
(1)(2×3)2＝62＝36，22×32＝4×9＝36；
(2)(2×5)3＝103＝1 000，23×53＝8×125＝1 000.
大家观察一下，(1)(2)中的两个式子有什么关系？
(2×3)2与22×32相等；(2×5)3与23×53相等.
大家想一想，如果把数字换成字母，会是什么样的呢？
探究
问题1 填空，并想一想运算过程用到哪些运算律？
(1)(ab)2
＝(ab)·(ab)(乘方的意义)
＝(a·a)·(b·b)(乘法交换律、结合律)
＝a2b2.(同底数幂的乘法的性质)
(2)(ab)3
＝(ab)·(ab)·(ab)(乘方的意义)
＝(a·a·a)·(b·b·b)(乘法交换律、结合律)
＝a3b3.(同底数幂的乘法的性质)
【教学建议】
教学中要注意让学生理解积的乘方的意义，明确推导这一性质的根据．并让学生尝试用文字来叙述这一性质，训练学生的表达能力.
教学步骤
师生活动
设计意图
针对本课时的主要内容，从多个角度，设置例题和对应训练，达到巩固课堂学习效果的目的.
问题2请同学们观察问题1乘方结果之后,猜一猜如果将指数改成n（n为正整数）,你能得出什么规律？
(ab)n=anbn.
教师归纳 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
因此，我们有(ab)n=anbn(n为正整数).
问题3你能用文字语言概括出积的乘方的运算性质吗？
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
例(教材P97例3）计算：
(1)(2a)3；(2)(-5b)3；(3)(xy2)2；(4)(-2x3)4.
解：(1)(2a)3=23·a3=8a3；
(2)(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3；
(3)(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4；
(4)(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12.
【对应训练】
教材P98练习（1）（3）.
【教学建议】
教学中引导学生一步一步地写，不要跳步，否则容易出错，注意每个因式都要乘方.并让学生体会到知识之间是相互联系的，不是分割的，如例题（3）（4）中包含了幂的乘方.
活动三：探究升华，巩固提高
设计意图
通过教师有意识的引导,让学生在现有知识的基础上开动脑筋、积极思考,理解性质，推导性质，从过程中获得学习数学的成就感.
思考
将积的乘方的性质进行推广，大家想一想三个或三个以上因式的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？动手试一试！
教师归纳
积的乘方的性质进行推广：(abc)n=anbncn(n为正整数).
例 计算：(-3x2y)3.
解：(-3x2y)3=(-3)3·(x2)3·y3=-27x6y3.
【对应训练】
教材P98练习（2）（4）.
【教学建议】
教学中需强调，要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其当系数是-1时，不可忽略.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
积的乘方的性质的推导依据是什么？积的乘方的性质是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P104习题14.1第1（5）（6），2题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
教学步骤
师生活动
板书设计
教学反思
积的乘方是一个新的运算性质，在建构新的运算性质时应注意与前面学过的运算性质的区别和联系．在推导性质的过程中，通过层层启发，培养学生的推理能力，在例题和练习训练中，从直接使用积的乘方的运算性质解答简单问题开始，逐步变式、综合，以强化对知识的理解与应用.