与圆的切线有关的计算与证明的常见类型课件

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第13招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型九年级数学（上）极速提分法如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长；(2)求证：DE是⊙O的切线．解题方法：看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到判定切线，就想：(1)若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接这点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：连半径，证垂直；(2)若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：作垂直，证半径．(1)解：连接CD，如图．∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.类型 1 证线段平行1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. (1)求证：PO平分∠APC；证明：如图，连接OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC.【点拨】连接OB，根据切线的性质和角平分线的定义可证明；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.证明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵∠APO＝∠BPO，【点拨】先证△OBD是等边三角形，再通过计算得∠DBP＝∠C，最后根据平行线的判定可证明．2. 【2023·株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之”．意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．类型2 求线段长度问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈．【点拨】3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.类型3 求圆的直径(方程思想)(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长．解：设⊙O的半径长为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径的长为6.类型4 求角的大小4.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(　　)A．15°　　　　　　B．20°C．25° D．30° B【点拨】5. 【2023·新疆节选】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.类型5 证明线段垂直(1)求证：∠ABC＝∠CAD.证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD. (2)求证：BE⊥CE.证明：如图，连接OC.∵CE与⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠CAD＋∠DBC＝180°.∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE.∴∠E＝180°－∠OCE＝90°.∴BE⊥CE.